第28讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积讲义-2027届高三数学一轮复习

第28讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 内 容 导 航 知识点1 空间几何体的结构特征 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积 知识点3 空间几何体的体积公式 知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论 知识点5 空间几何体的结构特征与直观图 知识点6 几何体的表面积与侧面积计算 知识点7 几何体的体积计算 知识点8 球与多面体的切接问题 知识点9 体积的最值与范围问题 知识点10 截面、展开与实际应用问题 题型1 简单组合体的结构特征 题型2 中心投影及中心投影作图法 题型3 平行投影及平行投影作图法 题型4 空间几何体的直观图 题型5 由三视图求面积、体积 题型6 棱柱的侧面积和表面积 题型7 棱锥的侧面积和表面积 题型8 棱台的侧面积和表面积 题型9 棱柱的体积 题型10 棱锥的体积 题型11 棱台的体积 题型12 圆柱的侧面积和表面积 题型13 圆锥的侧面积和表面积 题型14 圆台的侧面积和表面积 题型15 圆柱的体积 题型16 圆锥的体积 题型17 圆台的体积 题型18 球的表面积 题型19 球的体积 知 识 点 通 关 知识点1 空间几何体的结构特征 一、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 二、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 注意： 1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． 2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 三、直观图 —— 斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积 一、多面体的表面积 多面体的表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积的和。 1.直棱柱侧面积：即. 2.正棱锥侧面积：即. 3.正棱台侧面积：即. 二、旋转体的表面积 1.圆柱 ￮侧面积：（r为底面半径，l为母线长，数值上等于高h） ￮表面积： 2.圆锥 ￮侧面积：（r为底面半径，l为母线长） ￮表面积： 3.圆台 ￮侧面积：（r、R为上下底半径，l为母线长） ￮表面积： 4.球 ￮表面积：（R为球半径） 注意：组合体表面积需注意重合的面不能重复计算，挖去部分需扣除重合面并新增内表面。 知识点3 空间几何体的体积公式 知识点3 空间几何体的体积公式 1. 柱体体积 （S为底面积，h为高） 圆柱体积： 2. 锥体体积 （S为底面积，h为高） 圆锥体积： 3. 台体体积 圆台体积: 4. 球的体积 五、常用体积技巧 1. 等体积法：三棱锥可任意更换底面与顶点，常用于求点到平面的距离； 2. 割补法：将不规则几何体分割或补形为规则几何体，简化计算； 3. 比例法：相似几何体的体积比等于相似比的立方。 知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论 一、外接球问题核心：找球心，求半径 球心到各顶点距离相等，均为半径R。 1.长方体（墙角）模型 ￮长方体的外接球直径等于体对角线长： ￮适用场景：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角型），可补形为长方体。 2.直棱柱外接球 ￮球心在上下底面中心连线的中点； （r为底面外接圆半径，h为棱柱高） 3.正棱锥外接球 ￮球心在高线上； （r为底面外接圆半径，h为棱锥的高） 二、内切球问题核心：等体积法 内切球球心到各面距离相等，均为半径r。 •通用公式：（适用于多面体内切球） •正方体内切球：直径等于棱长； •正四面体内切球半径 ，外接球半径（为正四面体的高） 三、常用二级结论 1.正四面体棱长为a，则高，外接球半径，内切球半径 ； 2.球的截面性质：截面圆半径（为球心到截面的距离）。 知识点5 空间几何体的结构特征与直观图 方法技巧 1. 结构特征辨析：紧扣定义，注意关键词（如棱台 “侧棱延长线交于一点”、棱柱 “侧面都是平行四边形且侧棱平行”）； 2. 斜二测画法：牢记 “横不变，纵减半，平行性不变”，面积比为原图直观图= 。 易错分析 1. 旋转体判断忽略旋转轴的位置，如直角三角形绕斜边旋转不是圆锥； 2. 棱台、圆台判定忽略 “上下底面平行且相似，侧棱延长线共点” 的条件； 3. 斜二测画法中长度与面积的换算关系记反。 知识点6 几何体的表面积与侧面积计算 方法技巧 1. 规则几何体：直接代入公式，分清侧面积与全面积，注意底面个数； 2. 组合体：先分析组成结构，重合的面需扣除，挖去类注意新增内表面； 3. 三视图问题：先还原几何体形状，再对应棱长计算。 易错分析 1. 混淆侧面积与表面积，漏算底面积或多算重合面； 2. 圆锥、圆台中母线长与高混淆，公式代入错误； 3. 组合体表面积计算时，挖去部分只减不加，遗漏内侧面。 知识点7 几何体的体积计算 方法技巧 1. 公式法：规则几何体直接对应体积公式，找准底面积与对应高； 2. 割补法：不规则几何体分割为多个规则体，或补形为完整规则体（如补为长方体、棱柱）； 3. 等体积法：三棱锥换底换高，常用于求体积或点面距离。 易错分析 1. 锥体体积漏乘，是高频易错点； 2. 底面积与高不对应，高必须垂直于底面； 3. 割补后体积关系搞反，补形后需减去多余部分。 知识点8 球与多面体的切接问题 方法技巧 1. 外接球解题核心：确定球心位置，利用勾股定理列方程求半径: - 有两两垂直棱→补长方体（墙角模型）； - 直棱柱 / 圆柱→球心在中垂面， ; - 正棱锥 / 圆锥→球心在高线上，列方程求解。 2. 内切球解题核心：等体积法， 。 3. 球的截面：利用 建立半径与距离关系。 易错分析 1. 求范围时忽略锐角三角形等约束条件，导致范围扩大； 2. 基本不等式使用时，忽略等号成立的条件是否满足三角形要求； 3. 角的范围推导错误，导致三角函数值域计算偏差。 知识点9 体积的最值与范围问题 方法技巧 1. 函数法：设变量（如半径、高），将体积表示为单变量函数，结合函数单调性或导数求最值； 2. 基本不等式法：利用表面积、侧面积等定值条件，结合均值不等式求体积最值； 3. 几何临界法：分析运动过程中的临界位置，确定最值点。 易错分析 1. 变量范围考虑不全，忽略几何约束（如底面半径、高的取值限制）； 2. 基本不等式使用时忽略等号成立条件； 3. 多变量问题无法正确消元，导致无法求解。 知识点10 截面、展开与实际应用问题 方法技巧 1. 截面问题：找平面与几何体棱的交点，顺次连接得截面形状，再计算面积周长； 2. 展开问题：将侧面展开为平面图形，化曲为直，用两点之间线段最短求最短路径； 3. 实际应用：抽象出几何体模型，对应表面积、体积公式求解。 易错分析 1. 截面交点找不全，导致截面形状判断错误； 2. 圆锥展开图中圆心角与底面半径、母线的关系记错； 3. 展开图中起点与终点的对应位置搞错。 考 点 演 练 题型1 简单组合体的结构特征 【典例1】一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为　 　 ． 【答案】4 【解答】解：此十二面体如右图，数形结合可得则其它顶点处的棱数为4 故答案为4 【变式1】一个正方体内接于一个高为，底面半径为1的圆锥，则正方体的棱长为　 ． 【答案】 【解答】解：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x， 则OCx，∴， 解得x， ∴正方体的棱长为， 故答案为：． 题型2 中心投影及中心投影作图法 【典例1】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．先变小后变大 【答案】A 【解答】解：根据题意白炽灯照射后形成的投影是中心投影， 中心投影的特点的灯光下的影子与物体与光影的距离有关， 距离越大影子越小， 故选：A． 【变式1】下列几种关于投影的说法，正确的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．平行直线的平行投影仍是平行直线 C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点 D．中心投影的投影线是互相平行的 【答案】C 【解答】解：矩形的平行投影不一定是矩形，其投影可能为平行四边形，也可能是线段，故A不正确； 平行直线的平行投影可能是平行直线，也可能重合，故B不正确； 垂直于投影面的直线或线段的正投影是点，故C正确； 中心投影的投影线是相交于一点的，故D不正确； 故选：C． 题型3 平行投影及平行投影作图法 【典例1】如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 【答案】C 【解答】解：连接AC1，如图所示． ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC． ∵AB⊥AC，BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1， ∴AC⊥平面ABC1． 又AC⊂平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC． 又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB， ∴点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上． 故选：C． 【变式1】如图，正四面体ABCD的棱AB与平面α平行，且正四面体内的所有点在平面α内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：根据题意，当CD⊥平面α，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边为正四面体的棱长，设正四面体的棱长为a， 高是直线CD到AB的距离，距离为：， 射影面积为：，解得a＝1． 故选：B． 题型4 空间几何体的直观图 【典例1】一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝2，那么原△ABO的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2． 腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×24． 所以直角三角形△ABO的面积是． 故选：D． 【变式1】如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二测直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B．5 C．5 D．10 【答案】B 【解答】解：如图，根据直观图画法的规则， 直观图中A1D1∥O′y′，A1D1＝1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2， 直观图中A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，⇒原图中AB∥CD，ABCD＝2， 即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图． 故其面积S（2+3）×2＝5． 故选：B． 题型5 由三视图求面积、体积 【典例1】如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（　　） A．，7π B．，9π C．，5π D．，3π 【答案】A 【解答】解：根据题意可将将几何体对称补形成一个底面直径为2，高为7的圆柱， 则可得所求几何体的体积为π， 侧面积为7π． 故选：A． 【变式1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为边长等于2的正方形，高为1的四棱锥； 所以该几何体的体积为 V22×1． 故选：D． 题型6 棱柱的侧面积和表面积 【典例1】如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱OO1，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（　　） A．9π B．11π C．15π D．19π 【答案】D 【解答】解：作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r，如图所示． 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r， 则有，解得r＝1． 故剩余几何体的表面积为S＝2πR2+πR2+2π•2r＝19π． 故选：D． 【变式1】如图，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A﹣BCD的体积为，则该圆柱的侧面积为　 　 ． 【答案】12π． 【解答】解：分别取上下底面圆心E，F，连接EC，ED，EF， 由EF⊥AB，EF⊥CD，且AB⊥CD，EF∩CD＝F，EF⊂平面ECD，CD⊂平面ECD， ∴AB⊥平面ECD， ∴AB⊥EC，AB⊥ED， 由圆柱的轴截面为正方形，可知AB＝CD＝EF， 则V三棱锥A﹣BCD， 解得，即， 则该圆柱的侧面积为． 故答案为：12π． 题型7 棱锥的侧面积和表面积 【典例1】陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（　　） A．44π B．46π C．48π D．50π 【答案】C 【解答】解：由题意可知：该陀螺的表面有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 且圆锥的母线长为， 所以该陀螺的表面积为π×32+2π×3×4+π×3×5＝48π． 故选：C． 【变式1】如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，P1，P2，⋯，P9是棱AB的10等分点，过Pi（i＝1，2，⋯，9）作与AC，BD均平行的平面α，记此平面截正四面体ABCD所得的截面面积为Si.则Si＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，取BD的中点O，连接AO，CO， 在正四面体ABCD中，易知AO⊥BD，CO⊥BD， 又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC， 所以BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC， 所以BD⊥AC， 过Pi作AC的平行线，交BC于Ei， 再过Pi作BD的平行线，交AD于Gi，作EiFi∥BD交CD于Fi，连接GiFi， 得截面四边形PiEiFiGi，易知四边形PiEiFiGi为矩形， 由相似三角形知识可知，， 所以． 故选：D． 题型8 棱台的侧面积和表面积 【典例1】已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为，AB＝3A1B1＝3，则该棱台的侧面积为（　　） A． B． C．18 D． 【答案】B 【解答】解：设△A1B1C1中心为O1，△ABC中心为O，连接O1A1，O1O，OA，如图所示： 因为正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为，AB＝3A1B1＝3， 所以O1A11，OA＝3O1A1＝3， △A1B1C1内切圆的半径为r1A1B1， △ABC内切圆的半径为r2＝3r1； 设斜高为h'，由勾股定理得： 2， 所以该棱台的侧面积为3×S梯形＝3（A1B1+AB）h′（3）×2＝12． 故选：B． 【变式1】在直角△AOB中，，AB＝4，D为AB上一点，现将直角△AOB以边AO所在直线为轴旋转一周，其余两边旋转一周形成的面围成圆锥，点C为此圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，则（　　） A．该圆锥的侧面积为8π B．当D为AB中点时，过D作平行于圆锥底面的平面，截圆锥所得台体的体积为 C．当CD在圆锥表面上的距离最短时，D为AB三等分点 D．该圆锥内装有三个半径相等的铁球时，铁球的最大半径为 【答案】ABD 【解答】解：在直角△AOB中，由，AB＝4，可得OB＝2， 即圆锥的底面圆的半径为r＝2，母线长为l＝4， 则高为， 对于选项A，圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×2×4＝8π，故选项A正确； 对于选项B，大圆锥的体积为， 因为D为AB中点时，过D作平行于圆锥底面的平面，可得， 所以小圆锥的体积为， 所以截圆锥所得台体的体积为V﹣V1，故选项B正确； 对于选项C，设圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则α×4＝2π×2，可得α＝π， 因为点C为此圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，可得点C是弧BF的中点， 如图所示，可得，过点C作CD⊥AB， 在直角△ACD中，可得， 所以点D不是AB三等分点，故选项C错误； 对于选项D，设铁球的最大半径R，则圆锥的轴截面为等腰三角形，且底边为4，高为， 当三个铁球两两相切且与圆锥相切时，铁球的半径最大， 此时，圆锥的轴截面中，三个铁球的球心构成一个等边三角形，边长为2R， 可得，，OO4＝R， 所以，解得，故选项D正确． 故选：ABD． 题型9 棱柱的体积 【典例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AB上靠近A的三等分点，平面EC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（V1＞V2）的两部分，则V1：V2＝（　　） A．5：3 B．7：5 C．14：13 D．28：27 【答案】C 【解答】解：如图，取AC靠近A的三等分点F， 则根据题意可得EF∥BC∥B1C1， 所以E，F，B1，C1四点共面； 设三棱柱的高为h，三棱柱体积V＝S△ABC×h， 因为， 所以 ， ， 所以， 所以，所以， 所以V1：V2＝14：13． 故选：C． 【变式1】如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1，BB1，CC1均垂直于底面ABC，已知AB＝BC＝AC＝CC1＝4，BB1＝2，AA1＝6，则该几何体的体积为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：法1：分别在AA1，CC1上取点N，M，使得CM＝AN＝BB1，连接B1N，NM，B1M，则平面ABC∥平面B1NM， 取MN的中点H，连接B1H， 因为C1M⊥平面ABC， 所以C1M⊥平面B1NM， 又B1H⊂平面B1NM，所以C1M⊥B1H， 而B1H⊥MN，C1M∩MN＝M，C1M，MN⊂平面A1NMC1， 所以B1H⊥平面A1NMC1， 而，， 故所求几何体的体积为 ． 法2：在几何体ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1，BB1，CC1均垂直于底面ABC， 因为AB＝BC＝AC＝CC1＝4，BB1＝2，AA1＝6， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱ABC﹣DEF， 其中B1E＝8﹣2＝6＝AA1，A1D＝8﹣6＝2＝BB1，C1F＝8﹣4＝4＝CC1， 所以， 所以． 故答案为：16． 题型10 棱锥的体积 【典例1】如图所示，若长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则下列说法正确的个数是（　　） ①点B到直线C1E的距离为； ②三棱锥B1﹣C1CE的外接球的表面积为12π； ③平面B1CE∥平面A1BD； ④三棱锥C1﹣B1CE的体积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，2），A1（0，0，4），B1（2，0，4），C1（2，2，4）． 对于①，，，所以，， 所以，所以点B到直线C1E的距离为BE，即，故①正确； 对于②，因为，所以，即C1E⊥CE， 所以△C1CE是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边C1C的中点， 三棱锥B1﹣C1CE的外接球的球心在过C1C的中点，且垂直于平面C1CE的直线上， 又△C1CB1也为直角三角形，所以三棱锥B1﹣C1CE的外接球的球心为B1C的中点， 球的半径为，所以球的表面积为，故②错误； 对于③，，，， 设平面B1CE的法向量为， 则，即，取 z＝1，得， 假设平面B1CE∥平面A1BD，则（1，2，1）也是平面A1BD的法向量， 所以，而矛盾， 所以假设不成立，即平面B1CE与平面A1BD不平行，故③错误； 对于④，由等体积法可得三棱锥C1﹣B1CE的体积， 由长方体的性质可知B1C1⊥平面C1CE，即三棱锥B1﹣C1CE的高为B1C1， 又， 所以，故④正确． 故选：B． 【变式1】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P满足，若经过P，B1，C1三点的平面将棱柱分为Γ1，Γ2两部分（Γ1的体积较小），则Γ1与Γ2的体积之比为（　　） A．4：5 B．5：7 C．10：17 D．8：19 【答案】D 【解答】解：取BC的中点D，连接AD，∴， ∵，∴，即点P在线段AD上，． 过点P作EF∥BC，分别交AC，AB于点E，F， ∴平面B1C1EF是过点P，B1，C1三点的平面． 设，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h， ∴Sh． ∵EF∥BC，，； ∴， ∵直三棱柱被平面B1C1EF分成Γ1，Γ2两部分（Γ1的体积较小）， ∴，则， ∴． 故选：D． 题型11 棱台的体积 【典例1】在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，若侧棱与底面的夹角为45°，则该四棱台的体积为（　　） A． B．112 C． D． 【答案】A 【解答】解：因为在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，若侧棱与底面的夹角为45°， 所以作出示意图如下： 设S，O分别为上底面和下底面的中心，连接OS， 则OS⊥底面ABCD，过点A1作A1T⊥AO于点T，则A1T⊥底面ABCD， 则∠A1AT即侧棱AA1与底面ABCD的夹角，即∠A1AT＝45°， 因为，所以， 故TO＝A1S＝2，所以A1T＝AT＝AO﹣TO＝4﹣2＝2， 故该正四棱台的体积为． 故选：A． 【变式1】在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台．经实测，该方斗的上口边长为16cm，下口边长为12cm，侧棱长为，若忽略该方斗的厚度，则这个方斗的容积为（　　） A． B． C．1776cm3 D．1184cm3 【答案】A 【解答】解：画出正四棱台的直观图，如图所示： 则B1D1＝16cm，BD＝12cm， 过B作BH⊥B1D1，垂足为H，则BH为该正四棱台的高， 所以B1H（1612）＝2，BH6， 所以这个方斗的容积为： V（162+122）×61184cm2． 故选：A． 题型12 圆柱的侧面积和表面积 【典例1】已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO1的侧面积的最大值为（　　） A．π B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上， 由SO的底面半径r＝1，母线长l＝3， 所以圆锥的高， 由题可设圆柱OO1的底面半径为x（0＜x＜1），高为h′， 由△SO1C∽△SOA得，即，截得， 所以圆柱的侧面积， 所以当时，侧面积取得最大值为． 故选：C． 【变式1】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，P分别是棱BB1，A1D1的中点，平面DA1MN与平面CB1PQ将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，DD1上，则多面体MNDA1﹣PQCB1的表面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D． 【答案】C 【解答】解：由题意得平面BCC1B1∥平面ADD1A1， 又因为平面MNDA1∩平面BCC1B1＝MN， 平面MNDA1∩平面ADD1A1＝A1D，所以A1D∥MN， 正方体中易知A1D∥B1C， 所以MN∥B1C，因为M为BB1中点，所以N为BC中点， 同理PQ∥B1C，Q为DD1中点， 所以， 所以四边形PQA1D的面积等于， 所以四边形MNCB1的面积等于， 易知四边形PQCB1为等腰梯形，其中，，， 如图，过Q作QF⊥B1C，易得， 所以四边形PQCB1的面积为， 同理四边形MNDA1的面积为， 所以多面体MNDA1﹣PQCB1的表面积为4+3+9＝16． 故选：C． 题型13 圆锥的侧面积和表面积 【典例1】已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　） A．体积为3π B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解答】解：对于A，由圆锥的底面半径为，高为1， 可得圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为α，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为θ，则过顶点的截面面积为， 而，故当，Smax＝2，故D正确． 故选：D． 【变式1】已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1：2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意圆锥的底面和圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1：2，圆锥的侧面积是， 可设圆台的上底面圆的半径为r，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为2r， ∴圆锥的母线， ∴，得，解得； ∴圆台的母线， ∴圆台侧面积为． 故选：C． 题型14 圆台的侧面积和表面积 【典例1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解答】解：设上底面半径为r， 因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π， 所以π（r+3r）l＝84π，解得r＝7， 所以圆台较小底面的半径为7． 故选：A． 【变式1】已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D．5π 【答案】C 【解答】解：设圆台的下底面半径为r， 由圆台的上底面半径为1，高为，体积为， 可知， 整理得r2+r﹣6＝0，解得r＝2（负值舍去）， 设圆台的母线长为l，则， 所以该圆台的侧面积为． 故选：C． 题型15 圆柱的体积 【典例1】《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　） A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3 【答案】D 【解答】解：四片瓦需要的粘土量为π×（15+3）2×10﹣π×152×10＝3240π﹣2250π＝990πcm3， 则800片瓦需要的粘土量为990π×200＝198000πcm3＝198πdm3． 故选：D． 【变式1】如图，圆柱O1O2的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：圆柱O1O2的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体， 连接CO1，DO1，O1O2，因为四面体ABCD为正四面体， 所以AB⊥CD，设AB＝2r， 在Rt△ACO1中，AC＝2r，AO1＝r，， 在Rt△CO1O2，CO2＝r，， 故圆柱O1O2的表面积为， 解得． 故． 故选：B． 题型16 圆锥的体积 【典例1】圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，则该正方体体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体， 作出图形： 圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径， 设圆锥SO内切球的球心为O′，过点O′作O′E⊥SA，O′F⊥SB，垂足分别为E，F， 由于， 由题意可知，所以． 即，解得． 设该正方体棱长的最大值为a， 则，解得a， 所以该正方体的体积的最大值是，故B正确． 故选：B． 【变式1】已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A．π B． C．3π D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE， 由于圆锥PO的底面半径为，即，而∠AOB＝120°， 所以AB3， 同时， △PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB， 又由△PAB的面积等于，即， 变形可得，而， 则有，解得， 所以该圆锥的体积为． 故选：B． 题型17 圆台的体积 【典例1】已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为9π，半径为的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图， 设圆台的上下底面的半径分别为r1，r2（r1＜r2），一条母线为AB， 因为展开图扇环的面积为9π，故（r1+r2）π×AB＝9π①， 因为半径为的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切， 故AB＝r1+r2②，且③， 故由①②③可得，r1+r2＝3且r1r2＝2，故r1＝1，r2＝2， 故圆台的体积为． 故选：B． 【变式1】已知圆台的母线与底面所成的角为60°，其内切球的体积为36π，则该圆台的体积为（　　） A．48π B． C．78π D． 【答案】C 【解答】解：作出圆台的轴截面ABCD， 设圆台的上底面的圆心为O1，半径为r，下底面的圆心为O2，半径为R，高为h， 内切球的球心为O，半径为R0． 由内切球的体积为36π，可得， 解得R0＝3， 所以圆台的高h＝2R0＝6， 又圆台的母线与底面所成的角为60°， 则∠DAB＝60°， 所以在Rt△OAO2中，∠OAO2＝30°，OO2＝3， 所以，同理求得， 所以圆台的体积． 故选：C． 题型18 球的表面积 【典例1】如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（　　） A． B． C． D．11π 【答案】B 【解答】解：因为该几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点， 又下底面正方形边长为2，该几何体的高为， 所以建系如图： 设下底面正方形ABCD的中心为坐标原点O（0，0，0）， 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0）， ，，，， 设球心O′（0，0，t），外接球半径为R， 所以R2＝|O′A|2＝12+（﹣1）2+t2＝2+t2， ， 则，解得． 所以． 外接球表面积． 故选：B． 【变式1】如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、E分别是AB的AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P﹣BCED，则下列说法中，正确的个数为（　　） ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9． ②取线段AD中点M，则翻折过程中，三棱锥B﹣CEM与四棱锥P﹣BCED体积比为定值． ③翻折过程中，直线BC始终与平面PDE平行． ④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：取DE中点H，则PH，即正三角形PDE的高为， 又DE与BC的距离也为，DE＝DB＝CE＝2，BC＝4， 所以翻折过程中，当平面PDE⊥底面BCED时， 该四棱锥的体积有最大值，且最大值为3，所以①错误； 线段AD中点M，则翻折过程中，因为三棱锥B﹣CEM的体积即为三棱锥M﹣BCE的体积， 又底面三角形BCE与梯形BCED的面积为定值，而M到底面BCED与P到底面BCED的高之比为定值， 所以翻折过程中，三棱锥B﹣CEM与四棱锥P﹣BCED体积比为定值，所以②正确； 翻折过程中，直线BC始终有BC∥DE，又BC⊄平面PDE，DE⊂平面PDE， 所以BC∥平面PDE，所以③正确； 当时，PH，HB， 所以PH2+HB2＝PB2，所以PH⊥HB，又PH⊥DE，且HB∩DE＝H， 所以PH⊥平面BCED， 取BC中点F，易知FB＝FD＝FE＝FC＝2，取正三角形PDE的中心G， 过F作平面DBCE的垂线过G作平面PDE的垂线，两垂线交点O， 则O为该四棱锥的外接球的球心，设球O的半径为R， 则R2＝BF2+OF2＝BF2+GH2， 所以该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为4πR2，所以④正确． 故选：C． 题型19 球的体积 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上不同于A，B的动点，PA垂直于⊙O所在平面． （1）证明：PC⊥BC； （2）若AC＝BC＝PA，求直线PC与平面PAB所成角； （3）若AB＝AP＝4，求三棱锥P﹣ABC的外接球体积． 【答案】（1）由AB是⊙O的直径，点C是圆周上不同于A，B的动点，得AC⊥BC， 由PA垂直于⊙O所在平面，BC在⊙O所在平面内，得PA⊥BC， 而AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， 所以PC⊥BC． （2）． （3）． 【解答】（1）证明：由AB是⊙O的直径，点C是圆周上不同于A，B的动点，得AC⊥BC， 由PA垂直于⊙O所在平面，BC在⊙O所在平面内，得PA⊥BC， 而AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， 所以PC⊥BC． （2）解：连接CO，PO，由AC＝BC，得CO⊥AB，由PA⊥平面ABC，CO⊂平面ABC， 得CO⊥AP，而AP∩AB＝A，AP，AB⊂平面PAB，则CO⊥平面PAB， 因此∠CPO是直线PC与平面PAB所成角，令PA＝2，则AC＝BC＝2 ，于是，， 所以直线PC与平面PAB所成角为． （3）解：取PB中点O′，连接O′A，O′C，由（1）得PA⊥AB，PC⊥BC， 则O′A＝O′B＝O′P＝O′C，三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O′， 由AB＝AP＝4，得， 所以三棱锥P﹣ABC的外接球体积． 【变式1】如图，三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的表面上，底面△ABC中，AB＝2AC＝2PC＝2，∠BAC＝60°，侧棱PC⊥底面ABC． （1）求三棱锥P﹣ABC的表面积； （2）求球O的体积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）在△ABC中，由AB＝2AC＝2，可得AC＝1， 又∠BAC＝60°，由余弦定理得， 所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC， 故， 又侧棱PC⊥底面ABC，且PC＝1， 所以， ， 又，，且AB＝2， 则△PAB为等腰三角形，设PA边上的高为h， 则 ， 所以三棱锥P﹣ABC的表面积为； （2）设球O的半径为R．因为PC⊥BC，PC⊥AC，AC⊥BC， 所以三棱锥P﹣ABC外接球等价于以AC，CB，PC为棱的长方体的外接球， 即球O的直径恰好是以AC，CB，PC为棱的长方体的体对角线， 故，故球O的半径， 所以球O的体积为． 过 关 验 收 1．在△ABC中，C＝90°，AB＝2，BC＝1，以△ABC一边BC所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为　 　 ． 【答案】π． 【解答】解：由题意如图所示： 在直角△ABC中，C＝90°，AB＝2，BC＝1， 所以， 所以围成的几何体是一个底面圆半径为，高为h＝BC＝1的圆锥， 故该几何体的体积为：． 故答案为：π． 2．圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面， 得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分） 设正方体棱长为x，则CC1＝x，C1D1． 作SO⊥EF于O，则SO，OE＝1，（5分） ∵△ECC1∽△EOS，∴，即（10分） ∴，即内接正方体棱长为cm（12分） 3．如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（　　） A．1 B．4+2 C．2+2 D．4 【答案】A 【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径1． 再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD为底，O到AD的距离投影，即（1）cos45°＝1为高的等腰三角形，其面积2×（1）＝1． 故选：A． 4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，边AB，AC在平面α上的射影长分别为3，4，则边BC在α上的射影长可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：不妨设A∈α，B，C在平面α上的射影分别为B1，C1， 则边AB，AC在平面α上的射影分别AB1，AC1，AB1＝3，AC1＝4， 所以点B到平面α的距离， 点C到平面α的距离， 当B，C在平面α的同侧时，， 即边BC在α上的射影长为， 当B，C在平面α的异侧时，， 即边BC在α上的射影长为， 综上所述，边BC在α上的射影长为或． 故选：AC． 5．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线l）旋转而成，这个图形可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：圆锥是由直角三角形绕直角边旋转而成， 圆柱是由矩形绕其中一边旋转而成，故符合条件的只有B． 故选：B． 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（　　） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 【答案】A 【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的体积V13×2×2＝6，四棱锥的体积V21×3×2＝2， 由三视图可知两个四棱锥大小相等， ∴V＝V1+2V2＝10立方丈＝10000立方尺． 故选：A． 7．某个几何体的三视图如图所示（单位：m）： （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是正方体棱长为：2，球的半径为1， （1）该几何体的表面积＝正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积． ∴S＝6×2×2+2π×12﹣π×12＝24+π（m2）． （2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积， V＝2×2×2π×13＝8π（m3） 8．已知下列几何体三视图如图． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体外接球的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）由三视图知，该几何体是正四棱锥的直观图，如图． 底面为正方形，边长为2， 其面积为2×2＝4， 四个侧面是全等的三角形，斜高为，底面边长为2，其面积为， ∴该几何体的表面积为． （2）根据斜高为，底面边长为2，可得高，， 设正四棱锥的外接球的球心为O'，由对称性知O'在SO上， 设OO'＝h，球的半径为r， ∴， ∴， 解得， 则球的体积． 9．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，如右图所示．若A'O'＝O'B'＝B'C'＝1，则该直四棱柱的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由直观图可得底面四边形ABCD的平面图形如下， 由AO′＝O′B＝BC＝1， 则，所以， 则， 所以CABCD＝2（2+3）＝10， 又直棱柱的高h＝2，所以棱柱的侧面积S侧面积＝CABCD•h＝20， 所以， 故选：C． 10．在空间中，已知线段AB和直线l，直线AB∥l．AB＝10cm，直线AB与l间的距离为5cm．以直线l为旋转轴，将线段AB旋转一周而形成曲面δ，则曲面δ的面积为（　　） A．500πcm2 B．250πcm2 C．200πcm2 D．100πcm2 【答案】D 【解答】解：由题意可知，线段AB绕直线l旋转一周形成的曲面为圆柱的侧面，其中圆柱底面半径r＝5cm，母线长等于线段AB的长度10cm， 代入圆柱侧面积公式计算：S＝2π×5×10＝100πcm2． 故选：D． 11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1．平面ACC1A1，平面BCD1A1和平面ABC1D1将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点B1所在的多面体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接A1C，AC1，BD1， 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条体对角线交于一点，记为点O，如图， 则分割后顶点B1所在的多面体为六面体OA1BC1B1，其表面分别是△OA1B，△OA1C1，△OBC1，△A1B1C1，△A1B1B，△BB1C1， 由正方体的性质得OA1＝OB＝OC1，BB1＝C1B1＝A1B1＝1，A1B＝BC1＝A1C1， ∴△A1B1C1≌△A1B1B≌△BB1C1，△OA1B≌△OA1C1≌△OBC1， △OA1B中，边A1B上的高为， ∴△A1B1B的面积为， △OA1B的面积为， ∴顶点B1所在的多面体的表面积为． 故选：D． 12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，AB＝4，A1B1＝2，则该正四棱台的侧面积为　 　 ． 【答案】12． 【解答】解：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V•OO1•（22+42），解得O1O， 所以斜高为MN， 所以该正四棱台的侧面积为S侧＝4（2+4）12． 故答案为：12． 13．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为a，若侧面AA1B1B水平放置时，液面高为，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：因为正三棱柱的底面边长和侧棱长都为a， 又当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为， 所以可得此时侧面等腰梯形的上底为a﹣2， 所以水的体积为， 又当底面ABC水平放置时，液面高为3， 所以水的体积为， 所以，解得a＝4． 故选：D． 14．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法正确的是（　　） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．三棱锥F﹣ABE的体积为 D．直线BC与平面AEF所成的角为45° 【答案】B 【解答】解：A选项：ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直， 所以直线AF与直线DD1不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），G（2，2，1），A1（2，0，2）， 对于B，设平面AEF的法向量为， 则，取， 因为，所以，所以， 因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确； 对于C，因为，所以三棱锥F﹣ABE的体积为，所以C错误； 对于D，因为，设直线BC与平面AEF所成的角为θ， 则，所以D错误． 故选：B． 15．自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选．小明一家人自驾旅行途中，看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如图所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图． 将上面的多面体沿着图中的剪开，则将其分割成两个全等的四棱锥与一个直三棱柱， 又两截面等腰三角形的底边长为20，前后侧面的等腰梯形的高为， 又两个全等的四棱锥的高为， 所以上面多面体的体积为， 又下面正四棱台的高为， 所以下面正四棱台的体积为， 所以该建筑上半部分与下半部分体积的比为． 故选：C． 16．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝2，AB＝4，以直线CD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（　　） A．20π B．24π C． D． 【答案】D 【解答】解：已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝2，AB＝4， 过点D作DE⊥AB于点E， 得DE＝BC＝2，AE＝AB﹣CD＝2， 故． 以直线CD为轴旋转一周，形成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，圆柱底面半径r＝BC＝2，高h＝AB＝4，圆锥底面半径r＝2，高h＝2． 该几何体的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的下底面积和圆锥的侧面积组成． 圆柱侧面积S1＝2πr•AB＝2π×2×4＝16π． 圆柱下底面积，圆锥侧面积． 故表面积． 故选：D． 17．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为2π，若它们的侧面积之比为2：1，则体积比为（　　） A．2：1 B．4：1 C． D． 【答案】D 【解答】解：设母线长为l，两个圆锥分别为甲、乙，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2， 甲圆锥侧面积为S甲，乙圆锥侧面积为S乙， 则， 所以r1＝2r2， 又圆心角，则，所以，r2l， 所以甲圆锥的高， 乙圆锥的高， 所以． 故选：D． 18．如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（　　） A．9π B．16π C．25π D．36π 【答案】C 【解答】解：由题可得：圆台的高AB＝2R＝4， 设圆台的下底面半径为R0，上底面半径为r，（R0＞r）， 根据圆台内切球的性质，圆台的母线长AC＝r+R0，且圆柱的底面半径等于圆台的下底面半径R0， 所以BC＝R0﹣r 空隙中最大小球的半径为r1＝1，则△ABC内切圆的半径为r1＝1， 所以，则R0﹣2r＝2， 由，化简得：R0r＝4， 联立：，解得：（负值舍去）； 所以圆台的下底面半径R0＝4，圆台的上底面半径r＝1， 所以圆台的侧面积S＝π（R0+r）（R0+r）＝25π． 故选：C． 19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（　　） A．2π B．3π C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长均为． 圆柱的一个底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱都相交， 可设圆柱的上底面圆周与PA，PC分别交于点E，F，AC中点为O，PO交EF于点O1， 因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以， 由，得． 由题意，圆柱的底面圆与正方形ABCD的四边都相切，故其半径r＝1． 又， 所以PO1＝3，圆柱的高， 所以圆柱的体积为． 故选：D． 20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD＝PD． （1）求证：AC⊥平面PBD； （2）求钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值； （3）若存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又BD∩PD＝D， 所以AC⊥平面PBD； （2）； （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球， 则OA＝OB＝OC＝OD＝OP， 因为底面ABCD为正方形， 所以O为对角线AC与BD的交点， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD，即PD⊥OD， 所以OP＞OD，与OD＝OP矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球． 【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又BD∩PD＝D， 所以AC⊥平面PBD； （2）根据题意可建系如图： 设AD＝PD＝1， 则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）， 所以，， 设平面APB的一个法向量，平面PBC的一个法向量， 则，， 取，， 则， 所以钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值为； （3）不存在，理由如下： 假设存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球， 则OA＝OB＝OC＝OD＝OP， 因为底面ABCD为正方形， 所以O为对角线AC与BD的交点， 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PD⊥BD，即PD⊥OD， 所以OP＞OD，与OD＝OP矛盾，故假设不成立， 所以不存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球． 21．已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为1：2，则球O与该正四棱台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：作出正四棱台的轴截面如下： 其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点O1，O2， 设正四棱台上、下底面的棱长为2a，4a， 则CO1＝CP＝a，BO2＝BP＝2a，BC＝BP+PC＝3a， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，所以EB＝a， 所以， 所以半径为， 所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 内 容 导 航 知识点1 空间几何体的结构特征 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积 知识点3 空间几何体的体积公式 知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论 知识点5 空间几何体的结构特征与直观图 知识点6 几何体的表面积与侧面积计算 知识点7 几何体的体积计算 知识点8 球与多面体的切接问题 知识点9 体积的最值与范围问题 知识点10 截面、展开与实际应用问题 题型1 简单组合体的结构特征 题型2 中心投影及中心投影作图法 题型3 平行投影及平行投影作图法 题型4 空间几何体的直观图 题型5 由三视图求面积、体积 题型6 棱柱的侧面积和表面积 题型7 棱锥的侧面积和表面积 题型8 棱台的侧面积和表面积 题型9 棱柱的体积 题型10 棱锥的体积 题型11 棱台的体积 题型12 圆柱的侧面积和表面积 题型13 圆锥的侧面积和表面积 题型14 圆台的侧面积和表面积 题型15 圆柱的体积 题型16 圆锥的体积 题型17 圆台的体积 题型18 球的表面积 题型19 球的体积 知 识 点 通 关 知识点1 空间几何体的结构特征 一、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 二、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 注意： 1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． 2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 三、直观图 —— 斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积 一、多面体的表面积 多面体的表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积的和。 1.直棱柱侧面积：即. 2.正棱锥侧面积：即. 3.正棱台侧面积：即. 二、旋转体的表面积 1.圆柱 ￮侧面积：（r为底面半径，l为母线长，数值上等于高h） ￮表面积： 2.圆锥 ￮侧面积：（r为底面半径，l为母线长） ￮表面积： 3.圆台 ￮侧面积：（r、R为上下底半径，l为母线长） ￮表面积： 4.球 ￮表面积：（R为球半径） 注意：组合体表面积需注意重合的面不能重复计算，挖去部分需扣除重合面并新增内表面。 知识点3 空间几何体的体积公式 知识点3 空间几何体的体积公式 1. 柱体体积 （S为底面积，h为高） 圆柱体积： 2. 锥体体积 （S为底面积，h为高） 圆锥体积： 3. 台体体积 圆台体积: 4. 球的体积 五、常用体积技巧 1. 等体积法：三棱锥可任意更换底面与顶点，常用于求点到平面的距离； 2. 割补法：将不规则几何体分割或补形为规则几何体，简化计算； 3. 比例法：相似几何体的体积比等于相似比的立方。 知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论 一、外接球问题核心：找球心，求半径 球心到各顶点距离相等，均为半径R。 1.长方体（墙角）模型 ￮长方体的外接球直径等于体对角线长： ￮适用场景：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角型），可补形为长方体。 2.直棱柱外接球 ￮球心在上下底面中心连线的中点； （r为底面外接圆半径，h为棱柱高） 3.正棱锥外接球 ￮球心在高线上； （r为底面外接圆半径，h为棱锥的高） 二、内切球问题核心：等体积法 内切球球心到各面距离相等，均为半径r。 •通用公式：（适用于多面体内切球） •正方体内切球：直径等于棱长； •正四面体内切球半径 ，外接球半径（为正四面体的高） 三、常用二级结论 1.正四面体棱长为a，则高，外接球半径，内切球半径 ； 2.球的截面性质：截面圆半径（为球心到截面的距离）。 知识点5 空间几何体的结构特征与直观图 方法技巧 1. 结构特征辨析：紧扣定义，注意关键词（如棱台 “侧棱延长线交于一点”、棱柱 “侧面都是平行四边形且侧棱平行”）； 2. 斜二测画法：牢记 “横不变，纵减半，平行性不变”，面积比为原图直观图= 。 易错分析 1. 旋转体判断忽略旋转轴的位置，如直角三角形绕斜边旋转不是圆锥； 2. 棱台、圆台判定忽略 “上下底面平行且相似，侧棱延长线共点” 的条件； 3. 斜二测画法中长度与面积的换算关系记反。 知识点6 几何体的表面积与侧面积计算 方法技巧 1. 规则几何体：直接代入公式，分清侧面积与全面积，注意底面个数； 2. 组合体：先分析组成结构，重合的面需扣除，挖去类注意新增内表面； 3. 三视图问题：先还原几何体形状，再对应棱长计算。 易错分析 1. 混淆侧面积与表面积，漏算底面积或多算重合面； 2. 圆锥、圆台中母线长与高混淆，公式代入错误； 3. 组合体表面积计算时，挖去部分只减不加，遗漏内侧面。 知识点7 几何体的体积计算 方法技巧 1. 公式法：规则几何体直接对应体积公式，找准底面积与对应高； 2. 割补法：不规则几何体分割为多个规则体，或补形为完整规则体（如补为长方体、棱柱）； 3. 等体积法：三棱锥换底换高，常用于求体积或点面距离。 易错分析 1. 锥体体积漏乘，是高频易错点； 2. 底面积与高不对应，高必须垂直于底面； 3. 割补后体积关系搞反，补形后需减去多余部分。 知识点8 球与多面体的切接问题 方法技巧 1. 外接球解题核心：确定球心位置，利用勾股定理列方程求半径: - 有两两垂直棱→补长方体（墙角模型）； - 直棱柱 / 圆柱→球心在中垂面， ; - 正棱锥 / 圆锥→球心在高线上，列方程求解。 2. 内切球解题核心：等体积法， 。 3. 球的截面：利用 建立半径与距离关系。 易错分析 1. 求范围时忽略锐角三角形等约束条件，导致范围扩大； 2. 基本不等式使用时，忽略等号成立的条件是否满足三角形要求； 3. 角的范围推导错误，导致三角函数值域计算偏差。 知识点9 体积的最值与范围问题 方法技巧 1. 函数法：设变量（如半径、高），将体积表示为单变量函数，结合函数单调性或导数求最值； 2. 基本不等式法：利用表面积、侧面积等定值条件，结合均值不等式求体积最值； 3. 几何临界法：分析运动过程中的临界位置，确定最值点。 易错分析 1. 变量范围考虑不全，忽略几何约束（如底面半径、高的取值限制）； 2. 基本不等式使用时忽略等号成立条件； 3. 多变量问题无法正确消元，导致无法求解。 知识点10 截面、展开与实际应用问题 方法技巧 1. 截面问题：找平面与几何体棱的交点，顺次连接得截面形状，再计算面积周长； 2. 展开问题：将侧面展开为平面图形，化曲为直，用两点之间线段最短求最短路径； 3. 实际应用：抽象出几何体模型，对应表面积、体积公式求解。 易错分析 1. 截面交点找不全，导致截面形状判断错误； 2. 圆锥展开图中圆心角与底面半径、母线的关系记错； 3. 展开图中起点与终点的对应位置搞错。 考 点 演 练 题型1 简单组合体的结构特征 【典例1】一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为　 　 ． 【变式1】一个正方体内接于一个高为，底面半径为1的圆锥，则正方体的棱长为　 ． 题型2 中心投影及中心投影作图法 【典例1】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．先变小后变大 【变式1】下列几种关于投影的说法，正确的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．平行直线的平行投影仍是平行直线 C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点 D．中心投影的投影线是互相平行的 题型3 平行投影及平行投影作图法 【典例1】如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 【变式1】如图，正四面体ABCD的棱AB与平面α平行，且正四面体内的所有点在平面α内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（　　） A． B．1 C． D．2 题型4 空间几何体的直观图 【典例1】一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝2，那么原△ABO的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二测直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B．5 C．5 D．10 题型5 由三视图求面积、体积 【典例1】如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（　　） A．，7π B．，9π C．，5π D．，3π 【变式1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．2 B． C．4 D． 题型6 棱柱的侧面积和表面积 【典例1】如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱OO1，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（　　） A．9π B．11π C．15π D．19π 【变式1】如图，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A﹣BCD的体积为，则该圆柱的侧面积为　 　 ． 题型7 棱锥的侧面积和表面积 【典例1】陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为（　　） A．44π B．46π C．48π D．50π 【变式1】如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，P1，P2，⋯，P9是棱AB的10等分点，过Pi（i＝1，2，⋯，9）作与AC，BD均平行的平面α，记此平面截正四面体ABCD所得的截面面积为Si.则Si＝（　　） A． B． C． D． 题型8 棱台的侧面积和表面积 【典例1】已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的高为，AB＝3A1B1＝3，则该棱台的侧面积为（　　） A． B． C．18 D． 【变式1】在直角△AOB中，，AB＝4，D为AB上一点，现将直角△AOB以边AO所在直线为轴旋转一周，其余两边旋转一周形成的面围成圆锥，点C为此圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，则（　　） A．该圆锥的侧面积为8π B．当D为AB中点时，过D作平行于圆锥底面的平面，截圆锥所得台体的体积为 C．当CD在圆锥表面上的距离最短时，D为AB三等分点 D．该圆锥内装有三个半径相等的铁球时，铁球的最大半径为 题型9 棱柱的体积 【典例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AB上靠近A的三等分点，平面EC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（V1＞V2）的两部分，则V1：V2＝（　　） A．5：3 B．7：5 C．14：13 D．28：27 【变式1】如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1，BB1，CC1均垂直于底面ABC，已知AB＝BC＝AC＝CC1＝4，BB1＝2，AA1＝6，则该几何体的体积为 　 　 ． 题型10 棱锥的体积 【典例1】如图所示，若长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则下列说法正确的个数是（　　） ①点B到直线C1E的距离为； ②三棱锥B1﹣C1CE的外接球的表面积为12π； ③平面B1CE∥平面A1BD； ④三棱锥C1﹣B1CE的体积为． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P满足，若经过P，B1，C1三点的平面将棱柱分为Γ1，Γ2两部分（Γ1的体积较小），则Γ1与Γ2的体积之比为（　　） A．4：5 B．5：7 C．10：17 D．8：19 题型11 棱台的体积 【典例1】在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，若侧棱与底面的夹角为45°，则该四棱台的体积为（　　） A． B．112 C． D． 【变式1】在陕西汉中某明清古民居的修缮中，发现了一个用于梁架承重的木制方斗，其形状可被视为正四棱台．经实测，该方斗的上口边长为16cm，下口边长为12cm，侧棱长为，若忽略该方斗的厚度，则这个方斗的容积为（　　） A． B． C．1776cm3 D．1184cm 题型12 圆柱的侧面积和表面积 【典例1】已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OO1的侧面积的最大值为（　　） A．π B． C． D． 【变式1】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，P分别是棱BB1，A1D1的中点，平面DA1MN与平面CB1PQ将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，DD1上，则多面体MNDA1﹣PQCB1的表面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D． 题型13 圆锥的侧面积和表面积 【典例1】已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　） A．体积为3π B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【变式1】已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1：2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（　　） A． B． C． D． 题型14 圆台的侧面积和表面积 【典例1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式1】已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D．5π 题型15 圆柱的体积 【典例1】《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（　　） A．45πdm3 B．99πdm3 C．135πdm3 D．198πdm3 【变式1】如图，圆柱O1O2的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（　　） A． B． C． D． 题型16 圆锥的体积 【典例1】圆锥的底面半径为2，高为，现于圆锥内放置一个可自由旋转的正方体，则该正方体体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A．π B． C．3π D． 题型17 圆台的体积 【典例1】已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为9π，半径为的球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知圆台的母线与底面所成的角为60°，其内切球的体积为36π，则该圆台的体积为（　　） A．48π B． C．78π D． 题型18 球的表面积 【典例1】如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（　　） A． B． C． D．11π 【变式1】如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、E分别是AB的AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P﹣BCED，则下列说法中，正确的个数为（　　） ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9． ②取线段AD中点M，则翻折过程中，三棱锥B﹣CEM与四棱锥P﹣BCED体积比为定值． ③翻折过程中，直线BC始终与平面PDE平行． ④当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19 球的体积 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上不同于A，B的动点，PA垂直于⊙O所在平面． （1）证明：PC⊥BC； （2）若AC＝BC＝PA，求直线PC与平面PAB所成角； （3）若AB＝AP＝4，求三棱锥P﹣ABC的外接球体积． 【变式1】如图，三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O的表面上，底面△ABC中，AB＝2AC＝2PC＝2，∠BAC＝60°，侧棱PC⊥底面ABC． （1）求三棱锥P﹣ABC的表面积； （2）求球O的体积． 过 关 验 收 1．在△ABC中，C＝90°，AB＝2，BC＝1，以△ABC一边BC所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为　 　 ． 2．圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长． 3．如图直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（　　） A．1 B．4+2 C．2+2 D．4 4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，边AB，AC在平面α上的射影长分别为3，4，则边BC在α上的射影长可能为（　　） A． B． C． D． 5．如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线l）旋转而成，这个图形可以是（　　） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（　　） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 7．某个几何体的三视图如图所示（单位：m）： （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 8．已知下列几何体三视图如图． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体外接球的体积． 9．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，如右图所示．若A'O'＝O'B'＝B'C'＝1，则该直四棱柱的表面积为（　　） A． B． C． D． 10．在空间中，已知线段AB和直线l，直线AB∥l．AB＝10cm，直线AB与l间的距离为5cm．以直线l为旋转轴，将线段AB旋转一周而形成曲面δ，则曲面δ的面积为（　　） A．500πcm2 B．250πcm2 C．200πcm2 D．100πcm2 11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1．平面ACC1A1，平面BCD1A1和平面ABC1D1将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点B1所在的多面体的表面积为（　　） A． B． C． D． 12．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，AB＝4，A1B1＝2，则该正四棱台的侧面积为　 　 ． 13．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为a，若侧面AA1B1B水平放置时，液面高为，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法正确的是（　　） A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．三棱锥F﹣ABE的体积为 D．直线BC与平面AEF所成的角为45° 15．自驾旅游已成为很多家庭节假日休闲娱乐的首选．小明一家人自驾旅行途中，看到一座特色建筑，小明根据实景绘制出该建筑的几何示意图，并且根据介绍标记了其中一些数据，如图所示（单位：m），建筑上半部分的侧棱长都相等，下半部分是正棱台，则该建筑上半部分与下半部分体积的比为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝2，AB＝4，以直线CD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（　　） A．20π B．24π C． D． 17．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为2π，若它们的侧面积之比为2：1，则体积比为（　　） A．2：1 B．4：1 C． D． 18．如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（　　） A．9π B．16π C．25π D．36π 19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周与正方形ABCD的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（　　） A．2π B．3π C． D． 20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AD＝PD． （1）求证：AC⊥平面PBD； （2）求钝二面角A﹣PB﹣C的余弦值； （3）若存在一球心O在面ABCD上，且为四棱锥P﹣ABCD的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由． 21．已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为1：2，则球O与该正四棱台的体积之比为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $