第1部分 专题2 微专题7 三角函数的图象与性质（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题7　三角函数的图象与性质 ★[高考定位]　三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下． 　 　　　三角函数的定义、基本关系及诱导公式 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． [例1]　(1)(2024·张家口一模)已知cos＝，则sin＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C. D．－ [解析]　根据－x＝－结合诱导公式求解即可． sin＝sin＝－cos＝－. [答案]　A (2)[多选]已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则下列选项中正确的有(　　) A．sin α－cos α＝ B．tan α＝ C．cos α＝－ D．sin αcos α＝－ [解析]　将sin α＋cos α＝两边同时平方，整理得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－＜0，故D正确． 又α∈(0，π)，所以α∈， 所以由，解得， 故C正确， 所以sin α－cos α＝，tan α＝－，故A正确，B错误． [答案]　ACD 应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角三角函数的关系开方运算时，一定要注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 1．(2024·福州质检三)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cos α＝，P(m,2)为其终边上一点，则m＝(　　) A．－4　　 B．4 C．－1　　 D．1 解析：D　[根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解． 始边与x轴非负半轴重合，cos α＝，P(m,2)为其终边上一点， 则＝，且m＞0，解得m＝1.] 2．(2024·辽宁重点中学协作体三模)已知tan α＝，则＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：D　[由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得． ＝ ＝＝＝3.] 　　　　三角函数的图象 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，分别令z＝0，，π，，2π，求出相应x的值与相应y的值，描点、连线可得其图象． 2．图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin (ωx＋φ)． [例2]　(1) [多选](2024·浙江91 联盟模拟)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 [解析]　根据函数图象平移结论逐项检验可得结论． 把函数y＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y＝2sin ＝2sin＝2cos 2x的图象，A正确； 把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y＝2sin ＝2sin＝－2cos的图象，B错误； 把函数y＝2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y＝2sin ＝2sin＝－2cos的图象，C错误； 把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y＝2sin ＝2sin＝2cos 2x的图象，D正确． [答案]　AD (2)(2024·葫芦岛二模)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若∀x∈R，f(x＋m)＝－f(x)，则正整数m的取值可为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　先求出函数的周期T＝6，再据此得到m＝3l，l∈N*，最后比对选项即可． 方法一：因为f(0)＝cosφ＝，0＜φ＜， 所以φ＝， f＝cos＝0，所以＋＝＋2kπ，k∈Z，即ω＝＋4kπ， 而ω＞0，所以k是非负整数， 又由图象可得－0≤＝，所以ω≤π， 综上，只能k＝0，ω＝， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝6， 而由f(x＋m)＝－f(x)，可知f(x)＝－f(x＋m)＝f(x＋2m)，即正整数2m是f(x)的周期， 所以2m＝6l，l∈N*，即m＝3l，l∈N*，对比选项可知只有C选项符合题意． 方法二：设函数的最小正周期为T，由于sin＝，故据图象可知＝，从而T＝6. 从而由f(x＋m)＝－f(x)表明m＝，T＝3＋6k(k∈Z)，比对选项知C正确，A，B，D错误． [答案]　C 函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)的确定方法 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 1．(2024·揭阳二模)把函数f(x)＝3sin 3x的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin B．y＝3sin C．y＝3cos 3x D．y＝－3cos 3x 解析：C　[先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期T＝＝；利用函数平移的规律及诱导公式即得． 由题意得f(x)的最小正周期为T＝， 则所求函数为y＝3sin 3 ＝3sin＝3cos 3x.] 2．(2024·衡阳联考二)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，f(0)＝f＝f，则f＝(　　) A．0 B．－1 C．－ D．－ 解析：C　[根据题意，结合函数图象即可求得函数f(x)的解析式，然后代入计算，即可得到结果． 由图象可知，A＝2，由f(0)＝f＝f可得T＝π－0＝π， 又T＝，所以π＝，解得ω＝3， 所以f(x)＝2sin(3x＋φ)， 由f＝f可得，f＝f＝－2， 所以f＝2sin＝－2，即π＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 即φ＝－π＋2kπ，k∈Z，且|φ|＜，当k＝1时，φ＝， 所以f(x)＝2sin， 则f＝2sin＝－.] 　　　　三角函数的性质 1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)． 2．三角函数的奇偶性与对称轴方程 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝(k∈Z)时为奇函数． [例3]　(1)[多选](2024·莆田质检二)已知函数f(x)＝sin xcos x，则(　　) A．f＝ B．f(x)的最大值为1 C．f(x)在上单调递增 D．将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后与f(x)的图象重合 [解析]　由二倍角公式化简函数表达式，可直接判断AB，举反例判断C，由函数平移变换法则可判断D. 对于AB，f(x)＝sin xcos x＝sin 2x≤， f＝sin＝，故A对B错；当f＝sin＝＞f＝sin＝，故C错误； 将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后的图象所对应的函数表达式为f(x)＝sin2(x－π)＝sin 2x，故D正确． [答案]　AD (2) [多选](2024·惠州一模)已知函数f(x)＝2sin ，直线x＝－π为f(x)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝ B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)在区间[－π，π]上的最大值为2 D．若f(x＋θ)为偶函数，则θ＝2π＋3kπ(k∈Z) [解析]　根据正弦型函数的对称性确定φ的值，即可判断A选项；在根据解析式结合正弦型函数的性质判断B、C、D选项即可． 因为函数f(x)＝2sin，直线x＝－π为f(x)图象的一条对称轴，所以f(－π)＝2sin＝±2， 所以－＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝－，故A项不正确； 因为f(x)＝2sin，当x∈时，－≤x－≤－，所以f(x)在区间上单调递增，故B项正确； 当x∈[－π，π]时，－≤x－≤，f(x)在区间[－π，π]上的最大值为2sin＝1，故C项不正确； 若f(x＋θ)为偶函数，则f(x＋θ)＝2sin＝2sin，所以θ－＝＋kπ(k∈Z)，解得θ＝2π＋3kπ(k∈Z)，故D项正确． [答案]　BD 三角函数的单调性及周期性的求法 (1)三角函数的单调性的求法： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解． (2)三角函数周期性的求法： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝. 1．(2024·浙江五校联考)已知函数f(x)＝cos，则“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x＋θ)为奇函数且f(x－θ)为偶函数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断． 一方面，当θ＝＋kπ(k∈Z)时， f(x＋θ)＝cos＝－sin 2x是奇函数， f(x－θ)＝cos＝cos 2x是偶函数，故充分性成立， 另一方面，当θ＝时， 有f(x＋θ)＝cos＝sin 2x是奇函数， f(x－θ)＝cos＝－cos 2x是偶函数， 但此时关于k的方程＋kπ＝(k∈Z)没有解，故必要性不成立， 综上所述，在已知f(x)＝cos的情况下， “θ＋＋kπ(k∈Z)”是“f(x＋θ)为奇函数且f(x－θ)为偶函数”的充分而不必要条件．] 2．[多选](2024·江苏苏锡常镇四市调研)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(0)＝1 B．f(x)在区间单调递减 C．f(x)在区间的值域为[－1， ] D．f(x)在区间有3个极值点 解析：AD　[求出函数解析式，进而求得函数值判断A，举反例判断B、C，利用整体代换法判断D即可． 由图象得A＝2，T＝π－＝π，解得T＝π， 故ω＝＝＝2，故此时有f(x)＝2sin(2x＋φ)， 将代入函数解析式，得2＝2sin， 故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 而0＜φ＜，故φ＝，此时f(x)＝2sin， 显然f(0)＝1成立，故A正确， 易知f＝－2，f＝－，而π＜π，f＜f， 又π，π∈，故f(x)在区间上并非单调递减，故B错误， 易知f＝－2，π∈， 故f(x)在区间的值域不可能为[－1，]，故C错误， 当x∈时，2x∈(π，4π)，2x＋∈， 当2x＋＝π，π，π时，f(x)取得极值， 可得f(x)在区间有3个极值点，故D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $$