第1部分 专题2 微专题6 平面向量（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[教师用书独具] 2024年高考试卷 考情分布 命题解读 新高考全国Ⅰ卷 T4，T7，T15 1.考查内容：主要考查平面向量的运算、三角函数的运算、三角函数的性质、解三角形等知识． 2．趋势分析：(1)多层次：各种难度都有涉及，题型齐全； (2)综合性：强化通性通法，加大以三角函数的性质、解三角形为载体的方法、能力的考查； (3)变角度：加大三角函数的性质、解三角形相关问题的考查力度； (4)重能力：加大运算、探究等综合问题． 3．学科素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. 新高考全国Ⅱ卷 T3，T9，T13，T15 全国甲卷 T8，T9，T11 微专题6　平面向量 ★[高考定位]　高考中经常直接考查向量的概念和运算，以解决有关长度、垂直、夹角等问题，此类题一般以客观题形式出现，难度不大．有时也考查平面向量的综合应用．常与解析几何、三角函数等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅．综合性比较强，难度也比较大． 平面向量的概念及线性运算 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． [例1]　(1)[多选]下列说法错误的是(　　) A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量e1与向量e2共线，则有且只有一个实数λ，使得e1＝λe2 D．|a·b|≤|a|·|b| [解析]　对A，零向量的方向规定为任意方向，故错误；对B，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误；对C，根据共线定理可知，e2≠0时，才有唯一实数λ，使得e1＝λe2，若e2＝0，则实数λ不唯一，故错误；对D，|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故正确．故选ABC. [答案]　ABC (2)(2024·安阳三模)在△ABC中，BD＝BC，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b　　　　 B．－a＋b C．－a－b D.a－b [解析]　根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用、表示出即可． 由题设＝(＋)＝(＋)＝[＋(＋)]＝－＋， 所以＝－a＋b. [答案]　B 平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 1．(2024·承德二模)在△ABC中，D为BC中点，连接AD，设E为AD中点，且＝x，＝y，则＝(　　) A．4x＋2y B．－4x＋y C．－4x－2y D．4y－2x 解析：D　[利用平面向量基本定理将用，表示出来，再用向量的线性运算把用，表示即可． 由于＝(＋)＝＋，所以＝4－2＝4y－2x.] 2．(2023·武汉调研)正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ 解析：B　[设边长为2，如图，设AD，EC交于点O，有OD＝1，AO＝3， 则＝＋＝(＋)＋(＋)＝－＋.] 　　　　共线向量定理与平面向量基本定理 1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：当且仅当存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [例2]　(1)(2024·马鞍山质监)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　　) A．－　　 B．0 C．1　　 D. [解析]　依题意可得a＝tb，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可． 因为a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2且a∥b， 所以a＝tb，即(2k－1)e1＋2e2＝t(e1－e2)， 又e1，e2不共线， 所以，解得. [答案]　A (2)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经)一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为__________；②设＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________. [解析]　如图：连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点． 则S△DEF＝S△AEF＝S△AFC， S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF， 得＝. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋ ＝－，＝－＝－， 化简得＝＋， 所以λ＋μ＝＋＝. [答案]　 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运算条件． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1. 1．(2024·浙江五校联考)已知不共线的平面向量a，b满足(a＋λb)∥(λa＋2b)，则正数λ＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析：B　[思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解． 方法一：由已知有1·2＝λ·λ，λ＞0，解得λ＝. 方法二：设(a＋λb)＝μ(λa＋2b)，μ∈R，由题意，解得λ＝.] 2．[多选]设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M是边BC的三等分点 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 解析：ACD　[对于A中，根据向量的平行四边形法则，若＝＋＝(＋)， 则点M是边BC的中点，所以A正确； 对于B中，由＝2－，则－＝－，即＝， 则B为CM的中点，所以B错误； 对于C中，如图所示，由＝－－，可得＋＋＝0， 取BC的中点D，可得＝－2，则点M为△ABC的重心，所以C正确； 对于D中，由＝x＋y，且x＋y＝， 所以3＝3x＋3y且3x＋3y＝1， 设＝3，可得＝3x＋3y，且3x＋3y＝1，所以N，B，C三点共线， 因为＝3，所以M为AN的一个三等分点(靠近A)，如图所示， 所以S△MBC＝S△ABC，即△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．] 　　　　平面向量的数量积 平面向量的三个性质 1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则||＝. 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝. [例3]　(1)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A. B. C. D．1 [解析]　由(b－2a)⊥b得b2＝2a·b，结合|a|＝1，|a＋2b|＝2，得1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，由此即可得解． 因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4， 从而|b|＝. [答案]　B (2)(2024·焦作二模)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD，EFGH均为正方形，AD＝AE＝2，则·＝________. [解析]　建立直角坐标系，由数量积的坐标表示求解即可． 以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为AD＝AE＝2， 则F(－2,0)，B(2,2)，A(0,2)，H(4,2)， 所以＝(4,2)，＝(4,0)，所以·＝16. [答案]　16 求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，则4＋x2－4x＝0，解得x＝2.] 2．[多选](2024·揭阳模拟)已知向量a＝(m＋1，－1)，b＝(1－m,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝ B．当m＝1时，a在b上的投影向量的坐标为(0，－1) C．若a∥b，则m＝3 D．存在m∈R，使得a⊥b 解析：AB　[a＋b＝(2,1)⇒|a＋b|＝＝，因此选项A正确； 当m＝1时，a＝(2，－1)，b＝(0,2)， 因为·＝×(0,2)＝(0，－1)， 所以a在b上的投影向量的坐标为(0，－1)，因此选项B正确； 因为a∥b，所以有2(m＋1)＝－(1－m)⇒m＝－3，因此选项C不正确；a⊥b⇒(m＋1)(1－m)－2＝0⇒m2＝－1，该方程无实根， 因此选项D不正确，故选AB.] 学科网（北京）股份有限公司 $$