第1部分 专题1 培优微专题1 公切线（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题1]　公切线 近几年高考中为了体现题目的新颖性，出现了公切线问题，主要在客观题中出现，考查学生对“化归与转化”的思想和“函数”的思想的理解，题目的综合性较强，难度较大． 　　　　求两曲线的公切线 [例1]　(2024·邵阳模拟)已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为________． [解析]　利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案． 设直线l与曲线y＝ln(x－2)＋2和y＝ln(x－1)分别相切于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 分别求导，得y′＝，y′＝， 故l：y－[ln(x1－2)＋2]＝(x－x1)，整理可得y＝x＋ln(x1－2)＋2－. 同理得l：y－ln(x2－1)＝(x－x2)，整理可得y＝x＋ln(x2－1)－. 因为直线l为两曲线的公切线， 所以，解得， 所以直线l的方程为y＝2x－3－ln 2，令y＝0，则x＝. 则直线l与x轴的交点坐标为. [答案]　 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 1．已知直线l是曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的公切线，则直线l的方程为________． 解析：设直线l与曲线y＝ex－1相切于点P(a，ea－1)，与曲线y＝ln x＋1相切于点Q(b，ln b＋1)， 则ea＝＝， 整理得(a－1)(ea－1)＝0， 解得a＝1或a＝0， 当a＝1时，l的方程为y＝ex－1； 当a＝0时，l的方程为y＝x. 答案：y＝ex－1或y＝x 　　　　与公切线有关的求值或范围问题 [例2]　若函数f(x)＝aln x(a＞0)和g(x)＝x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为(　　) A．e　　 B. C．2e　　 D．2 [解析]　设直线与g(x)＝x2的切点为(x1，x)，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y＝2x1x－x，同样可推f(x)＝aln x的切线方程为y＝x＋a(ln x2－1)．两条切线重合，即可得出a＝4x－4xln x2有唯一实根．构造h(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案． 设直线与g(x)＝x2的切点为(x1，x)， 因为g′(x)＝2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y－x＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x. 设直线与f(x)＝aln x的切点为(x2，aln x2)， 因为f′(x)＝，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为y－aln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋a(ln x2－1)． 因为函数f(x)＝aln x(a＞0)和g(x)＝x2有且只有一条公切线， 所以有， 即a＝4x－4xln x2有唯一实根． 令h(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)， 则h′(x)＝8x－8xln x－4x＝4x(1－2ln x)． 解h′(x)＝0，可得x＝. 当4x(1－2ln x)＞0时，0＜x＜，所以h(x)在(0，)上单调递增； 当4x(1－2ln x)＜0时，x＞，所以h(x)在(，＋∞)上单调递减． 所以h(x)在x＝处取得最大值h()＝4e－4e×＝2e. 当x→0时，h(x)→0，h(e)＝4e2－4e2ln e＝0，函数h(x)图象如图所示， 因为a＞0，a＝4x2－4x2ln x有唯一实根，所以只有a＝2e. [答案]　C 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程． 2．若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：D　[y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m， y＝(a>0)在点处的切线斜率为， 如果两个曲线存在公切线，那么2m＝. 又由斜率公式得到2m＝， 由此得到m＝2n－2， 则4n－4＝有解， 则y＝4x－4，y＝的图象有公共点． 当直线y＝4x－4与曲线y＝相切时，设切点为(s，t)，则＝4，且t＝4s－4＝， 可得t＝4，s＝2， 即有切点(2,4)，a＝， 故a的取值范围是a≥.] 　　　　判断公切线条数 [例3]　曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　设公切线l与y＝x2的切点为(x1，x)， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝， 则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋ln x2－1， ∴ 整理得到x－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－＝， f′(x)>0⇒x>；f′(x)<0⇒0<x<， ∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x2－ln x＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. [答案]　C 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 3．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：A　[设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝， 解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0， 构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1， h′(x)＝8x(3x－2)， 则h(x)在(－∞，0)，上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)>0，极小值h<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故公切线有3条．] 学科网（北京）股份有限公司 $$