第1部分 专题1 微专题2 基本初等函数、函数与方程（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题2　基本初等函数、函数与方程 ★[高考定位]　基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现．有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数模型的选择使用．函数与方程主要是函数零点个数的判断，零点所在区间、求参数取值范围等方面． 基本初等函数的图象与性质 1．指数式与对数式的8个运算公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)(ab)m＝ambm； (4)loga(MN)＝logaM＋logaN； (5)loga＝logaM－logaN； (6)logaMn＝nlogaM； (8)logaN＝， 其中，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0. 2．指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，有0＜a＜1，a＞1两种情况：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数． [例1]　(1)(2024·深圳二模)已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限　　　　 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 [解析]　分析：由函数y＝loga过(0，－1)点，分类可解． 当x＝0时，y＝loga＝－1， 则当0＜a＜1时，函数图象过二、三、四象限； 则当a＞1时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象限． [答案]　D (2)(2024·河南TOP20名校联考)设a＝log32，b＝log33，c＝log22，d＝20.49则(　　) A．a＜b＝c＜d B．d＜c＝b＜a C．a＜d＜b＝c D．c＜a＜d＜b [解析]　分析：根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a，b，c，d的取值范围，即可求解． 由a＝log32＜log33＝1，b＝log33＝， c＝log22＝，1＝20＜d＜20.5＝， 即1＜d＜＜，所以a＜d＜b＝c. [答案]　C 基本初等函数图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论． (2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质，首先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断． (3)对于幂函数y＝xα的性质，要注意α>0和α<0两种情况的不同． 1．已知alog94＝1，则2－a＝(　　) A.　　 B. C.　　 D．3 解析：C　[分析：运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得． 由alog94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9,2a＝3，故2－a＝.] 2．(2024·广州测试一)已知a＝，3b＝5,5c＝8，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：C　[分析：结合对数函数单调性比较a，b与a，c的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较b，c的大小，即可求解． 由题意得b＝log35，c＝log58， 因为a＝＝＝log3＞log35＝b，即a＞b，a＝＝＝log5＞log58，即a＞c， 因为＝×＝＞＝＝＞1，所以b＞c， 故a＞b＞c.] 　 　　　函数的零点 函数的零点与方程根、函数图象的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． [角度1]　函数零点个数的判断 [例2]　(2024·湛江二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　) A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 [解析]　分析：作出函数y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与y＝a的图象的公共点的个数，结合图象可得答案． 分别令函数f(x)＝|2x－1|－a＝0，g(x)＝x2－4|x|＋2－a＝0，即|2x－1|＝a，x2－4|x|＋2＝a，它们的根为y＝a与y＝|2x－1|和y＝x2－4|x|＋2交点的横坐标． 两个函数的零点个数转化为图象与y＝a的图象的公共点的个数， 作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示． 由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点； 当g(x)有3个零点时， f(x)只有1个零点； 当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点． [答案]　D [角度2]　根据零点个数求参数的取值范围 [例3]　(2024·安庆模拟)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1]∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪[1，＋∞) [解析]　分析：函数g(x)＝f(x)－|x2－kx|恰有3个零点，等价于方程＝|x－k|有三个不等的实数根．分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象，结合图象即可求解． 由题意得，方程＝|x－k|有三个不等的实数根． 而y＝＝， 分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象， 当k＝1时，y＝|x－1| 当x≥1时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝，所以y′|x＝1＝1， 所以曲线y＝ln x在点(1,0)的切线方程为y＝x－1， 如图，直线y＝x－1与曲线y＝ln x在点(1,0)处相切．所以k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案]　A 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法 和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 1．已知函数f(x)＝，则当k＞0时，函数y＝f(x)的零点个数为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：D　[分析：解出方程f(x)＝0的根，即可得出函数y＝f(x)的零点个数． 当x＞0时，由f(x)＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，合乎题意； 当x≤0时，由于k＞0，由f(x)＝0，可得kx＋1＝0，解得x＝－＜0，合乎题意． 因此，函数y＝f(x)的零点个数为2.] 2．[多选](2024·怀化二模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 C．＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2＞1 解析：BC　[分析：利用函数零点的意义，结合函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，确定x1，x2的关系，再逐项分析判断得解． 依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2， 则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标， 而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称， 又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称， 则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，BC正确，A错误； x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误．] 　　　　函数模型及其应用 函数的四种常见模型及求法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法． (3)构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． (4)构建指数、对数函数模型，借助指、对运算求解． [例4]　(1)嫦娥六号是中国进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v(t)(单位：米/秒)随时间t(单位：秒)的变化关系可以表示为：v(t)＝v0·e－λt，其中v0是初始速度，λ是一个与减速过程相关的常数．已知嫦娥六号在t＝0时的初始速度为v0＝1000 m/s，经过t＝10 s后，速度变为v(10)＝500 m/s.若嫦娥六号需要在t＝T s时将速度减至月球表面的安全着陆速度v(T)＝1 m/s，则T＝(　　) (精确到小数点后一位，参考数值：lg 2≈0.301) A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3 [解析]　分析：由题意可得e－10λ＝，可求得λ＝，又＝e－λT，代入计算可求得T. 由v(t)＝v0·e－λt，根据题意可得v(10)＝1000·e－10λ，又v(10)＝500， 所以e－10λ＝，两边取以e为底的对数，可得－10λ＝ln＝－ln 2， 所以λ＝，由v(T)＝1 m/s，所以1＝1000·e－λT，所以＝e－λT 所以两边取以e为底的对数得ln＝－λT， 所以T＝＝＝＝＝99.7. [答案]　A (2)已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用________个月就需要更换纯硫酸(参考数据lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)．(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 [解析]　分析：依题意建立通过x(x∈N*)月后性能指数y与x之间的函数关系式，得到不等式k·0.9x＜，通过两边取对数，整理化简即得． 设最初该种电池的性能指数为k，通过x(x∈N*)月后性能指数变为y，则y＝k·0.9x. 由题意得k·0.9x＜，即0.9x＜，两边取常用对数，可得xlg 0.9＜lg. ∵lg 0.9＜lg 1＝0，∴x＞＝ ≈≈13.1. 又x∈N*，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸． [答案]　C 解决函数实际应用题的两个关键点 (1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学概括，将实际问题归纳为相应的数学问题． (2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解函数模型使实际问题获解． (2024·衡阳联考二)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失Φ(单位：W/m)满足Φ＝，其中r1，r2分别为管道的内外半径(单位：mm)，t1，t2分别为管道内外表面的温度(单位：℃)，λ为保温材料的导热系数(单位：W/(m·℃))，某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为50 ℃，已知管道内半径为60 mm，当管道壁的厚度为75 mm时，Φ＝150 W/m，则当管道壁的厚度为120 mm时，Φ约为(　　) 参考数据：log32≈0.63. A．98 W/m B．111 W/m C．118 W/m D．126 W/m 解析：B　[根据题意将已知数据代入Φ＝求得λ的值，再代入r2＝180 mm即可得解． 由题意可得t1＝250 ℃，t2＝50 ℃，r1＝60 mm，r2＝60＋75＝135 mm，Φ＝150 W/m， 代入得150＝， 得出2πλ＝ln＝ln； 则当管道壁的厚度为120 mm时，r2＝60＋120＝180 mm， 则Φ＝＝ln×＝＝ ＝300(1－log32)＝300(1－0.63)＝111.] 学科网（北京）股份有限公司 $$