精品解析：云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上学期高一年级期中考 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知偶函数在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 4. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 5. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 若，则 D. 的图象与直线有一个交点 11. 已知，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 为偶函数 C. 在上单调，则或 D. 不可能为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数经过点，若，则______. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 14. 对于，满足，，且对于，恒有.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 16. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 17. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 19. 现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. （1）若函数在上是同步函数，求的值； （2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值； （3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高一年级期中考 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简M，根据集合的交集运算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：B 2. 已知偶函数在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递减， 又因为，所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：D. 3. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 4. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】由已知得， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值为. 故选：C. 5. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故A错误；对于B，在上单调递增，故B错误；对于C，经验证符合题意；对于D，因为，所以1，若是奇函数，则，故D错误. 【详解】对于A，函数的定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 又，所以是奇函数， 又幂函数，都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，因为，所以1， 若是奇函数，则，矛盾，即不是奇函数，故D错误. 故选：C. 6. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“依赖函数”函数的定义，逐项验证，A、B、C三个选项均可举出反例，对于D选项，令，则有，即，结合函数定义域，即可求解. 【详解】根据题意，对于A，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故A不是“依赖函数”； 对于B，的定义域为，当时，， 又因为，所以， 此时不存在使得，故B不是“依赖函数”； 对于C，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故C不是“依赖函数”； 对于D，的定义域为， 当时，，所以， 所以对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的， 使成立，所以该函数在其定义域上为“依赖函数”，故D正确. 故选：D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 8. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时的单调性可确定在上的单调性，结合二次函数性质和分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，单调递增， 在上单调递增，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，若，则（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、对勾函数性质和作差法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，又，，，A正确； 对于B，，在上单调递减，，B错误； 对于C，当，时，，此时，C错误； 对于D，，，，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是 C. 若，则 D. 的图象与直线有一个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以A选项错误. B选项，当时，， 当时，， 所以的值域是，所以B选项正确. C选项，由B选项的分析可知，若， 则，解得，所以C选项正确. D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 为偶函数 C. 在上单调，则或 D. 不可能为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据奇偶性的定义判断B、D，当时符合题意，当时，或，解得即可判断C. 【详解】对于A：当时，，令，解得， 所以只有一个零点，故A错误； 对于B：，令，，，故B正确； 对于C：当时，在上单调递减， 当时，若在上单调，则或，解得或或， 综上，或，故C正确； 对于D：， 所以不存在，使得恒成立，故不可能为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数经过点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意解出幂函数的解析式，再根据，结合幂函数定义域解出的值即可. 【详解】设幂函数为，，，， 因为，所以， 即，解得. 故答案为:. 13. 若“”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到为真命题，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为“”为假命题，可得为真命题， 即对于任意恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立， 所以取得最小值，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 对于，满足，，且对于，恒有.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】赋值法令，求出；进而解出，最后依次解出，即可. 【详解】令，代入及， 得，所以， 令，代入，得； 令，代入，得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 【答案】（1）； （2）证明：若，则； 若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另外两个元素和. 【解析】 【分析】（1）根据集合相等的概念列式计算即可求； （2）由，根据题意，结合，准确运算，即可证明. 【详解】（1）因为集合可表示为，也可表示为， 即. 则满足，且，解得，， 所以. （2）略 16. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数结合奇函数的定义及性质，即可求解； （2）先求出， 再根据有两个负根，则，从而可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为， 且为奇函数，所以，即． 此时，的定义域为， 且，为奇函数， 所以． 【小问2详解】 因为的图象过点，则，解得． 令，得． 因为函数与x轴负半轴有两个不同交点， 所以方程有两个不相等的负根， 所以，解得． 所以， 所以的取值范围为． 17. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1） （2）当单价为元时，取得最大利润为元 （3）件 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【小问1详解】 设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. 【小问2详解】 若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. 【小问3详解】 由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 19. 现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. （1）若函数在上是同步函数，求的值； （2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值； （3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）直接按新定义求解即可； （2）经分析得出含的方程组解出即可； （3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出的最小值即可. 【小问1详解】 函数在上是同步函数，且函数是递减函数， 又，，故当时，；当时，； 即，解得，. 【小问2详解】 由反比例函数在上是同步函数，，， 反比例函数在和上都是递减的， 当时，取最大值，当，取最小值， 即，故得. 【小问3详解】 可化为，过点， 因，，则对称轴， 故在上递增， 又在上是同步函数， 当时，取最小值1，当时，取最大值3. 即得，，解得，， 函数表达式为， 所以，当且仅当时取“”， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问由函数新定义解出，变形转化为；小问解出函数表达式为，将转化成基本不等式求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $