江西宜春市部分校2027届高三上学期开学考试数学试卷

高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A C B D B C C A AC ACD ABD 4 3 252 15．解：（1）将点的坐标代入，得， 1分 解得， 2分 所以的方程为． 4分 （2）由（1）得的焦点为， 5分 所以直线的方程为．设，． 7分 由得，恒成立， 8分 则， 9分 所以． 13分 16．（1）证明：因为平面，平面，所以． 1分 因为，，，所以根据可得， 3分 则，所以． 5分 因为，所以平面． 6分 （2）解：因为平面平面，所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 7分 如图，取上靠近点的三等分点，连接，，则，，所以四边形是平行四边形，所以． 9分 因为平面，所以平面，所以即为与平面所成的角． 11分 因为，，， 13分 所以，即与平面所成角的正切值为． 15分 17．解：（1）根据题意可得1个订单采用算法A准时送达的频率为， 1分 所以1个订单采用算法A准时送达的概率为0.5． 2分 （2）同（1）可得1个订单采用算法B准时送达的概率． 3分 记采用算法A的2个订单中准时送达的个数为，采用算法B的1个订单中准时送达的个数为，则，，． 的所有可能取值为0，1，2，3． 4分 ， 5分 ， 6分 ， 7分 ， 8分 所以的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.35 0.4 0.15 9分 （3）方案一中，的所有可能取值为0，1，2． ， 10分 ， 11分 ， 12分 所以． 13分 方案二中，． 14分 因为，所以题中观点不正确． 15分 18．（1）解：因为， 2分 所以存在对数系，其对数系数为． 3分 （2）（ⅰ）解：设．因为存在对数系，所以． 设，则，，， 4分 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，， 5分 所以当时，， 7分 即．因为，所以． 8分 又满足，所以． 9分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 10分 因为，所以， 11分 所以． 12分 设，则， 13分 所以， 15分 所以． 16分 因为，所以，即． 17分 19．（1）解：由，得，则曲线在点（）处的切线方程为，即． 1分 令，则， 2分 得或． 3分 故对于给定的，存在唯一的，使得曲线在点处的切线经过点，即在上全切交． 4分 （2）（ⅰ）证明：因为是奇函数，所以，对等式两边求导可得，则是偶函数． 5分 曲线在点（）处的切线方程为． 因为在上全切交，所以关于的方程有且只有两个不相等的实数解，． 6分 令，则． 7分 由题可知在上单调递增，又是偶函数，所以当时，，当时，， 8分 故在和上单调递增，在上单调递减，则当时，，从而当时，，则． 9分 根据切交函数的定义可知，，从而对于任意，均有． 10分 （ⅱ）解：在上单调递减． 任取，，令，，，则由（ⅰ）可知，，，由，得，则． 11分 曲线在处的切线记为，曲线在处的切线记为． 根据切交函数的定义有，． 12分 假设，令，． 因为，所以，所以，即在上单调递减． 13分 令，．当时，，则，则在上单调递减．因为，所以．又，所以．由在上单调递减，且，可得，则，即．因为，所以． 14分 令，则．当时，，则．因为为偶函数，所以，从而在上单调递增．因为，所以．又，所以，则，则，与矛盾． 15分 故假设错误，则，即对于任意，都有． 16分 综上所述，在上单调递减． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量，，则 A． B． C． D． 2．设集合，，则 A． B． C． D． 3．函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．若球的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为 A．2 B．8 C．6 D．4 5．随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处于水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处于干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为 A．0.75 B．0.82 C．0.85 D．0.8 6．若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知为第四象限角，且，则 A． B． C． D． 8．已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则 A． B． C． D． 10．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则 A．的焦距为6 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 11．如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，，分别为底面与底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则 A． B．的体积大于 C．是圆锥 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数（）与的最小正周期相等，则 ▲ ． 13．设椭圆：与椭圆：的离心率相等，则 ▲ ． 14．某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有 ▲ 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点在抛物线：（）上． （1）求的方程； （2）过的焦点作斜率为1的直线，且与交于，两点，求． 16．（15分） 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若为的中点，求与平面所成角的正切值． 17．（15分） 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法A与算法B的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的200个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于25分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法A时，1个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取3个订单，其中2个采用算法A，1个采用算法B．设这3个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第1个订单采用算法A，若该订单准时送达，则第2个订单仍采用算法A，否则第2个订单改用算法B;方案二为这2个订单均采用算法B．设方案一中这2个订单中准时送达的个数为，方案二中这2个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 18．（17分） 定义：在数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数． （1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． （2）已知数列存在对数系，且，，，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）证明：． 19．（17分） 设函数的定义域为，若对于给定的实数，存在唯一的实数，使得曲线在点处的切线经过点，则称为的单切点，为的切交点．若在某一区间内的每一点都是单切点，则称在上全切交．此时，将中的每一个实数与其对应的唯一切交点构成的对应关系记为函数，并称为在集合上的切交函数． （1）判断函数在上是否全切交，并说明理由． （2）已知是奇函数，其导函数在上的图象是一条连续不断的曲线．若对于任意，，当时，都有，且在上全切交，其切交函数为． （ⅰ）证明：对于任意，均有． （ⅱ）判断在上的单调性，并给予证明． 学科网（北京）股份有限公司 $