精品解析：吉林省松原市前郭县南部学区三校九年级上学期期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省九年级上学期期中考试） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解． 【详解】解：， 或， 解得， 故选D． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称，本选项不符合题意； B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称，本选项不符合题意； C. 是轴对称图形，也是中心对称，本选项符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 4. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握公式是解题的关键．根据题意得到进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故选B． 5. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， 四边形是的内接四边形， ， 故选：B． 6. 如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕点O逆时针方向旋转， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若一元二次方程的一个解是，则的值为____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，将代入求出m的值，再将m的值代入求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得， ， 故答案为：2025． 8. 如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为_____（填，，，中的一个字母） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法，通过比较线段的长短，即可得到，进而得出表示最好成绩的点为点，掌握线段长短的比较方法是解题的关键． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵， ∴表示最好成绩的点是点， 故答案为：． 9. 如图，点，，在上，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质．首先根据在同圆和等圆中同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的倍，可以求出，因为和都是的半径，所以可证是等边三角形，根据等边三角形的三个内角都相等可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示， 在中， ， 又， 是等边三角形， ． 故答案为： ． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于点D，若，则线段CD的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据抛物线的对称性找出线段之间的等量关系是解题的关键所在．由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A ，B，轴； ∴点D与点C是抛物线上的对称点； ∴； 故答案为：8． 11. 同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设折成的长方形的一边长为 ，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先根据可以折成边长为的等边三角形可知这根细铁丝长为，然后根据折成的长方形的一边长为，则可知长方形的另一边长为，根据长方形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：由题意可知细铁丝长为， 设折成的长方形的一边长为，则另一边长为， 根据题意得：， 故答案为：． 12. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 13. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接．若，，则的周长是______________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握矩形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为12． 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O半径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，交于，由垂径定理得（米，再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【详解】解：连接、，交于，如图所示， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解方程即可． 【详解】解： 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键． 16. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 17. 目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率． 【答案】这两年全市5G用户数的年平均增长率为120% 【解析】 【分析】设这两年全市5G用户数的年平均增长率为，根据2021年底5G用户数达到9.68万户，列方程为，求解即可． 【详解】解：设这两年全市5G用户数的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为120%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 18. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 晨晨同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数y的取值范围为， 你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由． 【答案】 解：晨晨的解答过程不正确， ， ∴抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标是， ∴当时，函数有最小值为， 当时，则； ∴当时，函数y的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点G是图③中边上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的高； （2）在图②中作的中位线，使点E、F分别在边、上； （3）在图③中的边上找到一点H，使． 【答案】（1）如图，即为所求： （2） 如图，即为所求： （3）如图，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则为上的高； （2）如图，取格点，连接，，与，分别交于，连接；则即为所求， （3）如图，仿照（1）作，连接交于，连接并延长交于，则 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； 【小问2详解】 解：由矩形的性质可得：，， ∴为三角形的中位线； 【小问3详解】 解：∵由（1）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的定义，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，三角形的高的含义，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 20. 如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）请判断的形状__________，并写出判断的依据__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由旋转的性质可得，结合旋转角为60度，可证是等边三角形； （2）先证，推出，再根据是等边三角形，得出，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：将线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）， 故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ，， 由（1）知， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 21. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 22. 如图，已知直线交于，两点，是的直径，点为上一点，且平分，过点作，垂足为点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形为矩形． （2）若的直径为，且，求的长． 【答案】（1） 证明： 平分， ∴， ，, ， 四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）根据得，根据平分得推出，结合即可求解； （2）设，则．．根据即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形为矩形， ． ，设，则． 的直径为10， ． 在中，由勾股定理得． 即，解得． ，故舍去， ． ． ，由垂径定理知，为的中点， ． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：（-5x+150）（x-8）=425， 整理得：， 解得：， ∵8≤x≤15， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ∴当x=15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系， 24. 综合与实践 【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，欢欢发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，附思考并证明． 【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当时，且点为的中点，直接写出四边形的形状． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）正方形 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，进而可得，利用“”证明，即可证明； （2）首先证明，易得，再利用“”证明，易得，进而证明，可得，即可证明四边形为平行四边形； （3）首先证明，结合可证明，，进而可得，易知为的中位线，可得；结合，可得；再证明，结合四边形为平行四边形，即可证明四边形的形状为正方形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）四边形的形状为正方形，理由如下： 如下图， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴，， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形的形状为正方形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． 【小问2详解】 解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，恰好落在上， 因此当时，正方形与四边形没有重合部分， 当时，重合部分的图形才拥有面积，且此面积在逐渐变化， 由于为等腰直角三角形，，且为中位线 因此的高为，到的距离为 设与的交点为M，与的交点为N， 重合部分的形状经历了以下几个阶段的变化： 第一阶段，重合部分为四边形，是一个矩形 ∴， 又为等腰直角三角形， 则，， 重合部分的面积， 第一阶段直到落在上时结束，此时为等腰直角三角形 ，， ∴， 解得 第二阶段，从落在上开始，设与的交点为S，与的交点为T，重合部分为矩形， ∴ ∴重合部分的面积为， 第二阶段，直到落在上时结束，此时，，即， 解得； 第三阶段，从落在上开始，此时重合部分为矩形，此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴重合部分的面积为， 第三阶段，直到运动结束为止，此时， 综上所述，y与x之间的函数关系如下： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点在抛物线上，其横坐标分别为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标． （3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标． （4）设，，，探索之间的等量关系，请直接写出结论． 【答案】（1） （2） （3）当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44； （4）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出抛物线的顶点为，对称轴为直线，根据点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，知，故，在中，令得； （3）分两种情况：当轴时，由A，D关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线，可得；即知，故，，在中，令求出y值即得E，F的纵坐标；当轴时，同理可得答案； （4）根据点C，D，E，F在抛物线上，其横坐标分别为m，，，，可得，，，，而，，，可求出，，，观察即可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的顶点为， ∵点E与抛物线顶点重合，E，F在抛物线上，横坐标分别为，， ， ， 在中，令得：， ； 【小问3详解】 解：当轴时，如图： ∴A，D关于抛物线的对称轴对称， ，抛物线的对称轴为直线， ； ∵D在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 在中，令， 得， ， 在中，令， 得， ； 当轴时，如图： 同理可得， ， ， 在中，令， 得， ； 在中，令， 得， ； 综上所述，当的边与y轴垂直时， E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44； 【小问4详解】 解：，理由如下： ∵点C，D，E，F在抛物线上， 其横坐标分别为m，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上坐标的特征，整式的加减等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 逐梦芳华——阶段性学业水平测评卷 （吉林省九年级上学期期中考试） 数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 若一元二次方程的一个解是，则的值为____． 8. 如图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，该同学投掷铅球最好成绩的点为_____（填，，，中的一个字母） 9. 如图，点，，在上，若，则的度数为_____． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作轴，与抛物线交于点D，若，则线段CD的长为__________． 11. 同一根细铁丝可以折成边长为的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设折成的长方形的一边长为 ，则可列方程为______． 12. 如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为______． 13. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接．若，，则的周长是______________． 14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O半径长为6米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 17. 目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数达到9.68万户，求这两年全市5G用户数的年平均增长率． 18. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围． 晨晨同学的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数y的取值范围为， 你认为晨晨的解答过程是否正确，请说明你的理由． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点G是图③中边上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的高； （2）在图②中作的中位线，使点E、F分别在边、上； （3）在图③中的边上找到一点H，使． 20. 如图，等边三角形内一点D，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）请判断的形状__________，并写出判断的依据__________； （2）若，求的度数． 21. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 22. 如图，已知直线交于，两点，是的直径，点为上一点，且平分，过点作，垂足为点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形为矩形． （2）若的直径为，且，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 综合与实践 【情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，欢欢发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，附思考并证明． 【探究】（2）欣欣尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【拓展】（3）彬彬在（2）的条件下继续探究：当时，且点为的中点，直接写出四边形的形状． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点在抛物线上，其横坐标分别为，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标． （3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标． （4）设，，，探索之间的等量关系，请直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $