3.1 指数幂的拓展课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1 指数幂的拓展 1 【学习目标】 1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化. 2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近 得到的思想方法. 3.通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理的核心素养；通过分数指数幂 与根式的互化，培养数学运算的核心素养. 2 知识点一 分数指数幂 1.正分数指数幂的定义：给定正数和正整数，，且，互素 ，若 存在唯一的正数，使得，则称为的次幂，记作 ____，这就是 正分数指数幂. 2.负分数指数幂的定义：给定正数和正整数,,且,互素 ,定义 . 课 前 预 习 3 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) × [解析] . （2）若有意义，则 .( ) × [解析] 根据分数指数幂的定义知，要使有意义，应满足 ， 即 . （3）分数指数幂可以理解为个 相乘.( ) × [解析] 分数指数幂不可以理解为个 相乘，其实质是一个数. 课 前 预 习 4 2.根式 一定有意义吗？ 解：①若为奇数，则对任意的实数， 都有意义； ②若为偶数，则当时，才有意义，当时， 没有意义. 课 前 预 习 5 知识点二 无理数指数幂 无理数指数幂, 是无理数是一个确定的正实数.至此，指数幂 中指 数的取值范围扩充为 . 课 前 预 习 6 探究点一 根式与分数指数幂 例1（1） （多选题）下列各式中，根式化成分数指数幂的形式正确的是 ( ) ABD A. B. C. D. [解析] ,C错误,易知A，B，D正确.故选 . （2）将 表示为根式的形式为______. [解析] 由分数指数幂的意义可知， . 课 中 探 究 7 变式 （多选题）[2024·四川南充高级中学高一月考] 已知 ，且 ，则下列不等关系可能成立的是( ) BD A.， B.， C.， D.， [解析] 因为，且，所以 ， 故，又，所以或.故选 . 课 中 探 究 8 ［素养小结］ （1）根式与分数指数幂互化的规律：根指数 指数位置分数的分母，被开 方数（式）的指数 指数位置分数的分子. （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数 指数幂的运算性质解题． 课 中 探 究 9 探究点二 化简、求值 例2 化简： （1） ； 解： . （2） ； 解：因为，所以 . （3）， . 解：因为 ，所以原式 . 课 中 探 究 10 变式（1） （多选题）下列各式的值相等的是( ) BC A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 对于A，，不符合题意； 对于B， ，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D， ，，不符合题意.故选 . 课 中 探 究 11 （2）计算： ． 解：原式 ． 课 中 探 究 12 ［素养小结］ （1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式， 然后运用根式的性质进行化简或求值. （2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简 时要结合条件或分类讨论. 课 中 探 究 13 拓展 化简： . 解：原式 . 课 中 探 究 14 1.分数指数幂 （1）分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂 与根式可以相互转化，在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0.同时， 负数开奇数次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要 把负号移到根号外面去，再按规定化成分数指数幂. （2）负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现 在指数上. 备 课 素 材 15 2.实数指数幂 引入了分数指数幂后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充. 当，是一个无理数时，规定 表示一个确定的实数，而且有理数指数幂的 运算性质对于无理数指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围. 备 课 素 材 16 的性质 利用根式的性质能方便地解决一些与根式有关的化简或求值问题. 例 求下列各式的值： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . 备 用 习 题 17 （4） . 解： . 备 用 习 题 18 $$