精品解析：湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期八年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日　14∶00～16∶00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（ ） A. B. C. D. 3. 蜜蜂的蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表，如图，它是由很多个大小几乎相同的正六边形蜂房组成．正六边形的每个外角是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一风筝的骨架图，点是中点，且垂直于，若，四边形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 与的周长相等 9. 如图，已知，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（ ） ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 数学与现实生活息息相关，在下列三个生活中常见的物品中，具有稳定性的是________．（填序号） ①自行车的三角形车架，②起重机的三角形吊臂，③相机三脚架． 12. 公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴． 13. 如图，在中，，则________°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若，那点的坐标是________． 15. 已知 ，那么的值为____________ 16. 如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）请直接写出点的坐标； （3）请求出的面积． 20. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 21. 如图，已知． （1）证明：； （2）若，求的度数． 22. 秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． （1）求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； （2）若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 23. 如图，平分，为反向延长线上的一点，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，且，求的长． 24. “2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． （1）将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； （2）若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； （3）若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 25. 如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． （1）求A，B两点的坐标； （2）若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； （3）如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期八年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日　14∶00～16∶00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 剪纸窗花不仅是艺术品，更是文化的传承与创新．它们通过谐音、象征等手法，构成富于寓意的艺术画面．下面是某学校部分学生的作品，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 故选：A． 3. 蜜蜂的蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表，如图，它是由很多个大小几乎相同的正六边形蜂房组成．正六边形的每个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的每个外角的度数都相等，且它们的度数之和为360度，据此求解即可． 【详解】解：， ∴正六边形的每个外角是， 故选：C． 4. 如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，可得：，不合题意； B、；当时，可得：，不合题意； C、当时，不能判定，不符合题意； D、当时，可得：，符合题意． 故选：D． 5. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，单项式除以单项式，解题的关键是掌握幂的有关运算法则．根据同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方，单项式除以单项式，逐个求解即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图是一风筝的骨架图，点是中点，且垂直于，若，四边形的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，由四边形的周长即可求出． 【详解】解：∵垂直于 ∴ ∵四边形的周长为 ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 与的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意； B．∵，， ∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意； C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意； D．∵与的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意． 故选：C． 9. 如图，已知，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质定理，是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质定理逐项判断即可． 【详解】A、∵， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴， ∴C正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（ ） ． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．证明，再根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质进行推导即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ∵ ∴，故②正确，符合题意； ， ， ， 与 互为对顶角， ， ， ，故③正确，符合题意； 从题目现有条件无法证出，故④错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 数学与现实生活息息相关，在下列三个生活中常见的物品中，具有稳定性的是________．（填序号） ①自行车的三角形车架，②起重机的三角形吊臂，③相机三脚架． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题考查了三角形的特性：稳定性，应注意在实际生活中的应用．只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性． 【详解】解：①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性； ②起重机的三角形吊臂，利用了三角形的稳定性； ③相机三脚架，利用了三角形的稳定性； 故利用了三角形稳定性的有①②③． 故答案为：①②③． 12. 公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，等边三角形有3条对称轴．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 故答案为：3． 13. 如图，在中，，则________°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：35． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若，那点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，坐标轴上的点的坐标，根据全等三角形的性质求出是解答关键． 根据可得到，再利用全等三角形的对应边相等，求出即可求解． 【详解】解： ， ． ， ， ． 故答案为：． 15. 已知 ，那么的值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 16. 如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，理解零指数幂，绝对值的性质，立方根，幂的乘方等相关知识是解答关键． （1）根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质来进行计算求解； （2）根据乘方，幂的乘方和立方根的性质来进行计算求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 将方程组整理得， ，得， 将代入③，得， ∴该方程组的解为； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴该不等式组的解集为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）请直接写出点的坐标； （3）请求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． 　　　 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据图形分别写出各点坐标即可； （3）利用割补法求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 20. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1）；6 （2）；10 【解析】 【分析】此题考查了整式的四则混合运算化简求值，幂的运算法则及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用幂的乘方、同底数幂相乘及单项式乘多项式法则，进行计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值； （2）原式利用积的乘方、同底数幂相除及多项式乘多项式法则进行化简，把与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：原式 . 当时， 原式； 【小问2详解】 解：原式 ， 当，时， 原式． 21. 如图，已知． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， 在和中， , ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及三角形外角的性质，关键是根据证明． （1）根据证明与全等即可； （2）利用三角形外角的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，, ∴． 22. 秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． （1）求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； （2）若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）元；元 （2） 有以下种购买方案： ①当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ②当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ③当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （）设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元，根据购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元．可得出方程组，解出即可． （）设购买支钢笔，则购买支中性笔，根据钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，列不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 由题意，得 解得 答：购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 【小问2详解】 解：设购买支钢笔，则购买支中性笔． 由题意，得 解得 ∵为整数， ∴，，． ∴有以下种购买方案： ①当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ②当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ③当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支． 23. 如图，平分，为反向延长线上的一点，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，且，求的长． 【答案】（1） 证明：如下图所示， ， ，， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】根据平行线的性质可证，、，根据角平分线的性质可证，等量代换可得，根据等角对等边可证是等腰三角形； 根据可以求出，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，根据等边三角形的三线合一定理可得，从而求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据平行线的性质找到角之间的关系；根据等边三角形的性质找到边之间的关系． 24. “2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． （1）将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； （2）若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； （3）若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 【答案】（1）；；可持续发展 （2） 解：①当时，作点关于x轴的对称点， ∵， ∴， ∴作点关于y轴的对称点， ∴，且， ∴； ②当时，作点关于y轴的对称点； ∵， ∴， ∴作点关于x轴的对称点 ∴且， ∴， 综上所述，与不重合， ∴必为“合作共赢点”，且； （3）； 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键， （1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可； （2）分为①当时，②当时，两种情况结合新定义求解即可； （3）先根据新定义求得，即的坐标为，再由，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：中，， 点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 中，， 点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 与重合， 为“可持续发展点”， 故答案为：；；可持续发展； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴作点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 又由（2）可知，， ∴， 求得， 即的坐标为， ∵， ∴， ∴． ∴，的坐标为． 25. 如图①所示，在平面直角坐标系中，若，且． （1）求A，B两点的坐标； （2）若以为直角边作等腰直角三角形，请直接写出所有可能的点C的坐标； （3）如图②，在（2）中，若点C为第三象限的点，且与y轴交于点N，与x轴交于点M，连接，过点C作交x轴于点P，求点C到的距离． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）由二次根式及平方的非负性质可得，再求解即可； （2）分点为直角顶点和点为直角顶点两种情况，构造全等三角形求解即可； （3）过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F，先证，可得，再证，可得，再证，可得，最后由角平分线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 解得， ； 【小问2详解】 解：以点为直角顶点，且在的上方时， 如图，作于点． ， ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 当以点为直角顶点，且在的上方时 作于点．如图， 同理可求：，， ， ， 以点为直角顶点，且在的下方时， 同理可得； 综上，所有可能的点C的坐标有：． 【小问3详解】 解：如图，过点C分别作轴，轴，，垂足分别为D，E，F， ∵， ∴， 由（2）可知C点坐标为， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即点C到的距离为4 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质，以及等腰三角形的定义等知识，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $