精品解析：山东省济南市高新区2024—2025学年上学期九年级期中考试数学卷

绝密★启用前 高新区2024-2025学年第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题 2024.11 本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分，本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题共40分） 注意事项：第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图．解决此类题的关键是由立体图形得到三视图，同时也考查学生空间想象能力．关键是掌握三视图的概念：主视图是从几何体的正面面看得到的视图；俯视图是从几何体的上面看得到的视图；左视图是从几何体的左面看得到的图形．从左面观察该立体图形即可得出其左视图． 【详解】解：∵一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞， ∴从左面看得该几何体的左视图是： 故选B． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3. 对于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴可以相交 C. 它的图像经过点 D. 当时，y的值随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限； 故选项A错误； 反比例函数的图象与坐标轴不可以相交，故选项B错误； ∵， ∴反比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限；在每个象限内随着x的增大而增大， ∴当时，y的值随x的增大而增大， 故选项D正确； 故选：D． 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中，锐角的正弦的定义：锐角的正弦等于锐角的对边与斜边的比，根据此定义即可完成解答． 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了直角三角函数中锐角三角函数的定义，注意：前提是必须在直角三角形中． 5. 如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6. 函数y=与y=-kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分k＞0和k＜0两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，A选项符合，C选项错误； 当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，B、D均错误； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大． 7. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 9. 根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②．若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，，连接，，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A. ①②⑤ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握．根据题意得到当时，，当时，，设，，求出，，求出的面积是3；时，随的增大而减小；由，得到；因为也行，根据结论即可判断答案． 【详解】解：①，，故选项①错误； ②当时，，当时，， 设，， 则，， 的面积是，故选项②正确； ③时，，随的增大而减小，故选项③错误； ④，， ∴，故选项④正确； ⑤设，则．则， ， 当， 整理得：， ， 有解， 可能存在，故此选项⑤正确； 正确的有②④⑤， 故选：B． 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由，可知；②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；③由②相似知：，进而可得则，则平分，即可得；④由，可证，根据对应边成比例，再结合等腰直角三角形和正方形的性质即可证明结论． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，则 ∴； ∴①正确，符合题意； ②∵是等腰直角三角形，则， ∴， 都是等腰直角三角形，同理可得 ∴， 又∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵， ∴，则， ∴平分 ∴； ∴③正确，符合题意； ④∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴④正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图像上点的坐标特征，将代入反比例函数即可得解．解题的关键是掌握：函数图像上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了 m，此时小球距离地面的高度为________ 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，根据，则设，则，由勾股定理得，，即，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得，， 即， ， ， ，（舍）， ∴， 即此时小球距离地面的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 13. 如图，已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，于点F.若，，则AE的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的定义可得=2，根据矩形的性质可得AD//BC，根据平行线的性质可得∠ACB=∠EAC，由EF⊥AC可得△AEF∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得答案. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠ABC=90°， ∴∠BCA=∠EAC， ∵EF⊥AC， ∴∠AFE=∠ABC=90°， ∴△AEF∽△CAB， ∴， ∵tan∠BAC=2， ∴=2， ∵EF=1， ∴AF=2. ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键. 15. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．设点的坐标为则，，，，，根据列方程解出值即可． 【详解】解：设点的坐标为，则， 又，轴， ∴， 又轴且点C在反比例函数图象上， ∴， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先根据绝对值的代数意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，二次根式的性质将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，即可求出长，得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 ∵， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）写出面积= ；面积= ． 【答案】（1）见详解 （2）4；1 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及相似三角形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：根据图象可得， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 故答案为：4；1． 19. 如图中，D、E是AB、AC上点，，，，，求证：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知条件证出，再由是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可判定相似，即可求证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质．此题比较简单，注意掌握两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似定理的应用． 20. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】（1）（2）围墙的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． （2）利用（1）中信息，直接求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． （2）由（1）知：，， ． ∴围墙的高度为． 21. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】（1）的长度为米 （2）甲选择的路线较近 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，解直角三角形求出、的长，再结合计算即可得解； （2）解直角三角形，分别求出两条路线的长度，比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图：作于，则， ， 由题意得：米，米，，， ∴在中，，，米， ∴米，米， 在中，，， ∴米， ∴米， ∴的长度为米； 【小问2详解】 解：在中，，，米， ∴米， ∴米， 在中，，，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）当为何值时，的面积为？ （3）当为何值时，与相似？ 【答案】（1） （2） （3）或时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 由题意，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：． 综上所述或时，与相似． 23. 如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式 的解集； （3）P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）和； （2）或； （3）点的坐标为 或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）根据题意可得点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P），根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标分别代入、得： ，解得 ， ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：观察函数图象知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设点，点 ， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，同样点P（或点Q）向右平移个单位向下平移个单位得到点Q（或点P）， ∴ 或 ，解得 或 ， 故点的坐标为 或 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移等，有一定的综合性，但难度适中． 24. 阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： （1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】（1）2 （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）猜想：与的数量关系并证明； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】（1）猜想：，理由见解析 （2） （3）的值为或或． 【解析】 【分析】（1）由题意得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 解：，理由如下， 四边形是矩形，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 的值为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高新区2024-2025学年第一学期期中学业水平测试 九年级数学试题 2024.11 本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分，本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题共40分） 注意事项：第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. 12 D. 3. 对于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴可以相交 C. 它的图像经过点 D. 当时，y的值随x的增大而增大 4. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，DE∥BC，且：：，，则的长为( ) A. B. C. D. 6. 函数y=与y=-kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 根据图①所示的程序，得到了与的函数图象，如图②．若点是轴正半轴上任意一点，过点作平行轴交图象于点，，连接，，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，随的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A. ①②⑤ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 10. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 反比例函数的图象经过点，则________． 12. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了 m，此时小球距离地面的高度为________ 13. 如图，已知，且，则________． 14. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，于点F.若，，则AE的长为________. 15. 反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为_______． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）在y轴右侧，以O为位似中心，画出，使它与的相似比为； （2）写出面积= ；面积= ． 19. 如图中，D、E是AB、AC上点，，，，，求证：. 20. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 21. 如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． （1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ （2）当为何值时，的面积为？ （3）当为何值时，与相似？ 23. 如图， 的图象与反比例函数图象相交于、两点，已知点坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）张红武求得另一个交点，观察图象，请直接写出不等式 的解集； （3）P为轴上的点，为反比例函数图象上的点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点的坐标． 24. 阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： （1）在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； （2）逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； （3）如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）猜想：与的数量关系并证明； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $