专题训练：角度的计算与余角补角-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

角度的计算与余角补角专题训练 1．（2023秋•越城区校级期末）如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2023秋•嘉兴期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 3．（2022秋•德清县期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 4．（2023秋•台州期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90° 5．（2023秋•东阳市期末）已知一个角的余角是这个角的3倍，则这个角的度数是（　　） A．22.5° B．60° C．30° D．67.5° 6．（2024春•沂南县期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．210° B．180° C．150° D．120° 7．（2023秋•东阳市期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形有 　 　．（填序号） 8．（2023秋•仙居县期末）如图，两个正方形的一个顶点重合，且重合的顶点在一条直线上，那么∠1的度数为 　 　． 9．（2023秋•温州期末）仅用一副如图所示的三角板进行拼接，除30°，45°，60°，90°以外，还可以准确拼得并且小于平角的角度可以是 　 　度．（写出一个即可） 10．（2024春•西湖区校级期中）把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝　 　度，∠2＝　 　度． 11．（2023秋•衢江区期末）如图，将直角三角板的直角顶点放在直线l的点A处．若∠1＝28°18′，则∠2的度数是 　 　． 12．（2023秋•椒江区校级期末）钟表上的时间显示为10：10，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为 　 　． 13．（2024春•余姚市期中）如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP、OQ折叠，若∠POQ＝80°，则∠A'OB'＝　 　． 14．（2023春•龙湾区期中）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中∠A′ED’＝n°，则∠BCE的度数为 　 　°．（用含n的代数式表示） 15．（2023秋•拱墅区期末）如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，⋯，OPn，满足∠AOP1＝∠AOB，∠P1OP2＝∠P1OB，∠P2OP3＝∠P2OB，⋯，∠Pn﹣1OPn＝∠Pn﹣1OB，若∠AOB＝α，则∠PnOB＝　 　．（用含n，α的代数式表示） 16．（2023秋•婺城区校级月考）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　 　． 17．（2023秋•长兴县期末）如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7， （1）求∠DOE的度数； （2）若OF⊥OE，求∠COF的度数． 18．（2023秋•德清县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC，∠BOC的度数； （2）分别作∠AOC和∠AOB的角平分线OM和ON，求∠MON的度数． 19．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF． （1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由； （2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数． 20．（2023秋•郧阳区期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD． （1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数； （2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数； （3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数． 21．（2023秋•西湖区校级月考）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC． （1）如图1，射线OD在∠AOC的内部． ①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数； （2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 22．（2022秋•台州期末）如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部． （1）如图2，若∠AOC＝30°，求∠AOD和∠BOC的度数． （2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）． ①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由． ②当∠AOD＝3∠BOC时，求α的度数． 23．（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝　 　． 问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝　 　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数． 24．（2023秋•江北区月考）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　；并猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由； （2）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由； （3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小相等的关系（用含有α，β的式子表示）． 25．（2022秋•玉环市期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB＝30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若m＝3，n＝2，t＝10秒时，∠BOC＝　 　°； （2）若m＝3，n＝2，当OA在OC的左侧且平分∠MOC时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC． ①若m＝3，n＝2，当射线OA，OB，OP中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出t＝　 　秒； ②当OA在OC的左侧，且∠COP与始终互余，求m与n之间的数量关系． 26．（2023秋•镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针OP，分针OQ只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 （1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为 　 　度； （2）已知某天上午第一节为数学课． ①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 　 　； ②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？ （3）若右半表面有一光线OM，OM始终保持平分∠POQ．若在某一时刻射线OM刚好指向刻度2的位置，此时OM的位置记为OM1，经过一个小时，射线OM的位置记为OM2．若∠M1OM2＜15°，请直接写出当OM在OM1处时，电子表盘所显示的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 角度的计算与余角补角专题训练 1．（2023秋•越城区校级期末）如图，将两块三角板的直角∠AOB与∠COD的顶点O重合在一起，绕点O转动三角板AOB，使两块三角板仍有部分重叠，且∠AOD＝3∠BOD，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOC＝∠BOD，再由∠AOD＝3∠BOD，可得3∠AOC+∠BOC＝180°，即可求解． 【解答】解：根据题意得：∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵∠AOD＝3∠BOD， ∴∠AOD＝3∠AOC， ∴3∠AOC+∠BOC＝180°， ∴2∠AOC+∠AOB＝180°， ∴2∠AOC+90°＝180°， 解得：∠AOC＝45°． 故选：B． 2．（2023秋•嘉兴期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 【分析】由∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD可得结论． 【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α）， 而∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD， ∴α＝β+β﹣∠COD， ∴∠COD＝2β﹣α， 故选：D． 3．（2022秋•德清县期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【解答】解：如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP＝＝， ∴＝； 如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP＝2∠MOP＝2×（x+2x）＝6x， ∴∠MON＝∠MOQ+∠QOP+∠NOP＝x+2x+6x＝9x； 综上，∠MON为或或9x， 故选：C． 4．（2023秋•台州期末）如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90° 【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案． 【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°， ∴∠3＝∠BOD， ∵∠EOD+∠1＝90°， ∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°， ∴∠3﹣∠2+∠1＝90°， 故选：D． 5．（2023秋•东阳市期末）已知一个角的余角是这个角的3倍，则这个角的度数是（　　） A．22.5° B．60° C．30° D．67.5° 【分析】首先设这个角为x°，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【解答】解：设这个角为x°， 由题意得：90﹣x＝3x， 解得：x＝22.5°． 故选：A． 6．（2024春•沂南县期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数等于（　　） A．210° B．180° C．150° D．120° 【分析】根据对顶角相等求出∠4＝∠3，再根据平角的定义解答． 【解答】解：如图，∵∠4＝∠3， ∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠2+∠4＝180°． 故选：B． 7．（2023秋•东阳市期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α＝∠β的图形有 　②③④　．（填序号） 【分析】根据直角三角板可得图①∠α＝45°，∠β＝60°，根据直角三角板可得图②∠β＝45°，进而可得∠α＝45°；根据余角和补角的性质可得图③、图④中∠α＝∠β，图⑤∠α和∠β互补． 【解答】解：根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图①中∠α＝45°，∠β＝60° 根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图②中∠α＝∠β＝45°， 由同角的余角相等可得图③中∠α＝∠β， 由等角的补角相等可得图④中∠α＝∠β， 在图⑤中∠α+∠β＝180°，不相等， 因此∠α＝∠β的图形是②③④． 故答案为：②③④． 8．（2023秋•仙居县期末）如图，两个正方形的一个顶点重合，且重合的顶点在一条直线上，那么∠1的度数为 　65°　． 【分析】根据平角的定义求出∠2的度数，根据余角的定义求出∠1的度数即可． 【解答】解：如图： 由题意，得：40°+90°+∠2+25°＝180°， ∴∠2＝25°， ∴∠1＝90°﹣25°＝65°； 故答案为：65°． 9．（2023秋•温州期末）仅用一副如图所示的三角板进行拼接，除30°，45°，60°，90°以外，还可以准确拼得并且小于平角的角度可以是 　75（答案不唯一）　度．（写出一个即可） 【分析】用30°的角和45°的角拼接，或用60°的角和45°的角拼接，或用30°的角和90°的角拼接，或用60°的角和90°的角拼接，或用45°的角和90°的角拼接均可得到符合题意的角． 【解答】解：用30°的角和45°的角拼接可得到75°和15°的角； 用60°的角和45°的角拼接可得到105°； 用30°的角和90°的角拼接可得到120°的角； 用60°的角和90°的角拼接可得到150°的角； 用45°的角和90°的角拼接可得到135°的角． 故答案为：75（答案不唯一）． 10．（2024春•西湖区校级期中）把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝　69　度，∠2＝　21　度． 【分析】根据余角、补角的定义计算． 【解答】解：根据题意可知，∠1+∠2＝90°，∠1﹣∠2＝48°， 所以∠1＝69°，∠2＝21°． 故答案为：69，21． 11．（2023秋•衢江区期末）如图，将直角三角板的直角顶点放在直线l的点A处．若∠1＝28°18′，则∠2的度数是 　118°18′　． 【分析】先算出∠1的余角，再算出∠3的补角即可． 【解答】解：1+∠3＝90°，∠1＝28°18′， ∴∠3＝90°﹣∠1＝61°42′， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝118°18′， 故答案为：118°18′． 12．（2023秋•椒江区校级期末）钟表上的时间显示为10：10，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为 　115°　． 【分析】根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针在旋转过程中所成角度的变化关系进行计算即可． 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知， ∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOB＝＝30°， ∠AOC＝30°×＝5°， ∴∠AOB＝30°×4﹣5°＝115°． 故答案为：115°． 13．（2024春•余姚市期中）如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP、OQ折叠，若∠POQ＝80°，则∠A'OB'＝　20°　． 【分析】由折叠的性质可得∠BOQ＝∠B'OO，∠AOP＝∠A'OP；然后由角的和差关系即可得到答案． 【解答】解：∵长方形纸片ABCD沿直线OQ，OP折叠， ∴∠BOQ＝∠B'OO，∠AOP＝∠A′OP， ∵∠POQ＝80°， ∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣80°＝100°， ∴∠A'OP+∠B'OQ＝100°， ∴∠A'OB'＝100°﹣80°＝20°． 故答案为：20°． 14．（2023春•龙湾区期中）如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中∠A′ED’＝n°，则∠BCE的度数为 　（30+n）　°．（用含n的代数式表示） 【分析】根据折叠求出∠AEA′＝120°，再表示出∠AED′＝120﹣n°，表示出∠DED′＝60°+n°，根据折叠求出∠DEC＝∠DED′，再根据平行求出答案即可． 【解答】解：∵∠ABE＝30°， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEA′＝120°， ∴∠A′ED’＝n°， ∴∠AED′＝120﹣n°， ∴∠DED′＝180°﹣（120﹣n°）＝60°+n°， 由折叠得∠DEC＝（60°+n°）＝30°+n°， ∵AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC＝30°+n°． 故答案为：（30+n）． 15．（2023秋•拱墅区期末）如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，⋯，OPn，满足∠AOP1＝∠AOB，∠P1OP2＝∠P1OB，∠P2OP3＝∠P2OB，⋯，∠Pn﹣1OPn＝∠Pn﹣1OB，若∠AOB＝α，则∠PnOB＝　　．（用含n，α的代数式表示） 【分析】首先计算∴∠AOP1＝，∠P1OP2＝，∠P2OP3＝，…，以此类推，∠Pn﹣1OPn＝，由此得∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn＝+++…+＝，然后再根据∠PnOB＝∠AOB﹣（∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn）可得出答案． 【解答】解：∵∠AOB＝α， ∴∠AOP1＝∠AOB＝＝，∠P1OP2＝∠P1OB＝＝，∠P2OP3＝∠P2OB＝＝， …，以此类推，∠Pn﹣1OPn＝∠Pn﹣1OB＝， ∴∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn ＝+++…+ ＝ ＝ ＝， ∴∠PnOB＝∠AOB﹣（∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn） ＝ ＝． 16．（2023秋•婺城区校级月考）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 　145°　． 【分析】由∠BCE是直角可求得∠BCD，由角的和差可得答案． 【解答】解：由题意可知：∠BCE＝90°，∠DCE＝35° 所以∠BCD＝90°﹣35°＝55°， 所以∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝145°． 故答案为：145°． 17．（2023秋•长兴县期末）如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7， （1）求∠DOE的度数； （2）若OF⊥OE，求∠COF的度数． 【分析】（1）根据∠AOC：∠AOD＝3：7，可求出∠AOC的度数，再根据对顶角的性质可求出∠DOB的度数，根据角平分线的性质即可解答． （2）根据垂直的定义可求出∠DOF的度数，再根据平角的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7， ∴∠AOC＝180°×＝54°， ∴∠BOD＝54°， 又∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝54°÷2＝27°． （2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°， ∴∠DOF＝63°， ∠COF＝180°﹣63°＝117°． 18．（2023秋•德清县期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC，∠BOC的度数； （2）分别作∠AOC和∠AOB的角平分线OM和ON，求∠MON的度数． 【分析】（1）设∠AOC＝x，∠BOC＝2x，根据∠AOC+∠BOC＝120°列方程求解即可； （2）先分别求出∠AOM和∠AON的度数，再根据∠MON＝∠AON﹣∠AOM求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2， ∴设∠AOC＝x，∠BOC＝2x， ∴x+2x＝120°， ∴x＝40°， ∴∠AOC＝40°，∠BOC＝80°． （2）∵OM是∠AOC的平分线，且∠AOC＝40°， ∴， 又∵ON是∠AOB的平分线，且∠AOB＝120°， ∴， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°． 19．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF． （1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由； （2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数． 【分析】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF； （2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得． 【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下： ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°， ∵OD平分∠AOF， ∴∠AOD＝∠FOD， ∴∠FOD+∠EOB＝90°， ∵∠FOD+∠EOF＝90°， ∵∠EOB＝∠EOF． （2）设∠AOD＝x°， ∵OD平分∠AOF， ∴∠DOF＝x°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣x°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠EOF＝∠AOF， ∴x°+x°＝90°﹣x°， ∴x＝30， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°． 20．（2023秋•郧阳区期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD． （1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数； （2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数； （3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义，得出∠AOC＝∠COB＝60°，再结合图形，即可求解； （2）由角平分线的定义，得出，表示出∠COE，即可求解； （3）由（2）得∠BOD＝2∠COE，再由题意确定∠COE＝30°，∠BOD＝60°，结合图形，列出关于∠AOB的方程组，即可求解． 【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠COB＝60°， ∵∠COD＝10°， ∴∠AOD＝60°+10°＝70°， ∵OE平分∠AOD， ∴． （2）∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD， ∴， ∵∠COE＝x°， ∴， 即， ∴∠BOD＝2x°； （3）∵由（2）得∠BOD＝2∠COE， ∵∠COE与∠BOD互余，∠COE+∠BOD＝90°， ∴∠COE＝30°，∠BOD＝60°， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠AOB+∠COD＝180°， ∵， ∴∠AOB， ∴∠AOB＝160°． 21．（2023秋•西湖区校级月考）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC． （1）如图1，射线OD在∠AOC的内部． ①求∠BOC的度数； ②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数； （2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）． 【分析】（1）①根据已知条件∠AOC＝4∠BOC．可知5∠BOC＝∠AOB，计算出∠BOC； ②∠DOB＝2∠EOC，根据互余列等式求出∠EOC； （2）∠BOE＝∠EOC+∠COB，再把∠EOC用含n的代数式表示． 【解答】解：（1）①∵∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝4∠BOC， ∴5∠BOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOB＝×75＝15°； ②∵OE平分∠DOC， ∠EOC＝∠DOE， ∴∠DOB＝2∠EOC+∠COB， ∵∠EOC与∠DOB互余， ∴∠DOB+∠EOC＝90°， ∴2∠EOC+∠COB+∠EOC＝90°， ∴3∠EOC+∠COB＝90°， ∵由①得∠COB＝15°， ∴3∠EOC+15°＝90°， ∴∠EOC＝25°； （2）当射线OD在∠AOC的内部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝75﹣n﹣15＝（60﹣n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC＝∠DOC＝（60﹣n）＝（30﹣n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝30﹣n+15＝（45﹣n）°； 当射线OD在∠AOC的外部， ∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC＝15°， ∴∠DOC＝∠AOB+∠AOD﹣∠BOC＝75+n﹣15＝（60+n）°， ∵OE平分∠DOC， ∴∠EOC＝∠DOC＝（60+n）°＝（30+n）°， ∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝（30+n）°+15°＝（45+n）°； 综上所述，∠BOE的度数为（45﹣n）°或（45+n）°． 22．（2022秋•台州期末）如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部． （1）如图2，若∠AOC＝30°，求∠AOD和∠BOC的度数． （2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）． ①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由． ②当∠AOD＝3∠BOC时，求α的度数． 【分析】（1）根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答； （2）①根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD，进行计算即可解答； ②利用①的结论，进行计算可求出∠BOC＝45°，然后再利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： ∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝120°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°， ∴∠AOD的度数为120°，∠BOC的度数为60°； （2）①∠AOD+∠BOC＝180°， 理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC ＝∠AOB+∠COD ＝90°+90° ＝180°， ∴∠AOD+∠BOC＝180°； ②∵∠AOD＝3∠BOC，∠AOD+∠BOC＝180°， ∴4∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝45°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝45°， ∴α的度数为45°． 23．（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝　15°　． 问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝　15　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数． 【分析】（1）问题1：根据OC平分∠AOB得AOC＝∠AOB＝30°，再根据OD平分∠AOC可得出∠AOD的度数； 问题2：根据点C是AB的中点得AC＝AB＝30，再根据点D是AC的中点可得出AD的长度； （2）①先求出AC+DB＝90，再根据线段中点的定义得EC＝AC，DF＝DB，进而得EC+DF＝（AC+DB）＝45，据此可求出EF的长； ②设∠AOD＝α，根据垂直的定义及平角的定义得∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，再根据角平分线的定义得∠AOE＝（90°﹣α），∠DOF＝（180°﹣α），由此得∠AOE+∠DOF＝135°﹣α，据此可求出∠EOF的度数． 【解答】解：（1）问题1：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠AOB＝30°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝15°； 故答案为：15°． 问题2：∵AB＝60，点C是AB的中点， ∴AC＝AB＝30， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝AC＝15， 故答案为：15． （2）①∵线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90， ∴AC+DB＝AB﹣CD＝90， ∵点E，F分别是线段AC，BD的中点， ∴EC＝AC，DF＝DB， ∴EC+DF＝（AC+DB）＝×90＝45， ∴EF＝EC+DF+CD＝45+90＝135； ②设∠AOD＝α， ∵点O在直线AB上，OC⊥OD ∴∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α， ∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD， ∴∠AOE＝∠AOC＝（90°﹣α），∠DOF＝∠BOD＝（180°﹣α）， ∴∠AOE+∠DOF＝（90°﹣α+180°﹣α）＝135°﹣α， ∵∠EOF＝∠AOE+∠DOF+∠AOD＝135°﹣α+α＝135°． 24．（2023秋•江北区月考）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　145°　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　40°　；并猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由； （2）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由； （3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的大小相等的关系（用含有α，β的式子表示）． 【分析】（1）若∠DCE＝35°，根据90°计算∠ACE的度数，再计算∠ACB的度数；若∠ACB＝140°，同理，反之计算可得结果；先计算∠ACB＝90°+∠BCD，再加上∠DCE可得∠ACB与∠DCE的关系； （2）先计算∠DAB＝60°+∠CAB，再加上∠CAE可得结果； （3）先计算∠AOD＝β+∠COA，再加上∠BOC可得结果． 【解答】解：（1）若∠DCE＝35°， ∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠ACE＝90°﹣35°＝55°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝55°+90°＝145°； 若∠ACB＝140°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：145°；40°； ∠ACB+∠DCE＝180°， 理由：∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+∠BCD， ∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠BCD+∠DCE＝90°+∠BCE＝180°； （2）∠DAB+∠CAE＝120°， 理由：∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝60°+∠CAB， ∴∠DAB+∠CAE＝60°+∠CAB+∠CAE＝60°+∠EAB＝120°； （3）∠AOD+∠BOC＝α+β， 理由：∵∠AOD＝∠DOC+∠COA＝β+∠COA， ∴∠AOD+∠BOC＝β+∠COA+∠BOC＝β+∠AOB＝α+β． 25．（2022秋•玉环市期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB＝30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若m＝3，n＝2，t＝10秒时，∠BOC＝　100　°； （2）若m＝3，n＝2，当OA在OC的左侧且平分∠MOC时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC． ①若m＝3，n＝2，当射线OA，OB，OP中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出t＝　12或30或48　秒； ②当OA在OC的左侧，且∠COP与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【分析】（1）根据∠MOB+∠BOC+∠NOC＝180°，即可求解； （2）根据平分线的性质得∠AOC＝∠MOA＝3t，再由平角为180°即可求解； （3）①当OB是∠AOP的角平分线，当OP是∠AOB的角平分线时，当OA是∠BOP的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由∠COP与始终互余，得出，进而可求解． 【解答】解：（1）当m＝3，n＝2，t＝10秒时， ∴∠MOB＝m×t+∠AOB＝3×10+30＝60°，∠NOC＝nt＝2×10＝20°， ∵∠MOB+∠BOC+∠NOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠MOB﹣∠NOC＝180°﹣60°﹣20°＝100°； 故答案为：100； （2）∵∠NOC＝2t，∠MOA＝3t， 又∵OA在OC的左侧且平分∠MOC， ∴∠AOC＝∠MOA＝3t， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+3t+2t＝180°， 解得：， （3）①当OB是∠AOP的角平分线时，如图所示： ∴∠BOP＝∠AOB＝30°， ∴∠AOP＝2×30°＝60°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝120°， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+120°+2t＝180°， t＝12， 当OP是∠AOB的角平分线时，如图所示： ∴∠AOP＝30°÷2＝15°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝30°，此时射线OC与OB重合， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+30°+2t＝180°， 解得：t＝30， 当OA是∠BOP的角平分线时，如图所示： ∴∠AOP＝∠AOB＝30°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝60°， ∵∠MOC＝∠MOA﹣∠AOC＝3t﹣60°， 又∵∠MOC+∠NOC＝180°， ∴3t﹣60°+2t＝180°， 解得：t＝48， 故答案为：12或30或48； ②当OA在OC的左侧时，如图所示： ∵∠MOA＝mt， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOP＝∠COP， ∵∠COP与始终互余， ∴， ∴， ∴， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴， 化简得：． 26．（2023秋•镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针OP，分针OQ只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 （1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为 　30　度； （2）已知某天上午第一节为数学课． ①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 　3：20　； ②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？ （3）若右半表面有一光线OM，OM始终保持平分∠POQ．若在某一时刻射线OM刚好指向刻度2的位置，此时OM的位置记为OM1，经过一个小时，射线OM的位置记为OM2．若∠M1OM2＜15°，请直接写出当OM在OM1处时，电子表盘所显示的时间． 【分析】（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可； （2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解： ②设时针与分针垂直时，显示的时间是 8 时×分，根据角度的和差进行计算即可求解； （3）根据题意，设显示的时间是 11 时 a分，当 a＜30 时，（×360°+30°﹣×30°）×＝60°，再计算即可．当 a＞30 时，（30°﹣×30°+360°﹣×360°）×＝60°，再计算即可． 【解答】解：（1）表盘上一大格的角度是360°×＝30°， 如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是9：30， 时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为3×30°+30°×1﹣105°； 故答案为：105； （2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图： 该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致， 这个时刻对应的时间为3：20． ②设时针与分针垂直时，显示的时间是8时x分． 则120﹣0.5x﹣6x＝90， 解得x＝． 依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示， 所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分； （3）一小时后，分钟的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动30°， 若要∠M1OM2＜15°，则时针在一小时后会经过刻度12或刻度6并反向运动； 若时针一开始在刻度5﹣6之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度2 的位置； 故时针开始的位置在刻度11～12之间． 设显示的时间是 11 时 a分， 当 a＜30 时， （×360°+30°﹣×30°）×＝60°， ∴a＝． 当 a＞30 时， （30°﹣×30°+360°﹣×360°）×＝60°， ∴a＝． 故具体的时间为11时分或11时分， 表盘不足一分钟的时间不显示， 故显示的时间的为11时16分或11时41分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$