微专题10 含参数不等式问题的处理策略-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题10 含参数不等式问题的处理策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 含参数一元二次不等式（因式分解型） 题型2 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 题型3 分式、根式含参数不等式问题 题型4 绝对值含参不等式问题 解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即; 示例：解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵ 解得方程 两根 ∴当时,解集为 当时，不等式为,解集为 当时, 解集为 二、按判别式的符号分类，即； 示例：解不等式 分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。 解：∵ ∴当即时，解集为； 当即Δ＝0时，解集为； 当或即,此时两根分别为，，显然, ∴不等式的解集为 三、按方程的根的大小来分类，即； 示例：解不等式 分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：，令，可得： ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，,可得其解集为； 当或时, ,解集为。 题型1 含参数一元二次不等式（因式分解型） 【例1】解下列不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. 【变式1】已知关于的不等式. (1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得； （2）， 当a=0，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式化为，不等式的解集为 当时，方程的两个根分别为：. 当时，两根相等，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或，. 综上： 当时，不等式的解集为 当a=0，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 【变式2】已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0， ∴不等式的解集为； （2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0， 当a＞0时，， 的根为：， ①当时，，∴不等式解集为， ②当时，，不等式解集为∅， ③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}， 综上，当时，不等式解集为， 当a时，不等式解集为， 当时，不等式解集为{x|x＜1}．． 【变式3】设，则关于的不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】时，，且， 则关于的不等式可化为， 解得或，   所以不等式的解集为，，． 故答案为： 【变式4】若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为， 由题意得不等式的解集是的子集， 不等式，即， ①当时，不等式的解集为，满足； ②当时，不等式的解集为， 若，则， 所以； ③当时，不等式的解集为，满足； 综上所述，实数a的取值范围为． 故选：B． 【变式5】已知集合 ， ，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】解不等式，得，所以或 ， ， 因为， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意． 当时，， 由，得，所以． 综上，m的取值范围为． 故答案为： 【变式6】已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______; 【答案】 【解析】由方程，可解得，当且仅当时，等号成立， 则，即，由，则集合中的元素最少有个， 故答案为：. 【变式7】已知，． (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求实数的值； (3)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）代入直接运算求解即可； （2）由题意可知，且是方程的解，利用韦达定理运算求解； （3）由题意可得：，分类讨论两根大小分析求解. 【详解】（1）当时，由，即，解得， 所以的解集为. （2）由的解集为，可知，且是方程的解， 则，解得， 所以实数的值为4. （3）由题意可得：， 因为，令，解得或1，则有： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式8】设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可； （2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出. 【详解】（1）因为， 所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且, 解得， 所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为， 即，， 因为， 所以当，即时，解得或， 不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为； 当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 题型2 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 【例2】解关于x的不等式． 【解析】（1）当时，原不等式，解得， 不等式解集为； （2）当时，， 开口向上，由图象得： 若时，， 的两个零点为，， 不等式的解集为； 若时，，不等式解集为； （3）当时，， 的两个零点为， 开口向下， 由图象得不等式解集为； 综上可知，当时不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【变式1】解关于的不等式： （1）； （2）； （3）； （4） 【解析】解：（1）等价于， 当时，不等式的解集为， 当时，等价于， 即当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为空集， 当时，不等式的解集为，， 当时，不等式等价于， 即不等式的解集为，， （2）等价于 当时，不等式的解集为， 当时，不等式等价于，不等式的解集为 当时，不等式等价于， 当时，不等式的解集为，，， 当时，不等式的解集为，，， 当时，不等式的解集为，，， （3）； 当时，不等式的解集为，， 当时，且△时，即时，不等式的解集为，， 当是，且△时，即时，不等式的解集为空集， 当时，且△时，即时，不等式的解集为，，， （4）， 当△时，即时，的根为（舍去）或， 若当时，即时，不等式的解集为，， 若当时，即时，不等式的解集为空集 若当时，即时，不等式的解集为空集 当△时，即时，不等式的解集为空集， 当△时，即时，不等式的解集为空集， 综上所述当时，不等式的解集为，，当时，不等式的解集为空集． 【变式2】解关于的不等式： （1）； （2）． 【解析】解：（1）△时，解得或． 当或时，不等式化为，此时不等式的解集为． 由△解得或，此时不等式化为 ， 解得，此时不等式的解集为： ； △时，即时，不等式的解集为． 综上可得：时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． （2）当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为． 当时，由△，解得或． 当或且时，不等式化为． 当或时，不等式的解集为或． 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为． 当或时，不等式的解集为或． 当时，不等式的解集为． 题型3 分式、根式含参数不等式问题 【例3】已知，解不等式． 【解析】解：原不等式化为① （1）当时，原不等式为． 在①中，分子中的系数含有字母，分类讨论就从这里引起． （2）当时，原不等式化为． ② 对于不等式②，分子中的系数不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变． 当时，原不等式等价于． 由于，可解得．也可先确定两根，， 然后直接写出解集． 当时，等价于． 由可解得或． 综上，当时原不等式的解集为． 当时，解集为 当时，解集为． 【变式1】解关于的不等式（其中） 【解析】， 又由知 当时，则集合； 当时，原不等式解集为空集； 当时，则集合； 综上：当时，； 当时，为空集； 当时，. 【变式2】解下列关于的不等式：（为实数） (1) (2). 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：， ， 当时，，原不等式无解； 当时，对应一元二次方程的两个解为：， 所以的解为：， 综上所述，时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为； （2）原不等式等价于， 当时，解集为； 当时，原不等式可化为， 因为，所以解集为； 当时，，解集为； 当时，原不等式等价于， 所以，解集为； 当时，，解集为； 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【变式3】解不等式：． 【解析】且． 当时，且且， 此时原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，且且或， 此时原不等式的解集为或． 综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或． 【变式4】不等式的解集是　　 A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】解：不等式可化为：， 即， 解得：或， 又由，且得：． 综上可得：． 故不等式的解集是， 故选：． 题型4 绝对值含参不等式问题 【例4】已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由，得，∴． 由，得. 显然，∴，解得． 故答案为：. 【变式1】对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】解：不等式恒成立， 的图象不能在 的图象的下方，如图所示： ； 故选：． 【变式2】设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___． 【答案】2≤a≤4 【解析】由|x﹣a|＜1，得﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1， 由A是B的真子集，得 ，∴2＜a＜4． 又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}， a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}， 均满足A是B的真子集， ∴2≤a≤4． 故答案为：2≤a≤4 【变式3】若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由可得，也就是， 因为解集中的整数只有2,3，所以， 所以，故． 填． 【变式4】解关于x的不等式：. 【解析】两边平方，得， 即. 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题10 含参数不等式问题的处理策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 含参数一元二次不等式（因式分解型） 题型2 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 题型3 分式、根式含参数不等式问题 题型4 绝对值含参不等式问题 解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即; 示例：解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵ 解得方程 两根 ∴当时,解集为 当时，不等式为,解集为 当时, 解集为 二、按判别式的符号分类，即； 示例：解不等式 分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。 解：∵ ∴当即时，解集为； 当即Δ＝0时，解集为； 当或即,此时两根分别为，，显然, ∴不等式的解集为 三、按方程的根的大小来分类，即； 示例：解不等式 分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：，令，可得： ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，,可得其解集为； 当或时, ,解集为。 题型1 含参数一元二次不等式（因式分解型） 【例1】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式1】已知关于的不等式. (1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于的不等式的解集. 【变式2】已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 【变式3】设，则关于的不等式的解集是_________. 【变式4】若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式5】已知集合 ， ，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______． 【变式6】已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______; 【变式7】已知，． (1)当时，求的解集； (2)若的解集为，求实数的值； (3)当时，求关于的不等式的解集. 【变式8】设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 题型2 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 【例2】解关于x的不等式． 【变式1】解关于的不等式： （1）； （2）； （3）； （4） 【变式2】解关于的不等式： （1）； （2）． 题型3 分式、根式含参数不等式问题 【例3】已知，解不等式． 【变式1】解关于的不等式（其中） 【变式2】解下列关于的不等式：（为实数） (1) (2). 【变式3】解不等式：． 【变式4】不等式的解集是　　 A． B．或 C． D．或 题型4 绝对值含参不等式问题 【例4】已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【变式1】对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【变式2】设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___． 【变式3】若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______． 【变式4】解关于x的不等式：. $$