一元二次不等式 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

一元二次不等式目录 题型1、解一元二次不等式 题型2、解含参的由一元二次不等式 1、能因式分解 2、不能因式分解 题型3、由一元二次不等式的解求参或解不等式 题型4、一元二次不等式恒成立问题 1.定义域无限制 2.定义域有限制 3.同零点两函数问题 题型5、一元二次不等式有解问题 含参不等式中整数解问题 题型6、一元二次方程根的分布问题 题型7、一元二次不等式实际应用 题型8、二次函数值域问题 1、定轴定区间 2、 定轴动区间 3、 定区间动轴 4、 解答题： 题型9、一元二次不等式综合小题 题型10、解答题： 题型1、解一元二次不等式 开口向上：大于取两边，小于取中间 开口向下：大于取中间，小于取两边 1．（2025齐齐哈尔期中）不等式的解集为　　 A．，， B．，， C． D． 2．（2025兰州期中）不等式的解集为 A． B． C． D． 3.不等式的解集为 A． B． C． D．或 4．（2025齐齐哈尔期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　 A．或 B．或 C． D． 5．（2025双鸭山月考）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 解答题 1．求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4） 2．求解下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型2、解含参的由一元二次不等式 含参数的不等式：一个不等式中含有字母，称这个不等式为含参数不等式。 含参数不等式问题的解决涉及方程的观点及分类讨论的思想，长期以来一直是考试命题的一大热点，而大多数不等式通常可以转化为一元二次不等式。一般地，一元二次不等式的解集常与以下因素有关： （1）二次项系数的正负； （2）判别式的符号； (3)两根的大小比较。 其中二次项系数直接影响解集最后的形式，判别式的符号关系不等式对应的方程是否有解，而两根的大小关系到解集最后的形式。 解含参数的一元二次不等式，通常情况下需要分类讨论，那么如何讨论呢？一般有三种情况：一是二次项系数中有参数，二是判别式中有参数，三是方程的根中有参数。 1、能因式分解 1.解关于的不等式为实数）． 2．解关于的不等式． 3．（2025哈九中月考）对于给定的实数，不等式的解集可能是多选 A． B． C． D． 4.若，解关于的不等式． 5．(多选)已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（） A．或 B． C． D． 6.(2024哈三中高一) 讨论关于的不等式的解集． 2、不能因式分解 1.解下列关于的不等式：； 2.解下列关于的不等式； 3.(2024哈三中高一) 解关于的不等式，其中． 4.(2024哈九中高一)已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）已知，解关于的不等式． 题型3、由一元二次不等式的解求参或解不等式 韦达定理（根与系数关系） 知识点 ：当，有两个解 韦达定理(根与系数关系) ，特别地 例1.已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； （6）． (7) 1．（2025南开月考）不等式的解集是或，则 A．7 B．8 C．3 D． 2.（2024哈师大附中高一上）不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是　多选　 A． B． C． D． 3.(2024哈三中高一)已知不等式的解集为，，则不等式的解集为　　 A．，， B．， C．， D．，， 4.（2020哈六中高一第一次）若不等式的解集为，则函数的图象可以为　　 A． B． C． D． 5.（2024哈九中高一）若函数的部分图象如图所示，则（1）　　 A． B． C． D． 6.（2024大庆实验高一上）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　多选　 A． B． C．不等式的解集为或 D．的最小值为6 7.已知方程的两不等根分别是和，且满足，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 8.(2024德强高一)（多选）已知关于的不等式的解集为 ，则　　 A．的解集为 B．的最小值为 C．不等式的解集为 9.(2024大庆高一)若关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 10.(2023哈四中高一期中)已知，且，是方程的两根，则，，，大小关系可能是　　 A． B． C． D． 11.已知关于的不等式的解集是，，其中，则下列结论正确的有多选 A． B． C． D． 12.（2025哈尔滨）已知关于的不等式解集为，则多选 A．有最大值 B． C．的解集为 D．的解集为或 题型4、一元二次不等式恒成立问题 知识点：求解与不等式有关的恒成立问题时，往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况： ① 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 ② 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 另外，也可以采取分离参数法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题的前提是 ①易于分离参数；②能求出分离参数后相应函数的最值． 1.定义域无限制 1．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A．， B． C． D． 2．（2024哈师大附中期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 　　． 3．（2025长春月考），不等式恒成立，则的最小值为 A．9 B． C． D．10 4．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是， ； （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为　　 ． 5.(2024哈九中高一)已知当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　． 6．定义运算：，．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 7.（2024哈三中）已知关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围． 8．已知不等式：恒成立，则_______ ． 2.定义域有限制 1．（2024哈三中月考）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 　　． 2．（2025辽宁月考）“”是“在上恒成立”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是____． 4．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 A．， B．， C．，， D．， 5．已知对一切，，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．若，，对，，均有恒成立，则的取值范围为 　　 ． 7．已知函数，，若对，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 3.同零点两函数问题 1．（2025鸡西期中）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为　　 A． B．4 C．5 D． 2.(2024省实验高一)若，，则的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025宁夏期中）若不等式对任意恒成立，则实数 ． 4．（2025黑龙江月考，中难）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是　　 A． B． C． D． 5．(中难)已知，不等式对任意恒成立，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 6．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为． 题型5、一元二次不等式有解问题 1.（2019大庆铁人）若关于的不等式在区间内有解，则实数取值范围　 A． B． C． D． 2．若关于的不等式在区间，内有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．命题“，，”为假命题，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知关于的不等式在区间，有解，则实数的取值范围为． 5．当时，关于的不等式有解的一个充分不必要条件是　　 A．， B．， C．， D．， 6.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值可能是多选 A． B． C．1 D．2 7．已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，，，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 8.（2020哈三中高一）已知二次函数，，为偶函数，且不等式对一切实数恒成立． （1）求函数的解析式； （2）设函数关于的不等式在，有解，求实数的取值范围． 含参不等式中整数解问题 （1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 1. （2022哈师大附中期中）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，2， D．，，4 2．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 5.设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024德强月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　． 题型6、一元二次方程根的分布问题 表1（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表2：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 1.(2024德强高一)若关于的方程的两实数根均大于1，则实数的取值范围为　　 A． B． C．， D．，， 2．已知关于的方程有两个大于2的相异实数根，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 3．（2025重庆期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 5．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 　　． 6.(2024哈九中高一)(多选)已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为　　 A． B． C． D． 7.已知关于的方程，下列结论正确的是多选 A．方程有实数根的充要条件是或 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程无实数根的一个必要条件是 题型7、一元二次不等式实际应用 1．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 2．某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是　　 A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 4．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计． 5．某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）．经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元件）之间满足函数关系．已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本．（利润销售量售价生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元件，直接成本是第一年的利润全部投入．若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元件，求第二年利润的最大值． 6．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 16:43:35；用户：哈尔滨郭；邮箱：18345193694；学号：39144928 题型8、二次函数值域问题 1、定轴定区间 1．若，则　　 A．有最小值0，最大值3 B．有最小值，最大值0 C．有最小值，最大值1 D．有最小值，最大值3 2．已知函数，，，则的值域为 　　． 2、定轴动区间 1．设函数，（其中，，的最小值为，最大值为，求，的表达式． 2．已知二次函数，当时，若该函数的最大值为，最小值为，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025大庆铁人期末）若函数的定义域为，，值域为，，则实数的值可能是多选 A．5 B．4 C．3 D．2 4.（2020哈三中高一第一次）函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 3、定区间动轴 1.函数，，，求的最小值（a），并求（a）的最大值． 2.已知，求函数在区间，上的最小值． 3．已知二次函数，恒有，． （1）求函数的解析式； （2）设，若函数在区间，上的最大值为3，求实数的值． 4.(2024牡丹江高一)已知函数．若在，上有最小值9，求的值． 4、解答题： 1.(2024哈三中高一)已知函数． （Ⅰ）若函数定义域为，求的取值范围； （Ⅱ）若函数值域为，，求的取值范围． 2.（2020哈师大附中高一第一次）已知二次函数，为常数）满足条件（2），且方程有两个相等的实数根． （1）求函数的解析式； （2）是否存在实数，，使函数的定义域和值域分别为，和，？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由． 3.(2024德强高一)设，函数． （1）当时，求在，的单调区间； （2）记（a）为在，上的最大值，求（a）的最小值． 4.（2021哈师大附中高一第一次）已知函数，． （1）若，时，的最大值为6，求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型9、一元二次不等式综合小题 1.(2023哈尔滨高一期末)若函数，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 2.(2024双鸭山高一)若关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 3.(2024哈六中高一)若函数的最小值为，则实数的取值范围为　　． 4.(2024阿城一中高一)已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为　　 A． B． C．， D．， 5．（2016肇东月考）已知，，若对任意的，，总存在，，使成立，则实数的取值范围是　　． 6．函数在区间，上的最大值是7，则实数的值为　　． 7.(2024牡丹江，辽宁高一，难)正实数、满足：，且，则的取值范围为　　；实数的最小值为　　． 8.（2020哈三中高一）设函数，若，的值为　　 A．正数 B．负数 C．非负数 D．正负不确定 9.(2024哈师大附中高一期末)（2019浙江）已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是　　． 10.(2023大庆高一期末)关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 11.（2021哈师大附中高一第一次）已知函数，若关于的不等式的解集为，，则　　；若函数，，则函数的最大值为　　． 题型10、解答题： 1.（2024大庆铁人高一上）已知函数， （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数在，上的最小值为，求函数的表达式． 2．（2025上海月考）已知，不等式的解集为． （1）求的值； （2）且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 3.(2024牡丹江高一)已知函数，，集合． （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次不等式目录 题型1、解一元二次不等式 题型2、解含参的由一元二次不等式 1、能因式分解 2、不能因式分解（两根讨论大小） 题型3、由一元二次不等式的解求参或解不等式 题型4、一元二次不等式恒成立问题 1.定义域无限制 2.定义域有限制 3.同零点两函数问题 题型5、一元二次不等式有解问题 含参不等式中整数解问题 题型6、一元二次方程根的分布问题 题型7、一元二次不等式实际应用 题型8、二次函数值域问题 1、定轴定区间 2、 定轴动区间 3、 定区间动轴 4、 解答题： 题型9、一元二次不等式综合小题 题型10、解答题： 题型1、解一元二次不等式 开口向上：大于取两边，小于取中间 开口向下：大于取中间，小于取两边 1．（2025齐齐哈尔期中）不等式的解集为　　 A．，， B．，， C． D． 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【解答】解：不等式可化为，解得，所以不等式的解集为．故选：． 2．（2025兰州期中）不等式的解集为 A． B． C． D． 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 解：因为，解得，所以原不等式的解集为．故选：． 3.不等式的解集为 A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】解一元二次不等式即可得解． 【解答过程】不等式，即，解得或，所以原不等式的解集为或．故选：D． 4．（2025齐齐哈尔期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　 A．或 B．或 C． D． 【分析】由一元一次不等式的解集可知，的关系，再求解一元二次不等式． 【解答】解：若关于的不等式的解集是， 则，且，所以， 因为，所以，解得或， 则关于的不等式的解集是或．故选：． 5．（2025双鸭山月考）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题设条件确定参数范围和参数之间的数量关系，将其代入所求不等式计算即得． 【解答】解：根据题意知：可得，且方程的解为，则，即， 故，即，又，即得，解得， 即关于的不等式的解集为．故选：． 解答题 1．求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4） 【分析】（1）利用配方法即可解得； （2）因式分解后解一元二次不等式； （3）移项通分，转化成乘积的形式即可求解； （4）利用绝对值的概念去绝对值即可求解． 【解答】解：（1）， 所以不等式的解集为． （2）或， 所以不等式的解集为． （3）， 所以不等式的解集为． （4）由，得，解得，不等式的解集为． 2．求解下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原不等式可化为，即，解得或， 所以原不等式的解集为或； （2）不等式可化为，解得，所以原不等式的解集为； （3）原不等式可化为，即或，解得或， 所以原不等式的解集为或； （4）因为，所以，即，解得， 所以原不等式的解集为． 题型2、解含参的由一元二次不等式 含参数的不等式：一个不等式中含有字母，称这个不等式为含参数不等式。 含参数不等式问题的解决涉及方程的观点及分类讨论的思想，长期以来一直是考试命题的一大热点，而大多数不等式通常可以转化为一元二次不等式。一般地，一元二次不等式的解集常与以下因素有关： （1）二次项系数的正负； （2）判别式的符号； (3)两根的大小比较。 其中二次项系数直接影响解集最后的形式，判别式的符号关系不等式对应的方程是否有解，而两根的大小关系到解集最后的形式。 解含参数的一元二次不等式，通常情况下需要分类讨论，那么如何讨论呢？一般有三种情况：一是二次项系数中有参数，二是判别式中有参数，三是方程的根中有参数。 1、能因式分解 1.解关于的不等式为实数）． 【解答】解：对原不等式进行因式分解可得， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 2．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 3．（2025哈九中月考）对于给定的实数，不等式的解集可能是多选 A． B． C． D． 【分析】由已知对的正负进行分类讨论，然后结合二次不等式的求法即可求解． 【解答】解：当时，不等式可化为， 解得， 当时，原不等式可化为， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或．故选：． 4.若，解关于的不等式． 答案：可得，且， 所以的两根为， 当时，，解原不等式可得； 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，解原不等式可得， 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 5．(多选)已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 6.(2024哈三中高一) 讨论关于的不等式的解集． 【分析】通过讨论的范围，求出不等式的解集即可． 【解答】解：，， ①时，由，解得：，不等式的解集是； ②时时，，故不等式的解集是或， 时，时，，故不等式的解集是， 时，不等式为，不等式无解，时，， 故不等式的解集是；综上：时，不等式的解集是或， 时，不等式的解集是； 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是，时，不等式的解集是． 2、不能因式分解(两根讨论大小) 1.解下列关于的不等式：； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为， 且，则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 2.解下列关于的不等式； 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． 3.(2024哈三中高一) 解关于的不等式，其中． 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 【解答】解：当时，原不等式化简为，解得， 当时，令，解得，， △，解得， 当，△，不等式恒成立，解集为， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， 当时，△，，解得， 当时，△，开口向上，，无解， 综上所述，当时，不等式解集为， 当时，解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，解集为． 4.(2024哈九中高一)已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）已知，解关于的不等式． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为或，所以1和是方程的两根，由根与系数的关系知，，解得，； （2）不等式，即为， 当时，不等式为，解得； 当时，判别式△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得； 当时，判别式△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，解不等式，得； 当△时，方程有两不等实根，解方程得，， 当时，△，不等式对应的二次函数图象开口朝下，且，解得； 当时，△，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或； 当时，△，不等式对应的二次函数图象开口朝上，不等式的解集为； 当时，△，不等式对应的函数图象开口朝上，且，解得或； 综上，时，解集为； 时，解集为； 或时，解集为或； 时，解集为；时，解集为；时，解集为． 题型3、由一元二次不等式的解求参或解不等式 韦达定理（根与系数关系）应用 知识点 ：当，有两个解 韦达定理(根与系数关系) ，特别地 例1.已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值． （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； （6）． (7) 【思路分析】利用根与系数的关系进行求解． 【解析】∵和分别是一元二次方程的两根，∴． （1）． （2）． （3）． (4) (5) (6) (7)所以． 1．（2025南开月考）不等式的解集是或，则 A．7 B．8 C．3 D． 【分析】由不等式的解集与方程根之间的关系，列方程组解得，的值，进而求出的值． 【解答】解：因为不等式的解集是或， 所以和是方程的两个根，且，所以 解得，，则．故选：． 2.（2024哈师大附中高一上）不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是　多选　 A． B． C． D． 【解答】解：因为不等式的解集为， 所以，解得． 所以，．即．故选：． 3.(2024哈三中高一)已知不等式的解集为，，则不等式的解集为　　 A．，， B．， C．， D．，， 【分析】根据题意，分析可得方程的两个根为和，由根与系数的关系求出、的值，解不等式即可得答案． 【解答】解：根据题意，不等式的解集为，，则方程的两个根为和， 则有，解可得， 则不等式即，解可得或， 即不等式的解集为，，；故选：． 4.（2020哈六中高一第一次）若不等式的解集为，则函数的图象可以为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 则有，解可得， 函数，是开口向下，对称轴为的二次函数，故选：． 5.（2024哈九中高一）若函数的部分图象如图所示，则（1）　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图象知，的两根为2，4，且过点， 所以，解得，，， 所以，所以（1）．故选：． 6.（2024大庆实验高一上）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是　　 A． B． C．不等式的解集为或 D．的最小值为6 【解答】解：不等式的解集为，， 即，，且，故选项错误； ，故选项正确； 可化为，即， 故不等式的解集为或，故选项正确 ，当且仅当时，等号成立， 故选项正确；故选：． 7.已知方程的两不等根分别是和，且满足，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：由题意得△，，， 所以或，因为， 所以，解得，综上可得的取值范围为，． 故选：． 8.(2024德强高一)（多选）已知关于的不等式的解集为 ，则　　 A．的解集为 B．的最小值为 C．不等式的解集为 【分析】先解出方程的根，然后由题意可得，，然后根据，的值以及基本不等式，一元二次不等式的解法对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解答】解：解方程可得：或， 则由题意可得，， ：不等式化为，则，所以不等式的解集为，正确， ，因为，所以当时取得最小值为，故正确， ：因为，所以，则不等式的解集为，故错误， 故选：． 9.(2024大庆高一)若关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【分析】根据题设及对应二次函数性质知的对称轴为且求参数关系及范围，进而求目标式范围． 【解答】解：由二次函数的对称轴为，则， 且， 即，所以，可得， 则，所以，，故的范围为，．故选：． 10.(2023哈四中高一期中)已知，且，是方程的两根，则，，，大小关系可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案． 【解答】解：，由题意得，（a）（b），而，借助图象可知， ，，，的大小关系可能是．故选：． 11.已知关于的不等式的解集是，，其中，则下列结论正确的有多选 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由不等式的解集与方程根的关系分析可得、是方程的两个根，结合根与系数的关系，二次不等式与二次方程的关系，依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，关于的不等式的解集是，， 则有且、是方程，即的两个根， 则有，变形可得，正确； 同时，变形可得，正确； 又由，必有，错误； 由于方程的解为和1，而方程的两根为、， 结合二次函数的性质，有，正确．故选：． 12.（2025哈尔滨）已知关于的不等式解集为，则多选 A．有最大值 B． C．的解集为 D．的解集为或 【分析】由题意分析出二次函数中的，即可判断；由题意分析出一元二次方程的两根为和3，由韦达定理得到，将其分别代入，，选项中的不等式，再结合化简或求解不等式，即可判断，，． 【解答】解：对于，已知关于的不等式的解集为， 则，所以二次函数有最大值，故正确； 对于，由题意可知可得，即． 将上式代入可得， 因为，所以，即，故正确； 对于，将代入可得，即， 因为，解得，所以的解集为，故错误； 对于，将代入可得， 因为，所以上式可化为， 即，即， 解得（舍或，解得或， 所以的解集为或，故正确． 故选：． 题型4、一元二次不等式恒成立问题 知识点：求解与不等式有关的恒成立问题时，往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况： ① 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 ② 对任意实数 恒成立的充要条件是 或 另外，也可以采取分离参数法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题的前提是 ①易于分离参数；②能求出分离参数后相应函数的最值． 1.定义域无限制 1．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 A．， B． C． D． 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，再利用判别式可求得结果． 【解答】解：由题意可知，不等式对任意实数恒成立， 当时，不等式为对任意实数不是恒成立的，舍去， 当时，则，解得，综上可知，实数的取值范围是． 故选：． 2．（2024哈师大附中期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】当时，不等式即，满足条件；当时，由，求得实数的取值范围．再把实数的取值范围取并集，即得所求． 【解答】解：当时，不等式即，满足条件； 当时，要使不等式对一切恒成立， 需，解得．综上可得，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 3．（2025长春月考），不等式恒成立，则的最小值为 A．9 B． C． D．10 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可． 【解答】解：当时，不会恒成立，不满足题意； 当时，所以，即，所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为9．故选：． 4．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是， ； （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为　　 ． 【分析】（1）分二次项系数为0和不为0的情况，结合二次函数图象性质求解； （2）将不等式转化为关于的一次函数，利用其单调性结合恒成立条件列不等式组求解． 【解答】解：（1）当即时，不等式恒成立． 当时，需． 由得； 由△，结合，得，即． 综上，的取值范围是，． （2）将整理为关于的一次函数：（a）， 因，故（a）在，上单调递增， 要使（a）恒成立，需， ，即，解得； （1），解得或， 取交集得，所以的取值范围是． 故答案为：（1），；（2）． 5.(2024哈九中高一)已知当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，，　． 【解答】解：令（a）， 因为当，时，不等式恒成立， 所以，即，解得或， 故答案为：，，． 6．定义运算：，．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可． 【解答】解：由题意可变形为， 化简可得恒成立，所以△恒成立， 化简可得，解得， 所以实数的取值范围为．故选：． 7.（2024哈三中）已知关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围． 【解答】解：根据题意需分两种情况： ①当时，即， 若时，原不等式为，解得，故舍去， 若时，原不等式为，无解，符合题意； ②当时，即， 的解集是空集， ，解得， 综上得，实数的取值范围是．　 8．已知不等式：恒成立，则_______ ． 【分析】由特殊值时不等式成立可得，消元后得出两个不等式恒成立，据此可得，即可得出． 【解答】解：已知不等式：恒成立， 设函数，，， 由题意可得，注意到（1）（1），故必然有（1）， 故，，． 而，故， 移项化简后，可得均恒成立， 由①可得，将代入②式发现仍恒成立， 则，故，故答案为：． 2.定义域有限制 1．（2024哈三中月考）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 　　． 【分析】通过参变分离将不等式变形为，进而将恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合函数的单调性得，故而得解． 【解答】解：因为不等式在上恒成立，所以在上恒成立， 令，因为，所以， 所以函数在时单调递减， 所以，所以．故答案为：． 2．（2025辽宁月考）“”是“在上恒成立”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据“在上恒成立”求出的取值范围，再进行判断． 【解答】解：由在上恒成立， 得，恒成立．在上单调递增，则， 所以．由可知，但由不一定得到， 所以“”是“”的充分不必要条件．故选：． 3．若不等式对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【分析】由不等式在指定范围通过变形分离变量，由不等式恒成立问题转化为求函数最值． 【解答】解：不等式对，恒成立， 所以不等式变形为：，又因为，，所以恒成立，设，则是对勾函数，且在时取得最大值为， 所以的取值范围是．故答案为：． 4．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 A．， B．， C．，， D．， 【分析】令，找到二次函数的对称轴，讨论对称轴在题中区间内，由对称轴求得函数最小值，由最小值建立不等式，解得实数的取值范围．讨论对称轴不在题中区间内，由单调性求得函数最小值，由最小值建立不等式，求得实数的取值范围，从而求得实数取值范围． 【解答】解：令， 当时，即时，， 即，解得，，； 当，即时，函数在上单调递增， 即恒成立， ，．综上所述，．故选：． 5．已知对一切，，，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算，即可得解． 【解答】解：，，，，则， ，，又因为恒成立，且，，， 可得，令，， 则原题意等价于对一切，，恒成立，的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值为，故实数的取值范围是故选：． 6．若，，对，，均有恒成立，则的取值范围为 　，　 ． 【分析】令，由，求出，再将不等式化为对，，，取，解不等式求出，再验证即可． 【解答】解：令，所以， 设，则，将代入，得，即， 将代入，得，即， 由，可得，解得． 又原不等式可化为对，，， 为了消去，不妨取，可得，解得， 当时，原不等式可化为，即， 观察可知，当 时，对，恒成立，当且仅当取等号， 此时，，说明当时，，均可取到，满足题意； 所以的取值范围为，．故答案为：，． 7．已知函数，，若对，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B．， C． D． 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可． 【解答】解：如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且； 因为，，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当单调递减；当单调递增，显然（1）满足条件， 故有，即，解得； 且有，即， 则，解得； ，则， 解得，故；综上，由，；故选：． 3.同零点两函数问题 1．（2025鸡西期中）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为　　 A． B．4 C．5 D． 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【解答】解：不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且△，即，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4．故选：． 2.(2024省实验高一)若，，则的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：若，，则根据二次函数的性质可得，，即， 根据二次函数的性质可得，，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为2．故选：． 3．（2025宁夏期中）若不等式对任意恒成立，则实数 ． 【分析】由题意可得与异号或至少有一个为0，分、与进行讨论即可得． 【解答】解：若不等式对任意恒成立， 由题意可得与异号或至少有一个为0， 若，即或时，有，即恒成立，则； 若，即时，有，即恒成立，则； 当，即时，在上恒成立，符合； 综上所述：．故答案为：． 4．（2025黑龙江月考，中难）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】对进行分情况讨论，再借助二次函数的图象即可求解． 【解答】解：因为，所以当时，恒成立； 当时，，则； 当时，，则． 设， 则解得或，所以， 故当时，取得最小值．故选：． 5．(中难)已知，不等式对任意恒成立，则的最小值为　　 A． B．4 C． D． 【分析】根据题意，由不等式恒成立可得，且是方程的一个正根，从而可得，的关系，再由基本不等式代入计算，即可得到结果． 【解答】解：不等式对任意恒成立， 当时，， 若，当时，要使不等式对任意恒成立， 则对任意恒成立， 当时，不满足题意，所以，且是方程的一个正根， 将代入可得，即， 则， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为．故选：． 6．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 ． 【解答】解：已知对任意，不等式恒成立， 又因为的图象开口向上，△，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别为，， 所以在，上，，在，，上， 当时，由可解得， 则在上，，在上，， 要使不等式恒成立，则，如图所示： 把代入方程中，即， 整理得，解得，又因为，则； 当时，在上，，于是，上，， 不等式不恒成立；综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 题型5、一元二次不等式有解问题 1.（2019大庆铁人）若关于的不等式在区间内有解，则实数取值范围　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得在区间内成立，由，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围． 【解答】解：关于的不等式在区间内有解， 即为在区间内成立，由， 可得处函数取得最小值；时，； 时，，则函数的值域为，， 可得，解得．故选：． 2．若关于的不等式在区间，内有解，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】结合二次函数的图象与性质进行求解即可． 【解答】解：令，其图象开口向上，对称轴为直线， 在，单调递减，在，上单调递增， 在，上的最大值为， 要使不等式在区间，内有解， 只要0小于在，内的最大值即可，即，解得， 所以实数的取值范围为．故选：． 3．命题“，，”为假命题，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围． 【解答】解：依题意，“，，”为假命题， 则命题“，，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为，所以．故选：． 4．已知关于的不等式在区间，有解，则实数的取值范围为 ． 【分析】通过分离参数将不等式有解问题转化为函数最大值问题，利用函数单调性的定义分析函数在区间内的单调性，求出最大值，进而确定实数的取值范围． 【解答】解：由，，，得， 因，，，故，令，，， 设，则， 因，故，又，所以，即在递减， 同理，在递增，得（1），（2），故， 因此，即实数的取值范围为．故答案为：． 5．当时，关于的不等式有解的一个充分不必要条件是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】先求出当时，关于的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案． 【解答】解：当时，关于的不等式有解， 即在上有解，即只需即可， 令，因为，所以，则， 代入得，，， 因为， 当且仅当时取等号，此时，所以的最小值为6， 故当时，关于的不等式有解的充要条件是， 所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有符合．故选：． 6.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值可能是多选 A． B． C．1 D．2 【分析】由，，，可得：，求出函数的最大值即可． 【解答】解：由，，不等式有解， 可得：，则， 设，当时，， 当且仅当时取等号，所以，故正确，错误． 故选：． 7．已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，，，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可； （2）分离参数，即不等式转化为对任意恒成立，利用基本不等式求解的最小值即可求解； （3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）当时，，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，，． （2）若对任意，都有成立，即对任意恒成立， 不等式可化为，即对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，解得， 所以的取值范围是． （3）若对，，，，使得不等式成立， 即只需满足，，， ，对称轴，在，上单调递增，， ，，，对称轴， ①，即时，在，上单调递增，恒成立； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，故； ③，即时，在，上单调递减，，， 所以，解得．综上：． 8.（2020哈三中高一）已知二次函数，，为偶函数，且不等式对一切实数恒成立． （1）求函数的解析式； （2）设函数关于的不等式在，有解，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数为偶函数， ，即数， 由不等式对一切实数恒成立， 令，可知（1），故（1），， 对一切实数恒成立，即， ，，此时应满足； 对一切实数恒成立，即， ，，此时应满足， 综上，，； （2）由（1）得，， 关于的不等式 即为， 化简得，，令， 由在为增函数，在为减函数可知，函数在为增函数，，由题意，，解得且． 含参不等式中整数解问题 （1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 1. （2022哈师大附中期中）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，2， D．，，4 【解答】解：由，得， 若，则不等式无解． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则． 若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为，则． 综上，满足条件的的取值范围是，，． 故选：． 2．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【解析】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 3.若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【分析】设，则，（1），由题意可得不等式的解集中的两个整数为，0，则求解即可． 【解答】解：若不等式有且只有两个整数解， 设，则，（1）， 所以不等式的解集中的两个整数为，0， 则所以解得．故选：． 4．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【解答】解：将不等式因式分解为， 当时，解集为．要使该区间恰有3个整数，这3个整数为，0，1，故需满足． 当时，解集为．要使该区间恰有3个整数，这3个整数为3，4，5，故需满足． 当时，不等式无解，不满足条件． 综上，实数的取值范围是，，．故选：． 5.设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解析】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是，故选：C 6．（2024德强月考）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　，，　． 【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围． 【解答】解：不等式可化为， ①当时，原不等式等价于，其解集为，，不满足题意； ②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； ③当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：； ④当时，原不等式等价于，其解集为，，，不满足题意； ⑤当时，原不等式等价于，其解集为，， 其解集中恰有2个整数，，解得：， 综合以上，可得：，，， 故答案为：，，． 题型6、一元二次方程根的分布问题 表1（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表2：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 1.(2024德强高一)若关于的方程的两实数根均大于1，则实数的取值范围为　　 A． B． C．， D．，， 根据题意，设，则有与轴有2个交点，且2个交点都在1的右侧，结合二次函数的性质可得，解出的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设， 若方程的两实数根均大于1，则函数与轴有2个交点，且2个交点都在1的右侧，则有，解可得或， 即的取值范围为，故选：． 2．已知关于的方程有两个大于2的相异实数根，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C． D．或 【分析】设关于的方程的两个根分别为，，根据，满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围． 【解答】解：设关于的方程的两个根分别为，， 则由根与系数的关系，知， 所以由题意知，即，即， 解得．故选：． 3．（2025重庆期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论． 【解答】解：若一元二次方程的两个正实根．设为、， 则，解得，因为， 所以“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件． 故选：． 4．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是　　 A．或 B． C． D． 【分析】根据已知条件，得到不等式组，即可求解． 【解答】解：设， 由题意可知，，即，解得， 故实数的取值范围是．故选：． 5．已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围． 【解答】解：由题意设方程的两根为，， 则解得，实数的取值范围为．故答案为：． 6.(2024哈九中高一)(多选)已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为　　 A． B． C． D． 【分析】令，则由题意可得，求得的范围，可得结论． 【解答】解：因为一元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即解得． 故选：． 7.（2024齐齐哈尔高一）已知关于的方程，下列结论正确的是多选 A．方程有实数根的充要条件是或 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程无实数根的一个必要条件是 【解答】解：在中，由△得或，故错误； 在中，当时，函数的值为， 由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故正确； 在中，由题意得，解得，故正确； 在中，由△得， 由可以推不出，由能推出，故正确； 故选：． 题型7、一元二次不等式实际应用 1．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【分析】设这批削笔器的销售价格定为元个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解． 【解答】解：设这批削笔器的销售价格定为元个， 由每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个． 可得，即， 方程的两个实数根为，， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元）， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入．故选：． 2．某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是　　 A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【分析】根据利润销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解． 【解答】解：由题意，有，即， 所以，解得或（舍， 即生产厂家不亏本的最低产量是150台．故选：． 3．某厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得利润元，要使得生产900千克该产品获得的利润最大，则的值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意可得，结合二次函数分析求解． 【解答】解：要生产900千克该产品，则需要小时， 则利润为，， 可知当，即时，利润取到最大值．故选：． 4．（2025•固始县校级开学）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计． 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得这种水果今年每千克的平均批发价． （2）先求得利润的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案． 【解答】解：（1）设这种水果今年每千克的平均批发价为元， 则去年的批发价为元， 今年的批发销售总额为万元， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以这种水果今年每千克的平均批发价为24元． （2）设每千克的平均售价为元，由（1）得平均批发价是24元， 则， 二次函数开口向下，所以当元时，取最大值7260元， 所以当每千克的平均销售价为35元时，利润最大，最大利润是7260元． 5．（2025秋•丰台区期中）某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）．经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元件）之间满足函数关系．已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本．（利润销售量售价生产成本） （1）求该电子产品第一年的利润（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元件，直接成本是第一年的利润全部投入．若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元件，求第二年利润的最大值． 【分析】（1）先求出总成本和总收入，进而求出利润的解析式即可； （2）先列出不等式，然后化简求解即可； （3）先求出第二年的总成本，然后列出第二年的利润表达式，根据二次函数的性质和售价的范围确定利润的最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为， 销售总收入为万元， 所以利润为，； （2）由题意知，，所以， 化简得，解得， 因此该电子产品第一年的售价为22元件； （3）第二年制造成本为元件，直接成本是第一年的利润万元， 所以总成本为万元， 则第二年利润． 因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元件，所以． 对于二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，有最大值，且最大值为万元， 即第二年利润的最大值为100万元．． 6．在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值． 【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可． （2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值． （3）求出利润函数的解析式，根据二次函数的性质求解最值． 【解答】解：（1），，． ，当且仅当，即时等号成立． 当时，（千万元）． （2），，． ，，． 由函数单调性可知：在，单调递增， 当时，． （3）， ，，． 当时，即，解得或， 当或时，（千万元）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 16:43:35；用户：哈尔滨郭；邮箱：18345193694；学号：39144928 题型8、二次函数值域问题 1、定轴定区间 1．若，则　　 A．有最小值0，最大值3 B．有最小值，最大值0 C．有最小值，最大值1 D．有最小值，最大值3 【解答】解：由题意得，， 所以函数在，单调递减，在，单调递增， 所以（2），．故选：． 2．已知函数，，，则的值域为 　，　． 【解答】解：因为，，的对称轴为， 所以函数在，上单调递增， 所以（2）（4），即，所以的值域为，， 故答案为：，． 2、定轴动区间 1．设函数，（其中，，的最小值为，最大值为，求，的表达式． 【分析】确定对称轴，利用对称轴与区间的关系分类得出当时，当时， 当时，当时， 当时，结合单调性判断最大值，最小值求解即可． 【解答】解；函数，对称轴， （1），，，单调递增， 所以最小值为，最大值为， （2）当时，，，单调递减， 所以最大值为，最小值为， （3）当时，最小值为（1）， 当时，最大值为． 当时，最大值为． 综上：最小值为．最大值为 2．已知二次函数，当时，若该函数的最大值为，最小值为，则等于　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一元二次函数的性质可得或时取得函数的最小值，然后由结合条件即得． 【解答】解：因为二次函数的对称轴为，开口向下， 所以或时取得函数的最小值， 由，可得或， 当时，时，， 当时显然不合题意，当时显然不合题意， 当时，时，；所以等于3．故选：． 3．（2025大庆铁人期末）若函数的定义域为，，值域为，，则实数的值可能是多选 A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】求出二次函数的对称轴方程，可知当时函数有最小值，再由结合二次函数的对称性可得的可能取值． 【解答】解：函数的对称轴方程为， 当时，函数在，上单调递减，时取最大值，时有最小值，解得．则当时，最小值为，而，由对称性可知，． 实数的值可能为2，3，4．故选：． 4.（2020哈三中高一第一次）函数的定义域为，，值域为，，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：，在为减函数，在为增函数， （2），， 若，，值域为，，则，（a）， 即，解得，所以，故选：． 3、定区间动轴 1.函数，，，求的最小值（a），并求（a）的最大值． 【分析】（1）把代入，然后结合函数在，上的单调性可求函数的最值； （2）结合二次函数的性质，把对称轴与已知区间的位置关系进行讨论求解． 【解答】解： ①，在，是减函数，， ②，在是减函数，是增函数， ， ，在，是减函数，（2） 综上，的最小值（a） 结合分段函数的性质可知，（a）的最大值为2 2.已知，求函数在区间，上的最小值． 【分析】先对二次项系数进行分类讨论，再考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而确定函数在区间，上的最小值． 【解答】解：Ⅰ、当，即时，在，上递减 （2分） 当，即时，为二次函数　　（3分） Ⅱ、若，即时，的开口向上，其对称轴为（4分） ①当时，即时，此时， （6分） ②当，即时，此时，（1）（8分） Ⅲ、若，即时，的开口向下，其对称轴为（9分） （1）　　　　　　　　　　　　　（10分） 综上可得：　　（12分） 3．已知二次函数，恒有，． （1）求函数的解析式； （2）设，若函数在区间，上的最大值为3，求实数的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合，，列出方程，即可求解； （2）先求出的解析式，再结合二次函数的单调性，即可求解． 【解答】解：（1）二次函数，， 则， 故，解得，，则，故； （2）， 的对称轴为，开口向上，，，当，即时， 在时，取得最大值，函数在区间，上的最大值为3， 则，解得，不符合，舍去， 当，即时，在时，取得最大值， 函数在区间，上的最大值为3，则，解得，综上所述，． 4.(2024牡丹江高一)已知函数．若在，上有最小值9，求的值． 解：函数图象的对称轴为，开口向上， ①当，即时，函数在，上单调递增， 又在，上有最小值9， 则，解得（不合题意，舍取）或； ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又在，上有最小值9， ，解得（不合题意，舍去）； ③当，即时，函数在，上单调递减， 又在，上有最小值9， ，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，或． 综上：在区间，上的最小值为：． 4、解答题： 1.(2024哈三中高一)已知函数． （Ⅰ）若函数定义域为，求的取值范围； （Ⅱ）若函数值域为，，求的取值范围． 【分析】（Ⅰ）分和两种情况讨论，即可求解的取值范围； （Ⅱ）若的值域为，，则函数可取一切非负实数，分和两种情况讨论，结合一次函数和二次函数的图象和性质，综合可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）当时，的定义域不为，不符合题意； 当时，若函数定义域为，则恒成立，即恒成立， 所以，解得，即的取值范围是，． （Ⅱ）若函数值域为，，则可取一切非负实数， 当时，的值域为，， 当时，，解得，综上可得的取值范围是，． 2.（2020哈师大附中高一第一次）已知二次函数，为常数）满足条件（2），且方程有两个相等的实数根． （1）求函数的解析式； （2）是否存在实数，，使函数的定义域和值域分别为，和，？如果存在，求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）二次函数，为常数）满足条件（2）， 即，，方程有两个相等的实数根， 有两个相等的实数根， 即，， （2） 的定义域和值域分别为，和，，即， 在，上单调递增，， ，解可得， 3.(2024德强高一)设，函数． （1）当时，求在，的单调区间； （2）记（a）为在，上的最大值，求（a）的最小值． 【分析】（1）当时，，根据二次函数的图像性质即可求得其单调区间； （2）对进行讨论，分和两种情况，再分和，结合函数单调性求出函数在，上的最大值（a），再由分段函数（a）的解析式和单调性，即可求出（a）的最小值． 【解答】解：（1）当时，， 所以当，时，，则对于抛物线开口向下，对称轴为， 所以在单调递增，在，上单调递减， 即函数在，上的单调递增区间为，递减区间为，； （2），，若时，，对称轴为， 则在，上递增，则（a）； 若，则在，递增，在，递减，在递增， 若，即，时，在，递增，可得（a）； 由可得在递增，在，递减， 即有在时取最大值， 当时，由，解得， 若，即，可得的最大值为（a）； 若，即，可得的最大值为（a）， 则（a）， 当时，（a）； 当时，（a）； 当时，（a）； 综上（a）的最小值为． 4.（2021哈师大附中高一第一次）已知函数，． （1）若，时，的最大值为6，求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1），对称轴， ①，，且， ，时，， ，即，即， ，； ②，，即，且， 可得（1），即， ，，．综上，． （2），恒成立， 即，恒成立． ①，即或时， 若，恒成立，则满足题意，所以； 若，，仅存成立，所以舍去． ②（1）当或时，， 对称轴， 时，，时式恒成立．所以； 时，，则时或，即． （2）当即时，，，所以舍去．综上，或． 题型9、一元二次不等式综合小题 1.(2023哈尔滨高一期末)若函数，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：函数， ；． 故选：． 2.(2024双鸭山高一)若关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【分析】根据题设及对应二次函数性质知的对称轴为且求参数关系及范围，进而求目标式范围． 【解答】解：由二次函数的对称轴为，则， 且，即，所以，可得， 则，所以，，故的范围为，． 故选：． 3.(2024哈六中高一)若函数的最小值为，则实数的取值范围为　，　． 【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果． 【解答】解：又因为当时，函数，当且仅当时等号成立； 如果最小值为可得，所以，解得； 当时，函数关于直线对称， 如果最小值为，可知，所以． 综上可知，实数的取值范围为，．故答案为：，． 4.(2024阿城一中高一)已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为　　 A． B． C．， D．， 【分析】由二次不等式的解集，可得方程的根，再确定的值域． 【解答】解：由关于的不等式的解集为， 可得，为方程的两根， 整理得，所以函数的值域为，． 故选：． 5．（2016肇东月考）已知，，若对任意的，，总存在，，使成立，则实数的取值范围是　，，　． 【分析】根据对任意的，，总存在，，使得，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组可得答案． 【解答】解：，函数的对称轴为：， 对任意的，，记，．记，； 由题意，知时不成立， 当时，，在，上是增函数， ，，记，． 由题意，知，解得． 当时，，在，上是减函数， ，，记，． 由题意，知，解得． 综上所述，，，．故答案为：，，． 6．函数在区间，上的最大值是7，则实数的值为　4或　． 【分析】由二次函数的性质，可得在区间，上的最大值只能在，1，2处取得，然后分别取，1，2，由最大值为7求得值，验证是否符合题意得答案． 【解答】解：为二次三项式，在区间，上的最大值只能在，1，2处取得， ①若在处取得最大值7，则，解得或，经检验，不合题意，故； ②若在处取得最大值7，则，解得或，经检验，不合题意，故； ③若在处取得最大值7，则，解得，经检验，均不合题意，舍去． 综上，或．故答案为：4或． 7.(2024牡丹江，辽宁高一，难)正实数、满足：，且，则的取值范围为　　；实数的最小值为　　． 【分析】对进行换元，建立不等式，求解第一空，对进行合理变换，构造单元二次函数．利用二次函数的性质结合的范围求解参数最值即可． 【解答】解：令，有，则， 得到，解得，所以的取值范围为， 令， ，， 设二次函数，，根据二次函数性质可知， 故，所以，即实数的最小值为2． 故答案为：；2． 8.（2020哈三中高一）设函数，若，的值为　　 A．正数 B．负数 C．非负数 D．正负不确定 【解答】解：，，，，，，，即，， ．故选：． 9.(2024哈师大附中高一期末)（2019浙江）已知，函数．若存在，使得，则实数的最大值是　　． 【分析】由题意可得，化为，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得的范围，进而得到所求最大值． 【解答】解：存在，使得， 即有，化为， 可得，即， 由，可得，可得的最大值为． 故答案为：． 10.(2023大庆高一期末)关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．，， D．，， 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【解答】解：关于的不等式的解集是， ，是方程的两个根，△，即 ，，，， ，， 即即，解得， 综上所述，或，故选：． 11.（2021哈师大附中高一第一次）已知函数，若关于的不等式的解集为，，则　　；若函数，，则函数的最大值为　　． 【解答】解：的解集为，， 可得，是方程的两个根，且，所以， 解得，所以，， 当时，即，解得：或， 则时，可得， 所以由题意可得， 1. 当或时，开口向下， 1. 对称轴或， 因为，所以， 1. 当时，单调递增，没有最大值，且， 综上所述的最大值为8．故答案为：；8． 题型10、解答题： 1.（2024大庆铁人高一上）已知函数， （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数在，上的最小值为，求函数的表达式． 【解答】解： （1）当时，，由得，不符合题意， 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得， 综上：， 实数的取值范围为； （2）二次函数的对称轴为． 当，即时，在，上单调递增， 此时（1）； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在，上单调递减， 此时． 综上，． 2．（2025上海月考）已知，不等式的解集为． （1）求的值； （2）且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【分析】（1）构造因式分解形式求、表达式进而计算； （2）因式分解后根据整数解个数确定范围； （3）因式分解后分的不同范围讨论解集． 【解答】解：（1）由不等式的解集为，可设， 展开得，故，，因此． （2）将，代入不等式，得， 因式分解为，解得， 因该不等式有且仅有9个整数解，即，0，1，2，3，4，5，6，7，故，解得， 所以的取值范围是； （3）不等式化为，即． 当时，，解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，解集为． 综上所述，当时，解集为；当时，无解；当时，解集为． 3.(2024牡丹江高一)已知函数，，集合． （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据条件解不等式，即，分、、得到集合，通过二次函数的对称轴分析，又集合中有且仅有3个整数，故3个整数只可能是0，1，2，然后由集合列出不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）分和两种情况分别写出集合，对应的解集，根据列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）由， 由于对称轴为，所以，集合中有且仅有3个整数，所以集合的3个整数只可能是0，1，2， 若即时，集合与题意矛盾，所以； 若即时，集合，， 则，解得， 若即时，集合，，则，解得， 综上所述实数的取值范围是，，； （2）若即时，集合，， 因为，所以即（1）解得， 若即时，集合，， 则 设集合，，因为，即，，，如图所示， 则，即，得， 所以可得，所以，所以， 又因为，所以即． 综上所述的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $