4.6函数的应用（二）（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.6 函数的应用（二） 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 例题 因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系，所以指数函数、对数函数和幂函数有着广泛的应用.下面举例说明. 例1 有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为元，每期的利率为，存期后本息和为元. (1)写出的解析式； (2)至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？ 解(1)：不难看出，， ， ，. 因此，. 例题 解(2)：由可得，，由此可解得. 设不小于的最小整数为，则至少要经过期后，本息和才能不小于本金的2倍. 由例1的(2)可以得到银行业中经常使用的“70原则”：因为，而且当比较小时，，所以，即利率为时，本息和大约要期才能“倍增”(即为原来的2倍).例如，当年利率为5%时，约要经过14年，本息和才能“倍增”. 例题 例2 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国家[2016]74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第()年的二氧化硫排放总量最大值为万吨. (1)求的解析式； 解(1)：设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为，因为表示2015年的排放总量，所以由题意可知， 又因为所以，， 从而， 例题 例2 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国家[2016]74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第()年的二氧化硫排放总量最大值为万吨. (2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨). 解(2)：由(1)可知， 因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在万吨以内. 例题 例3 已知某地区第一年的经济增长率为(且为常数)，第二年的经济增长率为，这两年的平均经济增长率为，写出与的关系，并求出的最小值. 解：根据题意有，， 从而有，. 显然，上述函数是增函数，因此时，有最小值. 例题 例4 人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有 . (1)求等级为的声音的强度； 解(1)：由即， 可得，因此等级为的声音强度为. 例题 例4 人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有 . (2)计算出的声音与的声音强度之比. 解(2)：设，则，解得. 设，同理可得. 因此的声音与的声音强度之比为. 例题 例4 人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有 . (2)计算出的声音与的声音强度之比. 值得注意的是，由例4的(2)可以看出，的声音强度是的声音强度的倍.实际上，是一般说话的声音等级，而很嘈杂的马路的声音等级为.为了保护听力，人所处的环境，声音一般不宜长时间超过. 练习 题型：建立函数模型解决问题 例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述.三个模型中，第一个常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析. 练习 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(如下表). 练习 再画出三个函数的图象. 函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，用虚线连接离散的点. 练习 由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资58天选方案二，投资8天以上选方案三？ 练习 下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下. 因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三. 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 练习 变式.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随销售利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：借助信息技术画出函数 的图象，观察图象发现，在区间上，模型,的图象都有一部分在直线的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按照模型进行奖励时才符合公司的要求. 练习 下面通过计算确认上述判断.先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元. 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时，，因此，当时，，所以该模型不符合要求； 对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间内有一个点满足，由于它在区间上单调递增，因此当时，，所以该模型也不符合要求； 对于模型，它在区间上单调递增，而且当时， ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 练习 再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当 时，是否有，即成立. 令，，利用信息技术画出它的图象. 练习 由图象可知函数在区间上单调递减，因此，即. 所以，当时，，说明按该模型奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型确实能符合公司要求. 练习 方法技巧： 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 函数模型 实际问题 函数模型的解 实际问题的解 化归 解释说明 运算 推理 课堂小结&作业 课堂小结： (1)建立数学模型解决实际问题的基本过程； (2)几类基本初等函数模型的增长特性及其性质. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P45的习题、习题、习题. 谢谢学习 Thank you for learning $$