4.7 数学建模活动：生长规律的描述(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（人教B版）

4．7　数学建模活动：生长规律的描述 1 数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．解决实际问题的重要手段就是数学建模．数学建模是一个重要的核心素养． 1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题． 1 2．数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． 3．通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用；加深对数学内容的理解；学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神． 1 (一)数学模型检验 【建模示例1】　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40   投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 1 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 【尝试解答】　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 1 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟， 1 1 1.根据原始数据、表格，绘出散点图． 2．通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． 3．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． 4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 解题 策略 · 1 下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y＝a·ekx，y＝axn，y＝ax2＋bx＋c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离． 活学活用 车速/(km/h) 10 15 30 40 50 停车距离/m 4 7 12 18 25 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 停车距离/m 34 43 54 66 80 1 1 1 1 (二)数学建模实践 【建模示例2】 1．发现问题，提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据． 表1 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 1 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据表1，画散点图(图1)． 图1 1 2．分析问题，建立模型 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R，0＜a＜1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 3．确定参数，改进模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出表2. 1 表2 x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值   0.9032 0.9181 0.9284 0.9351 0.9285 1 1 1 1 3．确定参数、计算求解 这个过程是求解数学问题．值得注意的是，