精品解析：辽宁省的大连市甘井子区2024-2025学年八年级上学期期中阶段性学习质量抽测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】A、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； B选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形． 故选：B． 2. 六边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于， ∴六边形的外角和等于， 故选：． 3. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据，可证，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，，，，点D是的中点，，则的长度是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．先求出，再根据点D是的中点，求出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点D是的中点， ， ， ， 故选B． 5. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ， ． 故选C． 6. 如图，在中，，，是的角平分线，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵，是的角平分线， ∴， 又， ∴， 故选∶C． 7. 如图，在中，，点D在上，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据等边对等角得出，，，根据三角形外角的性质可得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选∶A． 8. 如图，在中，，，的高与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，根据等面积法求解即可． 【详解】解∶∵与是高， ∴， ∴， 故选∶B． 9. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；连接并延长交于点D．点P是上的一点，过点P分别作，，交于点E，过点D作于点M，于点N，交于点K，于点L．下列线段的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，角平分线的性质定理，根据作图可知∶平分，根据平行线的性质可得，，，根据角平分线的性质定理可得，，结合已知逐项判定即可． 【详解】解：根据作图可知∶平分， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， 即，故选项D正确， 当L为中点时，，故选项C错误， 无法证明，，故选项A、B错误， 故选：D． 10. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔.设计要求：发射塔到两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等.关于发射塔应修建的位置，下列说法正确的是（ ） A. 线段的中点 B. 直线和的交角（锐角）的角平分线与线段的交点 C. 线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点 D. 线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．发射塔到城镇、的距离相等，可知发射塔在线段的垂直平分线上；发射塔到高速公路、的距离相等，发射塔在直线、的夹角的平分线上，所以可得，线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点就是建发射塔的位置． 【详解】解：解：发射塔到城镇、的距离相等， 发射塔在线段的垂直平分线上， 又发射塔到高速公路、的距离相等， 发射塔在直线、的夹角的平分线上， 线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点就是建发射塔的位置． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，和关于直线对称，，______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质．首先根据轴对称的性质可得，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可得． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 13. 如图，从A处观测C处仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A、B两处的视角______度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：15 【点睛】本题考查了仰角的概念和三角形外角性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键． 14. 如图，五边形的内角都相等，且，则____________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查的是五边形的内角和及三角形内角和的综合应用，根据五边形的内角和的性质可得出，再通过三角形内角和进行求解 【详解】解：∵五边形的内角和是，五边形的内角都相等， ∴每个内角为， ∴， 又∵，，由三角形内角和定理可知， ， ∴， 故答案：． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F．若，，则的面积是______．（用含a和b的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半等知识点，由题意得，，结合可得，根据，，可得，即可求解； 【详解】解：∵是等边三角形，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，，，.求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余，可得，再根据三角形内角和等于，即得答案． 【详解】， ， 中，， ， ， 在中，， ． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据得到，然后证明，即可得出结论． 详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并直接写出顶点的坐标______； （2）关于x轴对称的图形为． ①不用画图，请直接写出三个顶点的坐标：______，______，______； ②若内任意一点P的坐标为，则点在内的对应点的坐标为______．（用含x和y的式子表示） （建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上） 【答案】（1）， （2）①，，；② 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内图形的变换：作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的特征是解题的关键． （1）作出关于y轴对称的三个顶点的对称点，再依次连接即可，从而可写出点的坐标； （2）①根据关于x轴对称点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，据此即可写出三个顶点的坐标； ②根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，据此即可写出的坐标． 【小问1详解】 解：在坐标系中作出，，关于y轴的对称点，，依次连接得到，作图如图所示； 顶点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①点，，关于x轴的对称点，，； 故答案：，，； ②点关于x轴的对应点的坐标为； 故答案为：． 19. 如图，点在上，点在上，，，和相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键；先证明，得到，从而得，进而证明即可得到结论 【详解】证明：在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 20. 如图，中，，，平分，平分，过点O作交，于点M，N．求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，根据等角对等边得出，，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，． ∴，． ∴，． ∵ ∴的周长为17． 21. 【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【解析】 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 22. 【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①证明见解析；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再利用及三角形面积公式即可证明； （2）延长至，使，连接，易证，从而证得，得到，，由的定义，结合图形等线段转化即可得解； （3）①过点D作，由直角三角形的全等的判定易得，，得到，从而得证； ②分两种情况：当四边形为筝形时，时和时，结合图形分别计算即可得解； 【详解】（1）在四边形中， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又， ∴点C在线段的垂直平分线上， ， ， （2）如图2，延长至，使，连接， ，， ， 又，， ， ， ， ， 即， 又， ， ， ， （3）①如图3，过点D作， 平分， ∴ 又， ，， ， ， ②分两种情况： 当四边形为筝形时，时，如图 ， 当四边形为筝形时，时，如图 ， ， ， 综上所述，或 23. 【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①猜想：，证明见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据三线合一得平分，从而利用角平分线的性质即可得解； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得，，于是证明垂直平分，即可得证； （3）①过点作于，过点作，交延长线于点，证，得，进而得．在中，，，，，进而得，在中，由，得，从而即可得解；②当在线段上时，和当在到中点间的线段上时，两种情况，利用全等三角形及角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分． ∵，， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为的中点； （3）解：①猜想∶，理由如下： 如图，过点作于，过点作，交延长线于点， ∴， ∵，点为中点， ∴，平分． ∵ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴． ②或 过点作于， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴点在点和的中点构成的线段上， 当在线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在到中点间的线段上时，过点作，于、，连接，如图， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，度直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 六边形外角和等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，点D是的中点，，则的长度是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D在上，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的高与的比是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；连接并延长交于点D．点P是上的一点，过点P分别作，，交于点E，过点D作于点M，于点N，交于点K，于点L．下列线段的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔.设计要求：发射塔到两个城镇，的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等.关于发射塔应修建的位置，下列说法正确的是（ ） A. 线段的中点 B. 直线和的交角（锐角）的角平分线与线段的交点 C. 线段的垂直平分线和直线和的交角（锐角）的角平分线的交点 D. 线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，和关于直线对称，，______°． 12. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 13. 如图，从A处观测C处仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A、B两处的视角______度． 14. 如图，五边形的内角都相等，且，则____________． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F．若，，则的面积是______．（用含a和b的式子表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，，，.求的度数． 17. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称图形，并直接写出顶点的坐标______； （2）关于x轴对称的图形为． ①不用画图，请直接写出三个顶点的坐标：______，______，______； ②若内任意一点P的坐标为，则点在内的对应点的坐标为______．（用含x和y的式子表示） （建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上） 19. 如图，点在上，点在上，，，和相交于点．求证：． 20. 如图，中，，，平分，平分，过点O作交，于点M，N．求的周长． 21. 【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 22. 【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，以及筝形的边、角、对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在筝形，且筝形是轴对称图形． 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了筝形面积与对角线的数量关系． （1）如图1，在四边形中，，，对角线与相交于点O． 求证：． 【分析问题】 （2）如图2，在四边形中，，，于点B，于点D，点M，N分别是，上的点，且，求的周长．（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，平分，且． 求证：． ②如图4，在中，，，点D，E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出______°． 23. 【活动初探】 在学习等十三章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点．求证：． 【变式再探】 （2）如图，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接． ①如图，当点在点上方，猜想并证明，，的数量关系； ②若，，，请直接写出______（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $