精品解析：山东省淄博市临淄区2024-2025学年上学期期中质量检测九年级数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列选项中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 4. 对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴交点坐标是（0，6） C. 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线x=1 5. 如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（ ）， A. 的正切函数值约为 B. 正切函数值为的角约是 C. 的正切函数值约为 D. 正切函数值为的角约是 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位，再关于y轴对称后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( ) A. 有两个正根 B. 有一个正根一个负根 C. 有两个负根 D. 没有实根 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则的面积为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 12. 若函数是反比例函数，则____． 13. 如图，直线与抛物线交于， 两点，如果，那么x的取值范围是______． 14. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝_____________． 15. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是____________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算． （1）； （2）． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形； （2）在图中画一个面积为的，且； （3）求的正弦值． 18. 已知关于x的二次函数（k为常数）． （1）若，当时，求二次函数的最小值； （2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出k的值：如果不存在，请说明理由． 19. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，） 20. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究． 下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　； (2)下表是y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … 则m的值为　 　； (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质　 　； (5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　； 21. 第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式． （2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ （3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围． 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值； （3）在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 下列选项中，不是函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 2. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可． 【详解】解：由题意可得：反比例函数的系数， ∴反比例函数位于二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限． 3. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（　　） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴交点坐标是（0，6） C. 当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D. 图象的对称轴是直线x=1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质对四个选项一一判断即得出答案． 【详解】A.∵a=﹣2＜0， ∴函数图象的开口向下，故本选项错误； B.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2x2﹣4x+6， 当x=0时，y=6， 即函数图象与y轴的交点坐标是（0，6），故本选项正确； C.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8， 即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误； D.y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）2+8， 即函数图象的对称轴是直线x=﹣1，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.将二次函数解析式化为顶点式，并结合二次函数性质进行判断是解题的关键． 5. 如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（ ）， A. 的正切函数值约为 B. 正切函数值为的角约是 C. 的正切函数值约为 D. 正切函数值为的角约是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查计算器中的三角函数，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．根据计算器的使用方法即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该计算结果为正切函数值为的角约是， 故选D． 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得． 【详解】解：当时， 直线经过第一、三、四象限， 双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确； 当时， 直线经过第一、二、四象限， 双曲线经过第二、四象限，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键． 7. 将抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位，再关于y轴对称后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与轴对称，掌握平移与轴对称的性质，抓住顶点的变换是关键；抛物线的顶点坐标为，则可得平移后的顶点坐标为，再由关于y轴对称的特点可得关于y轴对称后的顶点坐标，． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线向右平移3个单位，向上平移4个单位后顶点坐标为；关于y轴对称后的抛物线的顶点坐标是； 故选：A． 8. 已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( ) A. 有两个正根 B. 有一个正根一个负根 C. 有两个负根 D. 没有实根 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵当时，随增大而减小， ∴ab>0． ∵， ∴方程有两个不相等的根． ∵， ∴方程有一个正根一个负根． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab>0． 9. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（-1，0），得出a-b+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④． 【详解】解：∵对称轴， ∴b=-3a， ∴3a+b=0，①正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离， ∴y1<y2，故②正确； ∵经过点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴3c=4b， ∴4b-3c=0，故③错误； ∵对称轴， ∴点（0，c）的对称点为（3，c）， ∵开口向上， ∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，则的面积为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先设出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点D，A的坐标，利用三角形面积公式，即可得． 【详解】设点B的坐标（a，）， ∵D是OB的中点， ∴D ∵AC⊥x轴， ∴点A的横坐标为： ， 又∵点A在反比例函数y=， ∴点A的纵坐标 ∴AD=， ∴的面积为 故答案为：A 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数图象上点的坐标特征解答． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______ 【答案】12米 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：， ∴BC：AC=1：， ∴AC=•BC=6（米）， ∴AB===12（米） 故答案为：12米 【点睛】考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 12. 若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，直线与抛物线交于， 两点，如果，那么x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数 (是常数，)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 先利用点坐标确定直线解析式，再确定点坐标，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线经过点， ， ， 直线的解析式为． 过直线， ， ， ， 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 14. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接DE，如图所示： 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC， ∴∠α=30°， 同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α． 又∵∠AEC=60°， ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°． 设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a， ∴AD=a， ∴sin（α+β）= =． 故答案为：． 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 15. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时b的值和当直线与抛物线有唯一公共点时b的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：当时，， 解得，则， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 则方程整理为：， 则 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围为． 故答案为： 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算； （1）先计算零次幂、二次根式和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画一个以为直角边的直角，且为轴对称图形； （2）在图中画一个面积为的，且； （3）求的正弦值． 【答案】（1）如图即为所作； （2）如图即为所作； （3） 【解析】 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点，连接、，过点作于点； （3）连接，求出和，再根据正弦的定义即可得解． 【小问1详解】 解：（1）如图，取格点，连接、， ∵方格纸中每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形，它是一个轴对称图形， 又∵，， ∴以为直角边的等腰直角三角形， 则即为所作； 【小问2详解】 如图，取格点，连接、，过点作于点， ∵方格纸中每个小正方形的边长均为， ∴，，， 点到所在的边的距离为， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 则即为所作； 【小问3详解】 如图，连接， ∵方格纸中每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 18. 已知关于x的二次函数（k为常数）． （1）若，当时，求二次函数的最小值； （2）是否存在k值，使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出k的值：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y取最小值 （2）存在；k的值为12或 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数，然后再根据求出结果即可； （2）令，得，设该二次函数的图象与轴的两个交点为，，点A在点B的左侧，根据根与系数的关系得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：将代入二次函数， 得：， ∴当时，y取最小值． 【小问2详解】 解：令，得， 设该二次函数的图象与轴的两个交点为，，点A在点B的左侧， ∴，， ∴， ∵两个交点之间的距离为3，点A在点B的左侧， ∴， ∴， 解得或， ∴存在，k的值为12或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】、两点之间的距离约为94米 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解． 【详解】如图，过点作，垂足为点， 在中， ∵，米， ∴，， ∴（米）， （米）， 在中， ∵，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）. 答：、两点之间的距离约为94米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 20. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究． 下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　； (2)下表是y与x的几组对应值： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 … y … m 0 ﹣1 3 2 … 则m的值为　 　； (3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质　 　； (5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　； 【答案】(1)x≠3；(2)； (3)如图所示； (4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)； (5)<< 【解析】 【分析】（1）分式有意义,分母不等于零, （2）将x=-1代入即可, （3）图像见详解, （4）根据增减性即可得出结论,见详解, （5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论. 【详解】解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3； (2)将x=-1代入，解得 m=； (3)略 (4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)； (5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<< 【点睛】本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键. 21. 第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式． （2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ （3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围． 【答案】（1） （2）70，4000 （3） 【解析】 【分析】（1）根据利润每件的利润销售数量，列出关系式即可； （2）由（1）得，利用二次函数的性质解决即可； （3）根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：， 根据利润每件的利润销售数量得： ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 销售单价定为每件70元时，所得月利润最大，最大月利润为4000元； 【小问3详解】 解：由（1）得， 当时，即， 整理得：， 解得：，， ， 抛物线开口向下， 获得的月利润不低于3000元， ， 销售单价不得超过75元， ． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数得表达式为：， （2）或 （3）存在，， 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，解直角三角形的应用等； （1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出直线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 把代入， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入，， 把代入得：， 反比例函数得表达式为：， 由得：， 解得：，， ； 【小问2详解】 从图象看，当时，即一次函数值大于等于反比例函数值， x的取值范围为或； 【小问3详解】 过点作交轴于点，如下图， 设直线的解析式为 由直线的表达式知，，则， ， 设，将代入：， ． ，解得：，， ，时，构成直角三角形． 23. 已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值； （3）在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）（1，4）或（2，3） 【解析】 【分析】（1）根据题意待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据二次函数解析式求得点得到坐标，进而求得直线的解析式，设P点坐标为，则Q点坐标为，进而表示出的长，根据二次函数的性质求得最大值即可； （3）过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E，根据∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比，求得,根据平行线分线段成比例求得，进而求得的长，即可求得的坐标，根据一次函数的平移可得直线EG解析式为：y= -x+5，联立直线与抛物线解析式，即可求得点的坐标 【小问1详解】 抛物线经过点， 解得 抛物线的解析式为： 【小问2详解】 抛物线的解析式为： 令，则 设直线的解析式为 则 解得 直线BC的解析式为： 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P点坐标为， 则Q点坐标为， 则 ∴PQ的最大值是． 【小问3详解】 ∵∆COF与∆CDF共高，面积比转化为底边比， OF：DF=S△COF：S△CDF＝3：2 过点D作BC的平行线交x轴于G，交y轴于E， 根据平行线分线段成比例， OF：FD=OC：CE=3：2 ∵OC=3， ∴OE=5， ∴E（0，5） ∴直线EG解析式为：y= -x+5 联立方程，得： 解得：， 则点D的坐标为（1，4）或（2，3）； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数的性质求最值，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $