第27章 相似过关测试卷-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第27章 相似过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，5 C．1，2，3，6 D．1，2，3，7 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段、、、，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 由成比例线段知，证明线段、、、成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，故A选项错误；     B．，故B选项错误；     C．，故C选项正确；     D．，故D选项错误．     故选：C． 2．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 3．已知，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．根据比例的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．由得，，故不符合题意； B．由得，，故符合题意； C．由得，，故不符合题意；     D．由得，，故不符合题意； 故选B． 4．，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（   ） A．15 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 面积为10， ， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 6．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 7．如图，在中，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质等知识点，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余可证得，，于是可得，进而可证得，根据相似三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 9．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．根据题意得出，然后结合三角形相似的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，故本选项符合题意； 故选：D． 10．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为，则点A 坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似与坐标，熟练掌握位似与坐标的关系是解题的关键．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点的横纵坐标乘以，即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 故选B． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：A． 12．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论． 【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知a是3、12的比例中项，则 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，对于实数a、b、c，若满足，那么b就叫做a、c的比例中项，据此求解即可． 【详解】解：∵a是3、12的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的求值，对已知等式变形再代入分式约分求值是解题的关键；由已知可得，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 15．如图，如果，，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 16．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 17．如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 18．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，则，即，可求，如图，作，使，连接，作于，则，，证明，则，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：∵矩形，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，则，， ∴，，， ∴， ∴，为的中点， ∵点是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， 由平行线截线段成比例可得：， 设， 则， ，， ， 解得：， ∴． 20．（8分）如图，中，点在边上，满足，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ 21．（8分）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，，． 【分析】本题主要考查平移，位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． 【详解】（1）解：如图，为所求图形；   ； （2）解：根据相似比可得，，，； 如图，为所求图形． 22．（8分）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 23．（108分）小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴的边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴， ∴，即， ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为． 24．（10分）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（10分）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， ， ． 26．（10分）在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，进而可以解决问题； （2）勾股定理求出，然后证明，对应边成比例即可解决问题． 本题考查了切线的判定与性质，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 相似过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，5 C．1，2，3，6 D．1，2，3，7 2．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 3．已知，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 4．，已知，，面积为10，那么另一个三角形的面积为（   ） A．15 B． C．12 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（   ）． A． B． C． D． 10．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心， 在第一象限内作 的位似图形， 位似比为，则点A 坐标为（  ） A． B． C． D． 11．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ）． A． B． C． D．3 12．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知a是3、12的比例中项，则 ； 14．已知，则的值为 ． 15．如图，如果，，，，，那么 ． 16．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 17．如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 18．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 20．（8分）如图，中，点在边上，满足，若，，求的长． 21．（8分）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 22．（8分）如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（108分）小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 24．（10分）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 25．（10分）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 26．（10分）在中，，，过点A作于点D．的反向延长线交的延长线于点E，为的外接圆（以为直径）． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$