第27章 相似能力提升测试卷-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第27章 相似能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握：如果，那么，即比例的内项之积与外项之积相等．据此得出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 2．已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（   ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 3．如图，在中，，，若，则（   ）    A．5 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，通过证明，得出，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要查了位似图形，相似三角形的判定和性质．根据位似图形，相似三角形的判定和性质解答，即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴，不符合题意； 、如图， 由，不能证明和相似，符合题意； 故选：． 6．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 7．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：为的黄金分割点，， ， 故选：A． 8．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 9．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 10．如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故选：D 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解． 【详解】解：∵已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把放大， ∴点B的对应点的坐标为：或 即，或． 故选：C． 12．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形周长的比是， ∴它们的相似比是， ∴它们的面积比为， 故答案为：． 14．如图，直线 ；则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，利用得到是解答本题的关键．先求出，，利用得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，点、、分别是边、、上的点，连接，，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练的证明是解本题的关键； （1）由等边三角形的性质证明，再利用三角形的外角的性质可得，从而可得答案； （2）由，，证明，再结合相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∵， ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（1）已知，，若是，的比例中项，求的值． （2）已知：，且，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查的是比例中项的含义，比例的基本性质； （1）由是，的比例中项，可得，再代入数据求解即可； （2）由，可设，再代入，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵是，的比例中项， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 21．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 23．如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； （2）∵， ， ∵, , , ， ∴． 24．【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 25．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解； （2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解； （3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ ∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 26．【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】问题探究：根据矩形的性质可得，，根据点分别是的中点，可得，即可求证； 问题拓展：①取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； ②过点作，则四边形是矩形，连接，设，则，，可得，，又可得垂直平分，得到，，即可证明，得到，，进而由①，可得，设，则，，即可由得到，即可证明，得到，即可得． 【详解】解：问题探究：四边形是矩形， ∴，， ∵分别是的中点 ， ∴， 即， ∴； 问题拓展：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，，    ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由①，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 相似能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且 ，若的面积为4，则的面积是（   ） A． B．6 C．9 D．18 3．如图，在中，，，若，则（   ）    A．5 B．4 C． D．2 4．如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．在下列四个图形中，已知，则四个图中不一定有相似三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 8．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 12．如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是 ． 14．如图，直线 ；则的长为 ． 15．如图，在中，点、、分别是边、、上的点，连接，，，且，那么等于 ． 16．某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 17．如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 18．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，且，求证： (1)； (2)． 20．（8分）（1）已知，，若是，的比例中项，求的值． （2）已知：，且，求的值． 21．（8分）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 22．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 23．（10分）如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 24．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 25．（10分）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 26．（10分）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$