精品解析：福建省龙岩市新罗区龙岩二中、龙岩七中等校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

新罗区四校联考 2024－2025学年第一学期期中质量监测 九年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. O到的距离相等 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 12. 一元二次方程的两个根分别为，，则_______． 13. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是_____． 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是__________． 15. 已知二次函数的图象与两坐标轴共有2个交点,则 ______ ． 16. 已知二次函数的最小值为0，不等式的解集为，则实数的值为______． 三．解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 18. 如图三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标； （2）请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 19. 二次函数中的，满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … （1）观察表中信息，发现_____，抛物线的对称轴为_____； （2）方程的解为_____； （3）当时，的取值范围为_____． 20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 21. 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 24. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 25. 已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新罗区四校联考 2024－2025学年第一学期期中质量监测 九年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、原方程整理得，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，的未知数的最高次不是2，不一定是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 4. 如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. O到的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 6. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 7. 初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有名同学， ∴每名同学要送出张； 又∵全班同学是互送照片，总共送的张数是1260， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象的性质，根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知二次函数的图象经过原点，故B选项错误； 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数中a为负值，故D选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与轴的交点应该在y轴正半轴，故C选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与y轴的交点应该在y轴负半轴，故A选项正确． 故选：A． 9. 如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ∵ ， 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是， 故答案为：． 12. 一元二次方程的两个根分别为，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时， ，是解题的关键． 直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ． 故答案为：． 13. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆中，同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 14. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象与两坐标轴共有2个交点,则 ______ ． 【答案】0或4 【解析】 【分析】二次函数与y轴一定有一个交点，然后分成与y轴的交点是原点和不是原点，两种情况进行讨论求解． 【详解】在二次函数y＝x2＋4x＋c中，当x＝0时，y＝c，函数与y轴一定有一个交点． 当二次函数经过原点时，c＝0； 当二次函数不经过原点时，二次函数与x轴只有一个交点，则△＝16−4c＝0， 解得c＝4． 故答案是：0或4． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，理解二次函数与y轴只有一个交点，分成交点是原点和不是原点两种情况讨论是关键． 16. 已知二次函数的最小值为0，不等式的解集为，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知，二次函数开口向上，则在顶点处函数有最小值，根据二次函数的最小值为0，可知顶点纵坐标为0，根据顶点坐标公式得到，则，再根据不等式的解集为，得到直线与二次函数的两个交点的横坐标分别为n、，则对称轴为直线，据此可得，再根据时，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数函数解析式为，， ∴二次函数开口向上， ∴在顶点处函数有最小值， ∵二次函数的最小值为0， ∴顶点的纵坐标为0， ∴， ∴； ∵不等式的解集为， ∴直线与二次函数的两个交点的横坐标分别为n、， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三．解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ↑， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标； （2）请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称： （1）根据网格的特点和旋转方式确定A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接，进而写出的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ∵与关于原点对称，， ∴． 19. 二次函数中的，满足下表． x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … （1）观察表中信息，发现_____，抛物线的对称轴为_____； （2）方程的解为_____； （3）当时，的取值范围为_____． 【答案】（1）；直线 （2）或， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系： （1）根据当时，，可得；根据对称性可求出对称轴； （2）根据当时， 或即可得到答案； （3）根据表格中的数据可判断出函数开口向上，进而可得当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴； ∵当时和当时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：；直线； 【小问2详解】 解：∵当时， 或， ∴方程的解为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵对称轴为直线，且当时，， ∴顶点的纵坐标小于其它位置的纵坐标，即函数有最小值， ∴函数开口向上， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 20. 如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？ 【答案】围成矩形的长为8m、宽为6m 【解析】 【详解】试题分析：设宽为xm，则长为（20﹣2x）m，然后根据48平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题． 解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m． 由题意，得 x•（20﹣2x）=48， 解得 x1=4，x2=6． 当x=4时，20﹣2×4=12＞9（舍去）， 当x=6时，20﹣2×6=8． 答：围成矩形的长为8m、宽为6m． 考点：一元二次方程的应用． 21. 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得； （2）由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 证明：延长交于点， ， ∴， ， 是的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， 在中，， 的半径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角． 22. 如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）依题意可设交点式，再将代入求解即可； （2）依题意可求出，从而可说明四边形的面积最大时，面积最大即可．过点P作轴，交于点D．利用待定系数法可求出直线的解析式为，设，则，即可求出，从而可利用三角形面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、、为常数，）经过点，，， 所以可设抛物线解析式为． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴，即为定值． ∵， ∴四边形的面积最大时，面积最大． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴． 如图，过点P作轴，交于点D． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，即此时四边形的面积最大， ， ∴此时点P坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的交点式，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，二次函数的图象和性质等知识．解（1）正确设出交点式是解题关键；解（2）理解四边形的面积最大时，面积最大，并正确作出辅助线，从而求出的二次函数关系式是解题关键． 23. 阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： （1）若两个不同的实数、满足，，求的值； （2）已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【小问1详解】 解：∵，实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵、， ∴将看作是方程得两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为2． 24. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 25. 已知在内部（如图①），等边三角形的边长为，等边三角形的边长为，连接和． （1）求证：； （2）当时，求的长； （3）将绕点旋转一周，为的中点（如图②），求旋转过程中的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长交于点，利用勾股定理求出和，然后代入即可； （3）取的中点，连接、，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如下图： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 延长交于点， ∵， ∴， ∵是等边三角形且边长为，等边的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【小问3详解】 取的中点，连接、， ∵是等边三角形且边长为，是等边三角形且边长为， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴在中，，当、、共线时取等号， ∴， ∴旋转过程中的取值范围是． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $