精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线l与的位置关系是相交． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 3. 一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法将方程变形得，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键． 4. 如图，为圆上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理计算即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理可得，， 故选：． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在y轴的右侧 B. 图象的顶点坐标为 C. 与x轴交于点和 D. 当时，y随着x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断求解即可． 【详解】解：A、该二次函数的图象的对称轴为直线，在y轴的左侧，故该选项说法错误，不符合题意； B、该二次函数的顶点坐标为，故该选项说法错误，不符合题意； C、当时，由得，，即该函数图象与x轴交于点和，故该选项说法错误，不符合题意； D、该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，则当时，y随着x的增大而减小，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 42° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可． 【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，∠AOD＝∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°， ∵△AOD中，AO＝DO， ∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°， ∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°， ∴∠C＝∠B＝45°， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵x2+x-k=0有两个实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0， 解得：k≥-， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 8. 如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 9. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，解答时，分，两种情形求解即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，函数图象开口向上， 当时，当时，函数取最小值， ∴，解得：， 当时，函数图象开口向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小， ∵，， ∴当时，函数取最小值， ∴， 解得：， 综上所述，m的值为2或， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线先向右平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据二次函数图象的平移法则解答即可． 【详解】解：由“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线． 故答案为：． 12. 某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键． 根据为直径，得出，根据，得出，根据勾股定理求出，得出，证明，得出，证明，根据等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为直径， ， ， ， ， ， ∵是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案是：． 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意识别出点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，所以当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，再根据已知长度计算就可以． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动， 如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小， ， ， ， ， ， 此时，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 如图，在方格纸中，A、B、P是三个格点（网格线的交点叫做格点）． （1）请用无刻度直尺作图：过点P画的垂线，垂足为点C； （2）在（1）的条件下，画出绕点P旋转后的图形，并写出的坐标． 【答案】（1） 解：如图， （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转一定角度后的图形，掌握作旋转一定角度后的图形是解题的关键． （1）由图可知是等腰直角三角形的斜边，取格点Q，连接，使得是等腰直角三角形，即可解答； （2）根据旋转的特征，绕点P旋转后，点P不变，其他各部分均绕点P按照相同的方向旋转相同度数即可得到新图形，求解即可； 【小问1详解】 解：取格点Q，连接，与交于点C，． 理由：根据图象可得是的等腰直角三角形的斜边， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 18. 如图，在四边形中，． （1）作图：请用无刻度直尺和圆规作，使得经过点A、B、D三点； （2）判断是否经过点C?请说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：经过点C，理由如下：连接， ，点O为的中点， ， 点C在上； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作圆，圆周角定理，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，作的中垂线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：．已知这种水果的进价是每千克20元． 请解决下列问题： （1）如果每月这种水果的利润为2000元，那么销售单价应定为多少元？ （2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）30元或40元 （2）销售单价为35元时，每月可获得最大利润，最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用； （1）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每月获得利润为w元，根据题意函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 即， 化简得：， 解得：． 答：如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为30元或40元． 【小问2详解】 设每月获得利润为w元 ， ， 当时，w最大，最大利润为2250元， 答：销售单价为35元时，每月可获得最大利润，最大利润为2250元． 20. 牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图． （1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）； （2）若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况． 【答案】（1） （2），因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解； （2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况． 【小问1详解】 解：，， ， 设半径为，则 在中， 解得 答：半径的长约为 【小问2详解】 如图，在优弧上任取一点，连接 ， ， ， 因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 21. 已知抛物线． （1）当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； 【小问2详解】 解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 22. 如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（6，12），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为3，树高为7，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度． 【答案】（1）y=−（x−6）2+12；（2）小球M能飞过这棵树；（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x-6）2+12，把（0，0）代入即可得到答案； （2）把x=3分别代入y=−（x−6）2+12和y=x，即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（6，12）， ∴设抛物线的表达式为y=a（x-6）2+12， 把（0，0）代入得，0=a（0-6）2+12， 解得：a=-， ∴抛物线的表达式为y=−（x−6）2+12； （2）当x=3时，y1=x=1，y2=−（x−6）2+12=9， ∵9-1＞7， ∴小球M能飞过这棵树； （3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为： ， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23. 在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． （1）如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． （2）如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）若．请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 解：． 证明：过点作交的延长线于点，连接， ． ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理得，，进而证明四边形是矩形得，得出，再根据勾股定理得结果； （2）过点作交的延长线于点，连接，证明得，，由垂直平分线的性质定理得，进而根据勾股定理得结论 （3）分为当点E在线段上时及当点E在线段的延长线上时，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：是的中点，是线段的中点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时， 设，则， ， ， 在中，， 由（2）得， ， ， 解得：， ； 当点E在线段的延长线上时，如图， 过点作，与的延长线交于点，连接， 设，则， ， ， 则，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ； 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，关键在于构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 一元二次方程经过配方变形为，则k的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7 4. 如图，为圆上的三点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的对称轴在y轴的右侧 B. 图象的顶点坐标为 C. 与x轴交于点和 D. 当时，y随着x的增大而减小 6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是（　　） A. 55° B. 45° C. 42° D. 40° 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y 的最小值为，则m的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 2或 D. 2或 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线先向右平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的解析式为_______． 12. 某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 13. 如图，在中，，以为直径的交于点D，的切线交于点E，则的长为_________． 14. 汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是________． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在方格纸中，A、B、P是三个格点（网格线的交点叫做格点）． （1）请用无刻度直尺作图：过点P画的垂线，垂足为点C； （2）在（1）的条件下，画出绕点P旋转后的图形，并写出的坐标． 18. 如图，在四边形中，． （1）作图：请用无刻度直尺和圆规作，使得经过点A、B、D三点； （2）判断是否经过点C?请说明理由． 19. 小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：．已知这种水果的进价是每千克20元． 请解决下列问题： （1）如果每月这种水果的利润为2000元，那么销售单价应定为多少元？ （2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 20. 牂牁江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图． （1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）； （2）若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况． 21. 已知抛物线． （1）当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； （2）已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 22. 如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（6，12），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为3，树高为7，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度． 23. 在中，，，D是的中点．E是直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F，连接． （1）如图1，当E是线段的中点时，则线段之间的数量关系为________． （2）如图2，当点E在线段上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． （3）若．请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $