精品解析：福建省莆田第八中学2024-2025学年八年级上学期期中考数学 试卷

2024-2025学年八年级上学期期中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 10，8，6 B. 4，8，7 C. 2，3，4 D. 3，4，7 【答案】D 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成三角形，不符合题意； B、∵，∴能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴能构成三角形，不符合题意； D、∵，∴不能构成三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 一个多边形每个内角都是150°，则这个多边形的边数为（    ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据内角与相邻的外角互补求出外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°求解即可. 【详解】180°-150°=30°， 360°÷30°=12. 故选A. 【点睛】本题考查了邻补角的定义及多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和等于360°是解答本题的关键. 4. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 7. 在和中，已知，，添加下列条件中的一个，不能使一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，利用不同的情形判断三角形是否全等是解题的关键． 首先在已知和，添加条件后判断是否能一定全等，需根据等定理分析，而则不能保证全等． 【详解】解：∵已知，， 若添加A：，符合边角边，能使； 若添加B：，符合边边角，不能保证全等； 若添加C：，符合角边角，能使； 若添加D：，符合角角边，能使； 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DAE=∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠CAD=30°， ∴BD =AD=2DC=6 ∴BC=9 故选：B． 考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 9. 小明从平面镜中看到镜子对面的电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为、；的对称数字是；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：B 【点睛】此题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，熟记轴对称的性质是解题的关键． 10. 在在3×3的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理证明出等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形性质可得结果． 【详解】解：如图所示： 由作图可知，，，， 设正方形方格的边长为1，则 ；；， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了网格的性质和勾股定理，正确构建等腰直角三角形是解答本题的关键． 二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，共24分）． 11. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可完成解答． 【详解】由于三角形具有稳定性，所以这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一特性是关键． 12. 已知点，关于轴对称，则_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了点与坐标，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：因为点，关于轴对称， 所以，， 故， 故答案为：7． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】分2为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可 【详解】解：当腰为2时，， ∴2、2、6不能组成三角形； 当腰为6时，， ∴2、6、6能组成三角形， 该三角形的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 15. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 _____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得，，再利用可判断①正确；再证明可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ，故①正确； ， ，， ， 在和中， ， ∴，故②正确； ∵，， ，，，， ，故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 三、解答题（本题共 9小题，共86分）． 17. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1440°，求这个多边形的边数． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形内角和公式，结合所有多边形外角和都为360度列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：， 解得， ∴这个多边形的边数为12． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关键． 18. 如图，点D、E在的边上，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 【详解】略 19. 如图，在中，点P为边上一点． （1）尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形． 【答案】（1） 如图所示: 利用同位角相等两条直线平行作则即为所求. （2） ， ∵ ， ∴， ， 为等边三角形. 【解析】 【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作，则即为所求； （2）利用等边对等角得到，利用平行线得到，再根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）设点的坐标为，由题意得：，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 21. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】（1）30海里 （2）1小时 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度，最后求出时间即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：（海里）． ∵， ∴． ∴． ∴（海里）． ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里． 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点P． ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，． 又∵， ∴． 在中，， ∴（海里）． ∴航行的时间为（时）． ∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 23. 阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．完成以下问题： （1）填空： ①若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； ②若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； （2）在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请求出的度数． 【答案】（1）①；②或 （2）或或 【解析】 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【小问1详解】 ①∵是“奇妙互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； 【小问2详解】 解：当P在线段上时，如图： ，，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴； 当时， ∵，则， ∴． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 24. （1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把、、集中在中；根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ___________． （2）如图2，在中，为中线，F为上一点，、交于点E，且． ①试探究线段、、之间的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 【答案】（1）； （2）① 证明：延长至点G，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）先证，推出，再利用三角形三边关系求解； （2）①延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证，再结合即可得结论； ②在上截取，则，结合，可知，，可证，得，进而可知， 可得，证得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）延长到Q，使得，再连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②在上截取，则， ∴， ∴， 由①，可知，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，等边对等角，等边三角形的判定及性质，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形． 25. 在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，点D在AB边上（不与点A、B重合），过C作CE⊥CD，使得CE＝CD，连接DE （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求证AD＝2BM． （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图1中，∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°． ∴CD＝CE，∠DCB+∠ECF＝90°， ∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF＝90°， ∴∠DCB＝∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ， ∴△DBC≌△CFE（AAS）； （2）如图1中，∵△DBC≌△CFE， ∴BD＝CF，BC＝EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC， ∴AB＝EF，AB-BD=BC-CF即AD＝BF， 在△ABM和△EFM中， ， ∴△ABM≌△EFM（AAS）， ∴BM＝FM， ∴BF＝2BM， ∴AD＝2BM； （3）不变，是定值1 【解析】 【分析】（1）先根据△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°得到CD＝CE，∠DCB+∠ECF＝90°，然后推出∠DCB＝∠CEF即可利用AAS证明△DBC≌△CFE； （2）（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，即可得到答案； （3）在EH上截取EQ＝DG，先证明△CDG≌△CEQ得到CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ，然后证明△HCG≌△HCQ得到HG＝HQ，则HE＝HQ+QE＝HG+DG，由此即可求解． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：结论：＝1． 在EH上截取EQ＝DG，如图， 在△CDG和△CEQ中 ， ∴△CDG≌△CEQ（SAS）， ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB＝45°， ∴∠ECQ+∠DCB＝45°， 而∠DCE＝90°， ∴∠HCQ＝45°， ∴∠HCQ＝∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ， ∴△HCG≌△HCQ（SAS）， ∴HG＝HQ， ∴HE＝HQ+QE＝HG+DG， ∴＝1． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级上学期期中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 10，8，6 B. 4，8，7 C. 2，3，4 D. 3，4，7 3. 一个多边形每个内角都是150°，则这个多边形的边数为（    ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 7. 在和中，已知，，添加下列条件中的一个，不能使一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 9. 小明从平面镜中看到镜子对面的电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ） A. B. C. D. 10. 在在3×3的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，共24分）． 11. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 12. 已知点，关于轴对称，则_______． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 14. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________． 15. 如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是___________． 16. 如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 _____． 三、解答题（本题共 9小题，共86分）． 17. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1440°，求这个多边形的边数． 18. 如图，点D、E在的边上，求证：． 19. 如图，在中，点P为边上一点． （1）尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 21. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 23. 阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．完成以下问题： （1）填空： ①若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； ②若是“奇妙互余三角形”， ，，则___________； （2）在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请求出的度数． 24. （1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q，使得； ②再连接，把、、集中在中；根据小明的方法，请直接写出图1中的取值范围是 ___________． （2）如图2，在中，为中线，F为上一点，、交于点E，且． ①试探究线段、、之间的数量关系，并证明； ②若，求的度数． 25. 在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，点D在AB边上（不与点A、B重合），过C作CE⊥CD，使得CE＝CD，连接DE （1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求证AD＝2BM． （3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $