精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

新疆实验中学2024—2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共6页，其中问卷4页，答卷2页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，得到，即可求解，得到答案. 【详解】设直线的倾斜角为，又可知直线的斜率为， 所以，又，解得， 即直线的倾斜角为， 故选：B 2. 已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【详解】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 3. 若两直线：与：间的距离为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式，列式计算即得. 【详解】根据平行线间的距离公式，可得，所以或． 故选：C 4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 5. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离. 【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0）， ＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝． 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题. 6. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由条件推导出，由此能求出双曲线的离心率． 【详解】抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据题意点在上， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 7. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由相切的关系可得出都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于M的位置，可得当时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值. 【详解】如图所示， 因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边， . 又因为， 所以当取得最小值时，面积最小， 此时四边形面积也取得最小值， 又由勾股定理，， 所以当取最小值时，最小. 由题意，当时，取得最小值，， 所以此时，， 故四边形面积的最小值. 故选：D. 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题!全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量与向量，共面 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0可得向量垂直B正确； 得出向量共面判断C；根据投影向量的定义可计算出投影向量可判断D. 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A错误； 因为， 所以，即B正确； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以C正确. 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D正确； 故选：BCD 10. 若曲线与直线有两个交点，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】画出图像，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得， 曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆， 直线l恒过，由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r， 即，解得； 当直线l过B点时，直线l的斜率， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故选：CD 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分. 12. 已知圆：与圆：相交于两点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆相交弦所在直线方程，利用弦长公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知两圆相交，且圆心，其半径为； 将两圆方程相减可得直线的方程为； 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 故答案为： 13. 椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】依题意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，从而可求得的面积． 【详解】椭圆，，，． 又为椭圆上一点，，、为左右焦点，，， ，．． 故答案为：． 14. 在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将四面体补成长方体，推导出，然后利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】在四面体中，平面，平面， 将四面体补成长方体，如下图所示： 因为，所以，异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，则，所以，， 所以，， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共计77分.解答应写书文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解； （2）设，，根据条件得到，代入即可求解. 【小问1详解】 因为直线恒过定点， 若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 【小问2详解】 设，，则，得到，所以， 又点在上，所以，整理得， 故的轨迹方程为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， ∵为的中点，∴，， 又∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明，即可求证； （2）求得平面法向量，由面面角的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作,因为侧面底面，相交于， 所以底面，在过作，交于， 由条件可知两两垂直，如图建系， ∴，，， ∴，， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为，∴， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. （1）求的方程； （2）已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由焦点弦长公式即可求解； （2）由直线与抛物线相切，判别式为0，及 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列出等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，则过点的直线为， 与抛物线方程联立得，则， ，得，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由直线与抛物线相切可知，直线得到斜率存在， 设直线：，与抛物线方程联立，得， ，即，① 圆：的圆心为，圆心到直线得到距离等于半径 即，得，② 由①②得，得或， 所以直线的方程为或； 18. 在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点. （1）求证：平面； （2）若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. （2）四点共面，理由如下： 在底面中，过作，交于， AI    由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 可得，，， 若平面，则，且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面， 即可得，，，四点共面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质以及判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系可求得，即可证明，，，四点共面. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 ，，，四点共面，理由略. 19. 已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过作椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 【答案】（1） （2） （3） 设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立. 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求出，可得椭圆的标准方程. （2）设过点的切线方程的点斜式，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得的值. （3）设（），再设过点的切线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，的表达式.再把和用，表示，化简整理即可. 【小问1详解】 由题意：. 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设过点的切线方程为：，即， 由，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆实验中学2024—2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷为问答分离式试卷，共6页，其中问卷4页，答卷2页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若两直线：与：间的距离为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题!全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量与向量，共面 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 若曲线与直线有两个交点，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 1 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共计15分. 12. 已知圆：与圆：相交于两点，则______. 13. 椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为__________． 14. 在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共6小题，共计77分.解答应写书文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过定点． （1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知点为抛物线：（）的焦点，过的直线交于点，.当的斜率为1时，. （1）求的方程； （2）已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程. 18. 在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点. （1）求证：平面； （2）若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 19. 已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过作椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. （1）求椭圆的标准方程. （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值. （3）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $