黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高三上学期第四次调研考试数学试题

《佳一中2026-2027学年度高三学年第四次调研考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A C B D C BD ABD 题号 11 答案 AD 1．C 2．A 3．C 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出a的取值，再结合充分条件、必要条件的定义判断关系即可. 【详解】，， 若，得，整理得，因式分解得，解得或； 当时，，，将化简后与完全一致，两直线重合，不符合平行要求，故舍去； 当时，，，两直线斜率相同、截距不同，满足平行条件； 因此的充要条件为，故“”是“”的充要条件. 4．A 【详解】直线变形为，求出其所过定点，利用垂径定理和弦长公式即可得出． 【分析】直线变形为，令，解得， 故动直线恒过定点． 圆，其圆心，半径， 则， 设圆心到直线的距离为，则弦长为，故当最大时，弦长最小， 故当垂直直线，即最大为时，弦长最小， 最小值为． 5．C 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 6．B 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 又因为，即， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 7．D 【分析】利用作为基底表示向量，再根据数量积求模即可. 【详解】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以，， ， 所以 . 所以. 8．C 【分析】根据双曲线定义以及角平分线性质可知，再由渐近线方程求出，在中，由正弦定理以及余弦定理可得，即可求得双曲线标准方程. 【详解】延长交于点，连接，如下图所示：    因为是的平分线，所以可得， 因此为的中点，且； 由双曲线定义可知, 又为的中点，所以，且， 由可得， 因为垂足在第二象限，所以渐近线为，即； 易知，所以点到渐近线的距离为； 所以；因此， 在中，由正弦定理可得，所以可得； 再由余弦定理可得，即，可得； 又，所以， 因此双曲线的方程为. 故选：C 9．BD 10．ABD 【分析】选项A，根据图象最高点、最低点及周期性，特殊点确定解析式；选项B，解三角方程，求出通解，计算相邻解的最小距离；选项C，利用函数图象平移变换规则进行验证；选项D，画出两个函数的图象可得. 【详解】由函数图象得， 最小正周期为，， 由，得 , ，因为，所以， 所以，选项A正确； 令，则， 解得 或 ， 即或， 因为，所以， 选项B正确； 选项C错误； 在同一坐标系中绘出曲线与在的图象，可得函数图象有4个交点，选项D正确. 11．AD 12． 【分析】设，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接，则， 设，则， 故， 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以. 13．/ 【分析】由多边形为正六边形可得双曲线渐近线方程，据此可得双曲线离心率；然后由正六边形几何性质可得椭圆离心率，据此可得答案. 【详解】设正六边形边长为，则. 由，可得双曲线的一条渐近线方程为：，则， 从而双曲线离心率为； 椭圆离心率为. 则离心率之和为：. 14． 【分析】先排除，取一个特殊点使分母为1，确定此时函数值大于2，与最大值条件矛盾，确定后，将转化为，求导找最小值点，代入后解方程即可确定参数． 【详解】若，令，则，与“最大值为2”矛盾，所以，分母为正， 由题可知，可得， 令，因为的最大值恰为2，所以等号能取到，故的最小值为0， 求导得，令得，即， 当时，解得，当时，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得最小值，， 令，解得． 15．(1) (2)当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，进而求得的最小值. （2）求得，令，得到，分类讨论求得函数的单调性，结合极值的定义，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，取得最小值，最小值为. （2）由函数，可得， 令，即，解得， 若，即时，，在上单调递增，无极值； 若时，即时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，取得极小值，无极大值. 综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 17．(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和将转化为，再展开两角和差正弦公式化简，提取后由求出，结合角范围得到角的值； （2）先由正弦定理求出边长，分别借助余弦定理、邻补角余弦互为相反数建立关于的方程组解出与，再结合三角形面积两种表达形式算出内切圆半径； 【详解】（1）因为且， 所以， 展开得， 即． 因为，所以， 因为，所以． （2）设三角形外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，由正弦定理可知， 因为外接圆的半径为，，可得， 由余弦定理可得．① 因为，且，所以， 即．② 联立①②，可得，， 由，可得． 18．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对通过同除构造等差数列求通项，对利用累加法结合等比数列求和公式推导通项. （2）对进行分式裂项变形，采用裂项相消法求和，结合放缩法证明不等式. （3）化简不等式后通过分离参数，将恒成立问题转化为求数列最大值，以此确定的取值范围. 【详解】（1），又， 则数列是以为首项，以为公差的等差数列， ， 则，， 以上各式相加可得，，当时，满足题意， . （2）由（1）可得， ， . （3）由题意有：对恒成立， 可得：不等式对恒成立，又， 可得：对恒成立， 记， 则 当时，，即， 当时，，即， 所以，当时，取得最大值为，. 综上，实数的取值范围是. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明，再根据面面垂直的性质得平面，再根据线面垂直的性质得，进而可得平面，再证明，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）取的中点，连接，根据面面垂直的性质得平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间中两点的距离公式求出外接球的圆心，从而可得出半径，即可得解； （3）易得点的轨迹是以为焦点的椭圆，设，求出两平面的法向量，再求出的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）连接， 因为，， 所以为等边三角形，所以， 因为是的中点，所以， 又，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以， 而， ， 所以， 所以，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）取的中点，连接，则， 因为侧面底面，侧面底面， 平面， 所以平面， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设四面体外接球的球心为， 则四面体外接球的半径， 所以， 即，解得， 所以四面体外接球的半径， 所以四面体外接球的表面积； （3）因为动点在平面内，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其焦距，长轴长，短轴长， 所以点的轨迹方程为， 设，则，所以， ， 则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 将代入化简得， 令，由，得， 则， 所以， 因为函数在上都是减函数， 所以当时，即时，取得最小值为， 经检验当时，和均为锐角， 所以的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳一中2026-2027学年度高三学年第四次调研考试 数学试题 时间 ：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题(共8道小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，且，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．设，已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知动直线与圆，则直线被圆所截得的弦长的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 6．在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．平行六面体中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，且，又过作一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第二象限），且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(共8道小题，每题6分，共18分，在体小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误的得0分.) 9．已知为虚数单位，下列说法正确的有（    ） A．复数的共轭复数 B． C．复数的模为 D．已知复数满足则在复平面内对应的点的轨迹为椭圆 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B．若，，则 C．当时，若的值域是，则 D．当时，曲线与有4个交点 11．圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，直线的方程为,点P到直线的距离为,则（    ）    A．的方程为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.) 12．已知圆，点在直线上运动，过作圆的两条切线、（、为切点），则四边形面积的最小值为______. 13．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为______． 14．已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 四、解答题(共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15．(13分)设函数． (1)当时，求的最小值； (2)求在上的极值． 16．(15分)已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 17(15分)．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若D为BC的中点，，且外接圆的半径为，求内切圆的半径； 18．(17分)已知数列满足，，其中 (1)求数列的通项公式． (2)记，求证：． (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 19．(17分)如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，是的中点，，. (1)证明：； (2)求四面体外接球的表面积； (3)动点在平面内，和均为锐角，.设平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $