第39讲 二项分布、超几何分布与正态分布（4类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第39讲 二项分布、超几何分布与正态分布 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 计算条件概率 2024年天津卷，第3题,5分 根据散点图判断是否线性相关 2023年天津卷，第13题,5分 计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式 2023年天津卷，第7题,5分 判断正、负相关 相关系数的意义及辨析 2022年天津卷，第13题,5分 计算条件概率 乘法公式 2022年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2021年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2020年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握独立重复的概念，能够求解概率问题 2.能掌握离散型随机变量和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，解决正态分布问题 4.会解运用几种分布求解概率 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给实际问题，求解概率问题。 知识讲解 知识点一．离散型随机变量的分布列 1.随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2.离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3.离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1.均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2.均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3.方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4.方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 5.常用结论 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 知识点三．两点分布 1.定义：若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 知识点四．次独立重复试验 1.定义： 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2.特点： （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点五．二项分布 1.定义： 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质： （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差： 若，则，． 知识点六．超几何分布 1.定义： 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质： （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点七.正态曲线 1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2.正态曲线的性质： （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 知识点八.正态分布 1.定义： 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 考点一、离散型随机变量的性质 1.（23-24高三上·天津武清·阶段练习）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表： 1 2 3 4 5 0.03 0.3 0.5 0.16 0.01 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 1.（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 2.（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 3.（2023·天津·三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 考点二、超几何分布 1.（·天津·高考真题）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 2.（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 1.（22-23高三上·天津和平·期末）袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望 ；第二次取到个白球个红球的概率为 . 2.（22-23高三上·天津北辰·阶段练习）为进一步做好新冠疫情防控工作，某地组建一只新冠疫苗宣传志愿者服务队，现从2名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取2人作为队长，则在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是 ；若用表示抽取的2人中女志愿者的人数，则 . 3.（2022·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 4.（2022·天津滨海新·三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则 ；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为 ． 考点三、二项分布 1.（2024·天津南开·一模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高三下·天津西青·阶段练习）①赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．设在中，，，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ． ②一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则 ． 1.（2020·天津·一模）已知某篮球运动员投篮命中率为，若在一次投篮训练中连续投篮100次，X表示投进的次数，则X的方差 ． 2.（23-24高三下·天津·阶段练习）元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为 ，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为 . 3.（23-24高三上·天津·期中）在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为 ；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望 . 4.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为 ， . 考点四、正态分布 1.（2023·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024·天津南开·一模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 1.（2023·天津红桥·一模）某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 2.（20-21高三上·天津红桥·期中）设随机变量，则（    ） A．0 B．1 C． D． 1．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ） A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939 2．（2023·浙江温州·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 . 4．（22-23高三上·天津·期末）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ． 5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则 ， ． 6．（22-23高三上·天津东丽·阶段练习）在本次考试中，一共9道选择题，甲同学每道选择题答对的概率均为，乙同学每道选择题答对的概率均为，且两位同学每道题答对与否相互独立.用表示甲同学本次考试中选择题答对的题目数量，则 .记“在本次考试中甲同学答对4道题而乙同学答对5道题”为事件，则 . 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率 ；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为 ． 2．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则 ，记甲选手的得分为（单位，分）， ． 3．（2023·天津·二模）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为 ；甲5个轮次通过的次数的期望是 . 4．（2023·天津和平·二模）在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为 ；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望 ． 5．（2022·天津·二模）某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人.已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为 ；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为，则随机变量的期望为 . 6．（2022·天津滨海新·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是 ；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为 . 1.（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 2.（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第39讲 二项分布、超几何分布与正态分布 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 计算条件概率 2024年天津卷，第3题,5分 根据散点图判断是否线性相关 2023年天津卷，第13题,5分 计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式 2023年天津卷，第7题,5分 判断正、负相关 相关系数的意义及辨析 2022年天津卷，第13题,5分 计算条件概率 乘法公式 2022年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2021年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2020年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握独立重复的概念，能够求解概率问题 2.能掌握离散型随机变量和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，解决正态分布问题 4.会解运用几种分布求解概率 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给实际问题，求解概率问题。 知识讲解 知识点一．离散型随机变量的分布列 1.随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示． 注意： （1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上． （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量． 2.离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： （1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值． （2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出． 3.离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： 我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列． 4.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1），；（2）． 注意： ①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数． ②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1.均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2.均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3.方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4.方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 5.常用结论 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 知识点三．两点分布 1.定义：若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 知识点四．次独立重复试验 1.定义： 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2.特点： （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点五．二项分布 1.定义： 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质： （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差： 若，则，． 知识点六．超几何分布 1.定义： 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2.超几何分布的适用范围件及本质： （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 知识点七.正态曲线 1.定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2.正态曲线的性质： （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 知识点八.正态分布 1.定义： 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 考点一、离散型随机变量的性质 1.（23-24高三上·天津武清·阶段练习）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表： 1 2 3 4 5 0.03 0.3 0.5 0.16 0.01 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】根据方差和期望的公式即可求解. 【详解】, , 所以且， 故选：A 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲、乙、丙三人射击的命中率分别为，，，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为，则 ． 【答案】 / 【分析】根据相互对立事件概率及相互独立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率； 先求出随机变量的取值情况及相应的概率，然后结合期望公式即可求解． 【详解】由题意得，至少有一人命中的概率， 由题意得的可能取值为 ， ， ， ， ． 故答案为：； 1.（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 【答案】 【分析】记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 2.（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可. 【详解】依题意有，解得， 则. 故答案为：. 3.（2023·天津·三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 【答案】 ； 4. 【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解. 【详解】由题可知， 甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率； 当时，X的取值可能是2，3，4， 且，，， 则． 当时，X的取值可能是0，1，2， 且，，， 则． 故． 故答案为：；4. 考点二、超几何分布 1.（·天津·高考真题）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (1)求取出的4个球均为红球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若“取出的4个球均为红球”，则从甲、乙两个盒内各任取2个球均为红球，结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）若“取出的4个球中恰有1个红球”，则有两种可能：“甲盒内任取2个球中有1个红球，乙盒内任取2个球中没有红球”和“甲盒内任取2个球中没有红球，乙盒内任取2个球中有1个红球”，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“从甲盒内任取2个球中有个红球”为事件，“从乙盒内任取2个球中有个红球”为事件， 则，， 故取出的4个球均为红球的概率. （2）取出的4个球中恰有1个红球的概率. 2.（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 【答案】 /0.8 【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望. 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 1.（22-23高三上·天津和平·期末）袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球.每次从中任取个球，然后放回个红球.设第一次取到白球的个数为，则的数学期望 ；第二次取到个白球个红球的概率为 . 【答案】 / 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可计算出的值；记事件第一次取到的白球有个，其中、、，记事件第二次取到个白球个红球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，. 记事件第一次取到的白球有个，其中、、， 则，，， 记事件第二次取到个白球个红球， 则，，， 由全概率公式可得. 故答案为：；. 2.（22-23高三上·天津北辰·阶段练习）为进一步做好新冠疫情防控工作，某地组建一只新冠疫苗宣传志愿者服务队，现从2名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取2人作为队长，则在“抽取的2人中至少有一名女志愿者”的前提下“抽取的2人全是女志愿者”的概率是 ；若用表示抽取的2人中女志愿者的人数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合条件概率公式和超几何分布的期望公式，即可求解. 【详解】设抽取的2人全是女志愿者为事件A，抽取的2人中至少有一名女志愿者为事件B， 则，， 所以； 由题意知，， . 故答案为：；. 3.（2022·天津武清·模拟预测）某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是 ，记抽取的男生人数为，则随机变量的数学期望为 ． 【答案】 /0.9 /1.8 【分析】根据给定条件，利用古典概型计算概率；再利用超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】由分层抽样知，抽取的5人中男生人数为，女生人数为2， 所以从5人中再抽3人，既有男生又有女生的概率是； 依题意，随机变量服从超几何分布，其期望为. 故答案为：； 4.（2022·天津滨海新·三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则 ；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为 ． 【答案】 / 【分析】由题意可得、、是两两互斥的事件，则，利用条件概率的概率公式求出即可，由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求出X的数学期望 【详解】由题意可得、、是两两互斥的事件，， 若从甲箱中随机取出1红球放入乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球， 所以，同理可得， 所以 ， 题意可得X的取值可能为0，1，2，3，则 ， ， ， ， 所以, 故答案为：， 考点三、二项分布 1.（2024·天津南开·一模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由以及可得， 由于，故，， 故选：D 2.（21-22高三下·天津西青·阶段练习）①赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．设在中，，，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 ． ②一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则 ． 【答案】 1.96 【分析】①根据题意求出DF，根据余弦定理求出AB，根据几何概型可知所求概率为． ②根据题意可知X服从二项分布，根据二项分布方差计算公式即可计算. 【详解】①由题可知，，AF＝BD＝2，DF＝6－2＝4， 在△ABD中，由余弦定理可知，， 即， 若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是； ②由题意可知，X服从二项分布，即X~B(100，0.02)， ∴． 故答案为：；1.96． 1.（2020·天津·一模）已知某篮球运动员投篮命中率为，若在一次投篮训练中连续投篮100次，X表示投进的次数，则X的方差 ． 【答案】（填也得分） 【解析】由满足二项分布，利用方差公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，满足二项分布， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二项分布及方差的求法，属基础题. 2.（23-24高三下·天津·阶段练习）元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为 ，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为 . 【答案】 / 【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可. 【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”， 则. 由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为， 根据二项式分布知，所以， 即的数学期望为. 故答案为：， 3.（23-24高三上·天津·期中）在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为 ；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望 . 【答案】 / / 【分析】利用获胜规则以及甲、乙每次投篮命中的概率可得甲获胜的概率为，易知3局比赛中甲获胜的局数服从二项分布，可得数学期望. 【详解】根据比赛规则可得，若甲获胜，则需满足甲投篮命中，乙投篮未命中， 所以甲获胜的概率为； 若进行3局比赛，每一局比赛甲获胜的概率为， 则在3次比赛中甲获胜的局数服从二项分布，即， 所以的数学期望； 故答案为：； 4.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为 ， . 【答案】 【分析】结合题设有，再应用二项分布的期望公式求. 【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为：， 又，由二项分布期望的求法可得. 故答案为：；. 考点四、正态分布 1.（2023·天津和平·三模）下列说法中，正确的个数为（    ） ①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度； ②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好； ③随机变量服从正态分布，若，则； ④随机变量服从二项分布，若方差，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确； 已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确； 若随机变量服从二项分布，则方差，所以， 所以，所以或，故④错误. 故选：C. 2.（2024·天津南开·一模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由以及可得， 由于，故，， 故选：D 1.（2023·天津红桥·一模）某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】D 【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数. 【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称， 则，所以， 所以的学生人数为：人. 故选：D. 2.（20-21高三上·天津红桥·期中）设随机变量，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据正态分布曲线的对称性得结论． 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于对称，所以 ． 1．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知随机变量服从正态分布，若，则等于（    ） A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939 【答案】B 【分析】先根据求解，再根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（2023·浙江温州·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果. 【详解】随机变量服从正态分布，显然对称轴， 所以由对称性知， 故选：C． 3．（2023·天津·模拟预测）一个袋中共有个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则白球的个数为 . 【答案】 【分析】首先设有白球个，根据题意得到，再解方程即可. 【详解】设有白球个，因为从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：5 4．（22-23高三上·天津·期末）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则 ． 【答案】 【分析】 求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出. 【详解】 的可能取值为， ，， ，则. 故 . 故答案为：. 5．（22-23高三上·天津滨海新·期末）从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为，若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】根据二项分布概率模型求数学期望和概率即可求解. 【详解】由题可得服从二项分布，即， 因为，所以， 所以 . 故答案为:1; . 6．（22-23高三上·天津东丽·阶段练习）在本次考试中，一共9道选择题，甲同学每道选择题答对的概率均为，乙同学每道选择题答对的概率均为，且两位同学每道题答对与否相互独立.用表示甲同学本次考试中选择题答对的题目数量，则 .记“在本次考试中甲同学答对4道题而乙同学答对5道题”为事件，则 . 【答案】 3 【分析】由服从二项分布，可利用公式可求出期望； 用本次考试中甲同学答对4道题的概率乘以乙同学答对5道题的概率即为所求. 【详解】由题，甲同学本次考试中选择题答对的题目数量， 所以； 本次考试中甲同学答对4道题的概率为， 乙同学答对5道题的概率为， 所以所求概率为. 故答案为：；. 1．（23-24高三下·天津·阶段练习）市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率 ；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品的概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率. 【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件，此产品为正品为事件B， 由题意可知：， 可得， 所以此产品为正品的概率为； 这两件产品中恰有一个是正品的概率为. 故答案为：；. 2．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则 ，记甲选手的得分为（单位，分）， ． 【答案】 【分析】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，进而可求；若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分，进而可求. 【详解】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况， 所以； 若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分， 所以. 故答案为：；. 3．（2023·天津·二模）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为 ；甲5个轮次通过的次数的期望是 . 【答案】 / / 【分析】由独立事件的乘法公式得出甲第一轮通过的概率，再由服从二项分布得出甲5个轮次通过的次数的期望. 【详解】“第次投中”，， 则甲第一轮通过的概率为. 的可能取值为，服从二项分布， 则甲5个轮次通过的次数的期望是. 故答案为：；. 4．（2023·天津和平·二模）在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､乙平局的概率为 ；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望 ． 【答案】 / 【分析】第一空，考虑两人平局情况，根据相互独立事件的乘法公式，即可求得答案；第二空，求出甲每局获胜的概率，确定甲获胜的局数，根据二项分布的期望公式即可求得答案. 【详解】由题意知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和， 则甲､乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为； 甲每局获胜的概率为， 故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则， 故， 故答案为：； 5．（2022·天津·二模）某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人.已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为 ；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为，则随机变量的期望为 . 【答案】 / / 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的概率公式求出甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率，首先求出甲、乙、丙三人成为主持人的概率，即可得到，根据二项分布的期望公式计算可得； 【详解】解：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率， 依题意甲成为主持人的概率， 乙成为主持人的概率， 丙成为主持人的概率， 即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为， 所以，则 故答案为：； 6．（2022·天津滨海新·模拟预测）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，则入选人数的均值是 ；若每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等时的概率为 . 【答案】 2 【分析】设入选人数为，则，则；男教师和女教师入选人数相等分为入选人数为0，1，2人，分别算出即可求出答案. 【详解】某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务，若每位教师入选的概率都是，设入选人数为，则，则，每位男教师入选的概率是，每位女教师入选的概率还是，则男教师和女教师入选人数相等为事件，则. 故答案为：2；. 1.（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 2.（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】/． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$