第38讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第38讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 计算条件概率 2024年天津卷，第3题,5分 根据散点图判断是否线性相关 2023年天津卷，第13题,5分 计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式 2023年天津卷，第7题,5分 判断正、负相关 相关系数的意义及辨析 2022年天津卷，第13题,5分 计算条件概率 乘法公式 2022年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2021年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2020年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握互斥事件与独立事件，能够求出互斥事件与对立事件的概率 2.能掌握古典概型的运算和性质 3.具备数集合的思想意识，会借助正难则反的思想计算概率问题 4.会解使用全概率公式与乘法公式解决概率问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出实际问题求解该概率问题。 知识讲解 知识点一.条件概率 1.定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件； （2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2.性质： （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点二.相互独立与条件概率的关系 1.相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2.事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 知识点三.全概率公式 全概率公式： （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，；②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 考点一、条件概率 1.（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：；. 2.（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 【答案】 / / 【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可. 【详解】两次都摸到红球的概率为， 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出. 故答案为：； 1.（2023·天津和平·三模）抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 【答案】 / 【分析】分别求出事件，事件和事件同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可. 【详解】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为， 易知， 用中的表示抛掷白、黑两颗骰子的点数，则事件包含：，， 所以，， 所以，， 故答案为：，. 2.（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 3.（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 . 【答案】 【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可. 【详解】由题意可得， 设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 4.（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 【答案】 【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空. 【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能： 甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜. 故所求概率； 设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则. 同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是. 故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率， 所以. 而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局， 从而两人的获胜数量总共有四种可能： 都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次. 它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得 . 故所求概率. 故答案为：，. 考点二、相互独立事件的判断与计算 1.（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 【答案】0.245/ 【分析】根据题意知甲前4场有一场输，第五场必定获胜，由于比赛场次主客场安排固定，所以可计算出每种输一场的概率，最后相加可得到甲队以4：1获胜的概率. 【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”， 设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5， 则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 所以甲队以4：1获胜的概率 . 故答案为：0.245 1.（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 【答案】 0.7 0.91 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2. 【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为， 小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为， 所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为， 故答案为：0.7；0.91 2.（23-24高三上·天津·期末）在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.70，0.6，且两人考试是否通过相互没有影响，则两人都通过的概率为 ，两人至少有一人通过的概率为 . 【答案】 【分析】对空1，利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可，对空2，先求两人都未通过的概率，再根据对立事件概率和为1，求解两人至少有一人通过的概率. 【详解】因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件， 所以同时发生的概率为， 两人都未通过考试的概率为， 故两人至少有一人通过的概率为. 故答案为：；. 2.（21-22高三上·天津河北·期末）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 【答案】 【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 根据相互独立事件的概率公式可得， ， 则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为， 且互斥，故 ， 故答案为： 3.（2022·天津河西·一模）某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 ． 【答案】 /0.5 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率. 【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率， 由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分， 只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分， 所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为. 故答案为：， 考点三、互斥事件与对立事件的概率 1.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及全概率公式计算即得. 【详解】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为，小明上班不迟到的事件为， 则，且两两互斥，依题意，， ， 因此， 所以某天上班他迟到的概率. 故答案为： 2.（22-23高三上·天津南开·阶段练习）甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 . 【答案】 4 /0.9975 【分析】直接利用二项分布数学期望公式即可求解；利用“至少有1人击中目标”的对立事件“没有人击中目标”的概率即可求解. 【详解】依题意， 甲射击5次符合二项分布，设甲击中目标次数为， 则有； 设事件“至少有1人击中目标”为，事件“没有人击中目标”为， 则互为对立事件， 所以， 所以； 故答案为：；. 1.（2022·天津河西·模拟预测）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ；至少有一名是女志愿者的概率为 ． 【答案】 【分析】①利用条件概率公式即可求解；②“至少有一名是女志愿者”的对立事件是“全是男志愿者”，间接求解即可 【详解】解：记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件，则， 故， 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件A互为对立事件，则 故答案为：． 2.（2022·天津武清·二模）甲、乙两人每次投篮命中的概率分别，甲、乙两人投中与否互不影响．现若两人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为 ；若每人投篮两次，两人共投中三次的概率为 ． 【答案】 ; 【分析】（1）利用“正难则反”求出两人均不命中的概率，用减去刚才的结果；（2）两人各投两次一共四次，命中三次说明必然是一人中两次，一人一次，分类讨论即可. 【详解】（1）两人各投篮一次，则至少有一人命中，记为事件，则； （2）若每人投篮两次，两人共投中三次记为事件，这里有两种情况：甲命中两次，乙一次；甲命中一次，乙两次，故. 故答案为： 3.（2022·天津和平·二模）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率 ；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率 . 【答案】 /0.7； . 【分析】根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率求解顾客抽奖1次能获奖的概率，由二项分布求出抽三次获3次一等奖的概率，再由对立事件概率求解. 【详解】因为在甲箱中抽一球与在乙箱中抽一球相互独立， 所以由独立事件同时发生的概率乘法公式可知，顾客抽奖一次未获奖的概率， 所以顾客抽奖1次能获奖的概率为. 在一次抽奖中，顾客获得一等奖的概率为，设顾客3次抽奖中获得一等奖的次数为随机变量，则由题意知， 则顾客3次抽奖都抽中一等奖的概率为, 所以该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率为. 故答案为：； 4.（2022·天津河东·模拟预测）甲、乙两人从门课程中各选修门，则不同的选法共有 种，人所选课程至少有一门相同的概率为 ． 【答案】 【分析】由组合数的意义直接计算即可确定所求的不同选法种数，并得到人所选课程没有一门相同的选法数，根据古典概型和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】甲、乙两人从门课程中各选修门，则有种选法； 人所选课程没有一门相同的选法有种， 则人所选课程至少有一门相同的概率. 故答案为：；. 考点四、古典概型概率的计算 1.（2021·天津和平·模拟预测）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（    ） A．2件 B．4件 C．6件 D．8件 【答案】A 【解析】设10件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值． 【详解】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为， 由得，， 化简得， 解得或； 又该产品的次品率不超过， ； 应取， 故选：A 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题． 2.（2021·天津和平·一模）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由频率之和为1求得，根据分层抽样可求得从，，分别抽取3人，2人，1人，再从这6名学生中随机抽取3人，求出基本事件总数，再求出这三人中恰有两人体重位于区间包含的基本事件，即可求得概率. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 采用分层抽样的方法， 则从中抽取人， 从中抽取人， 从中抽取人， 再从这6名学生中随机抽取3人，则基本事件共有个， 这三人中恰有两人体重位于区间包含的基本事件有个， 则这三人中恰有两人体重位于区间的概率为. 故选：B. 1.（21-22高三上·天津和平·阶段练习）饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为 ． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路）， 符合题意的只有（下，下，右）这1种， ∴3次跳动后，恰好是沿着餐餮纹的路线到达点B的概率为． 故答案为： 2.（22-23高三上·天津南开·阶段练习）一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为 ；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】根据先分类再分步的思想，古典概型的概率公式解决概率问题即可. 【详解】由题知，现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球， 所以摸球两次停止是指第一次摸得白球且第二次摸得黑球，或第一次摸得黑球且第二次摸得白球两种情况， 所以摸球两次停止的概率为； 停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数，说明至少得摸球3次， 包括第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得黑球，或第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得白球且第四次摸得黑球， 所以停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为 ， 故答案为：； 3.（21-22高三下·北京密云·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 . 【答案】/0.2 【分析】利用古典概型的概率公式求概率. 【详解】连续按两个不同的偶数共有种不同的按法，其中第二次才按对的按法有4种，所以事件记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率, 故答案为：. 4.（20-21高三上·天津·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 ． 【答案】 【解析】先列出从种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有种的情况，再利用古典概型公式计算即可. 【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊种在线教学软件随机选取种， 共有以下种等可能的情况： 甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊， 其中甲、乙、丙至多有种被选取的有以下种情况： 甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊， 即所求概率为， 故答案为：. 考点五、全概率公式的应用 1.（24-25高三上·天津静海·阶段练习）有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”， 则，且，，两两互斥， 根据题意得， ， 由全概率公式得. 故任取一个零件，它是次品的概率为. 故答案为：. 2.（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 【答案】 0.3 0.55 【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可. 【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7， 所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为， 由全概率公式知第三天不玩手机的概率为. 故答案为：； 1.（23-24高三下·天津·阶段练习）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 【答案】 0.16 【分析】根据贝叶斯公式和全概率公式求解即可. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 则. 故答案为：；. 2.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 ；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 . 【答案】 / / 【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率. 【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有种， 选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况种， 故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为； 任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为， 而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5， 则任选一名射手能够获胜的概率为， 故答案为：， 3.（2024·天津·一模）甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式摸出的2个球是白球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“抽出的2个球中有白球”，事件表示“两个都是白球”， 则， 故； 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为； 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则， 所以, 即抽到红球的概率是. 故答案为：； 4.（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 【答案】 /0.5 【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，第二次抽到3号球为事件，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为. 记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 则，，， 记第二次抽到3号球为事件， . 所以第二次抽到3号球的概率为. 故答案为：；. 1．（22-23高三上·天津红桥·期中）甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（    ） A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98 【答案】D 【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解. 【详解】由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中， 记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立， 则. 故选：D 2．（2022·天津南开·模拟预测）已知，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以, 故选：C 3．（24-25高三上·天津北辰·期中）天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 ；该游客至少游览三个景点的概率为 【答案】 【分析】利用相互独立事件的概率公式，即可求出该游客只游览一个景点的概率；至少游览三个景点分为游览了三个景点或四个景点，分别求出这两种情况的概率，相加即可. 【详解】只浏览一个景点的概率为：. 游览三个景点的概率为：， 游览四个景点的概率为：， 故至少游览三个景点的概率为：. 故答案为：；. 4．（2023·天津·二模）如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为，，，则系统正常工作的概率为 ，在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为 . 【答案】 /0.25 【分析】根据概率乘法公式可求解空1,根据条件概率的计算公式即可求解空2. 【详解】记“系统正常工作”为事件,则概率为 , “K和正常工作”为事件,则概率为 , 在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为, 故答案为：， 5．（23-24高三上·天津南开·期末）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为 . 【答案】0.82/ 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件“甲乘汽车前往某目的地”， 事件“甲乘动车前往某目的地”， 事件“甲正点到达目的地”. . 故答案为：0.82 6．（23-24高三上·天津·期末）学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为 ；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为 ． 【答案】 / 【分析】结合条件概率知识以及题意分析即可. 【详解】因为一共有六个节目，朗诵是第一个，所以概率为; 因为朗诵已经确定是第一个出场，所以小品在剩下的五个节目中首先出场也就是作为整体第二个出场的概率为. 故答案为：；. 1．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 【答案】 【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则； 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 故答案为：；. 2．（2023·天津河北·一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，由乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率. 【详解】因为某地区烟民的肺癌发病率为，没有患肺癌的人其化验结果呈阴性， 则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为； 设事件表示某地区烟民患癌，则，， 设事件表示检验结果为阳性， 则，， 所以某烟民的检验结果为阳性的概率为： ， 所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为 . 故答案为：； 3．（2024·天津·一模）设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为 ．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 ．（结果用分数表示） 【答案】 【分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”， 则，， 故， 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为， 故答案为：；. 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 ． 【答案】 【分析】利用独立重复事件的概率以及全概率公式求解. 【详解】在该市场中购买甲长的两个灯泡，则均合格的概率为， 若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ， 在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 故答案为：；. 5．（23-24高三上·天津宁河·期末）甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为 ；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求出第一空的结果；用，，表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑球，事件：从乙箱中取出的球是红球，从而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出结果. 【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法， 又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球， 则，， 所以 . 故答案为：；. 6．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，4），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意得到，再利用全概率公式得到，从而依次代入即可得解. 【详解】依题意，， 所以， 又，因此； ； . 故答案为：；. 1.（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 2.（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 3.（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 4.（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)不变 【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算； （2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算； （3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况. 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 5.（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 6.（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 7.（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第38讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率 计算条件概率 2024年天津卷，第3题,5分 根据散点图判断是否线性相关 2023年天津卷，第13题,5分 计算古典概型问题的概率 独立事件的乘法公式 2023年天津卷，第7题,5分 判断正、负相关 相关系数的意义及辨析 2022年天津卷，第13题,5分 计算条件概率 乘法公式 2022年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2021年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2020年天津卷，第4题,5分 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握互斥事件与独立事件，能够求出互斥事件与对立事件的概率 2.能掌握古典概型的运算和性质 3.具备数集合的思想意识，会借助正难则反的思想计算概率问题 4.会解使用全概率公式与乘法公式解决概率问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出实际问题求解该概率问题。 知识讲解 知识点一.条件概率 1.定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 注意：（1）条件概率中“”后面就是条件； （2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行． 2.性质： （1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． （3）如果与互斥，则． 注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么； （2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 知识点二.相互独立与条件概率的关系 1.相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2.事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 知识点三.全概率公式 全概率公式： （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，；②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 考点一、条件概率 1.（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 2.（24-25高三上·天津西青·阶段练习）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 . 1.（2023·天津和平·三模）抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 2.（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 3.（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 . 4.（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 考点二、相互独立事件的判断与计算 1.（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 . 1.（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 2.（23-24高三上·天津·期末）在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.70，0.6，且两人考试是否通过相互没有影响，则两人都通过的概率为 ，两人至少有一人通过的概率为 . 2.（21-22高三上·天津河北·期末）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 3.（2022·天津河西·一模）某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 ． 考点三、互斥事件与对立事件的概率 1.（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是 . 2.（22-23高三上·天津南开·阶段练习）甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 . 1.（2022·天津河西·模拟预测）某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 ；至少有一名是女志愿者的概率为 ． 2.（2022·天津武清·二模）甲、乙两人每次投篮命中的概率分别，甲、乙两人投中与否互不影响．现若两人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为 ；若每人投篮两次，两人共投中三次的概率为 ． 3.（2022·天津和平·二模）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率 ；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率 . 4.（2022·天津河东·模拟预测）甲、乙两人从门课程中各选修门，则不同的选法共有 种，人所选课程至少有一门相同的概率为 ． 考点四、古典概型概率的计算 1.（2021·天津和平·模拟预测）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（    ） A．2件 B．4件 C．6件 D．8件 2.（2021·天津和平·一模）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（    ） A． B． C． D． 1.（21-22高三上·天津和平·阶段练习）饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为 ． 2.（22-23高三上·天津南开·阶段练习）一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为 ；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为 ． 3.（21-22高三下·北京密云·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 . 4.（20-21高三上·天津·期末）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 ． 考点五、全概率公式的应用 1.（24-25高三上·天津静海·阶段练习）有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品率为，第二，三台为新车床加工的次品率均为，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，，.任取一个零件，计算它是次品的概率为 . 2.（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 1.（23-24高三下·天津·阶段练习）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 2.（23-24高三下·天津南开·阶段练习）某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为 ；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为 . 3.（2024·天津·一模）甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 4.（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 1．（22-23高三上·天津红桥·期中）甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（    ） A．0.72 B．0.27 C．0.26 D．0.98 2．（2022·天津南开·模拟预测）已知，则（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津北辰·期中）天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 ；该游客至少游览三个景点的概率为 4．（2023·天津·二模）如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为，，，则系统正常工作的概率为 ，在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为 . 5．（23-24高三上·天津南开·期末）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为 . 6．（23-24高三上·天津·期末）学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为 ；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为 ． 1．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 2．（2023·天津河北·一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 . 3．（2024·天津·一模）设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为 ．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 ．（结果用分数表示） 4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则均合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买两个灯泡，则这两个灯泡恰有一个是合格品的概率为 ． 5．（23-24高三上·天津宁河·期末）甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为 ；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 ． 6．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，3，4），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则 ， ． 1.（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2.（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 3.（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 4.（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 5.（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 6.（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 7.（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$