专题04 求数列的通项公式（七大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题04 求数列的通项公式（七大题型+优选提升题） 观察法 1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 2．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）将正偶数从小到大按照如图规律排列，定义排序：有序数组表示第s行第t个数（从左起），则2022的排序是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二下·上海闵行·期末）已知集合，将A中的正整数从小到大排列为、、、，若，则正整数 . Sn与an的关系 4．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求所有使不等式成立的的取值集合． 6．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 7．（18-19高一下·上海徐汇·期末）已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则 . 累加法 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 9．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则 10．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知数列和满足：①；②和中有且仅有一个成立，那么的值为 ． 11．（22-23高二上·宁夏吴忠·期中）已知数列满足，，则的最小值为 . 12．（21-22高一下·上海宝山·期末）已知数列是共有项的有限数列，且满足，若，，，则 ． 13．（19-20高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，，其中． （1）已知，求数列的通项公式； （2）已知是数列的最小项，求p的取值范围． 累乘法 14．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若数列满足，则 . 15．（21-22高二下·上海奉贤·期中）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 16．（19-20高二上·上海浦东新·阶段练习）数列满足，则 17．（19-20高二上·上海黄浦·期末）已知数列（）满足，且，则通项公式 . 18．（21-22高二上·上海虹口·期末）在数列中，，（n为正整数）. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)若数列满足，，求数列的通项公式. 19．（23-24高二上·上海复旦大学附属中学·阶段练习）在数列中，，，，，，，则 ． 构造法 20．（20-21高二上·上海虹口·期末）若数列满足，且，则数列的通项公式为 . 21．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 22．（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 23．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知数列的递推公式为，则数列的前n项和= 24．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 25．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知数列，，，...，的各项均为正整数，其中，对于每个正整数，为相同的正整数，则的值是 . 26．（21-22高二上·上海浦东新·期中）数列的前项和为，已知. (1)时，写出与之间的递推关系； (2)求的通项公式. 27．（22-23高二上·上海杨浦·期末）某地区森林年初原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量. (1)求的表达式； (2)如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？ 参考数据：，. 28．（22-23高二下·上海宝山·期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型06 定义法 29．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设函数，若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式． 30．（19-20高三上·上海青浦·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的前项和； （2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由； （3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型07 数学归纳法 31．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 32．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 33．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，且，若，当且仅当 时，取到最大值． 二、单选题 3．（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题： ①若数列是“梦想数列”，则常数； ②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”； ③“梦想数列”一定是等差数列. 以上3个命题中真命题的个数是（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 三、解答题 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对于任意正整数，． 5．（21-22高一下·上海松江·期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 求数列的通项公式（七大题型+优选提升题） 观察法 1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【答案】， 【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系. 【解析】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=. 故答案为: 2．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）将正偶数从小到大按照如图规律排列，定义排序：有序数组表示第s行第t个数（从左起），则2022的排序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察到第行的最后一个数为，从而确定2022位于第45行，再计算出所处的排序. 【解析】观察可得：第行的最后一个数为， 因为， 所以2022位于第45行，根据等差数列的性质可知：， 所以2022的排序为. 故选：C 3．（20-21高二下·上海闵行·期末）已知集合，将A中的正整数从小到大排列为、、、，若，则正整数 . 【答案】1516 【分析】利用平方差公式可得，对和分别研究即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律可得出结果. 【解析】， 当时，表示奇数； 当时，表示4的倍数； 所以中的整数从小到大排列为，即数列满足，又因为，所以， 故答案为：1516. Sn与an的关系 4．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式 ． 【答案】． 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【解析】由，可得时，； 当时，． 此时，当 综上，可得． 故答案为：． 5．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求所有使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与两种情况即可得解； （2）利用等比数列前项和公式整理得，从而判断得单调递增，再检验计算即可得解. 【解析】（1）数列的前项和， 当时，， 当时，满足上式， ， 则； （2）记， 则， 显然，当时，单调递增， 经计算，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故使不等式成立的的取值集合为． 6．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【解析】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 7．（18-19高一下·上海徐汇·期末）已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则 . 【答案】/0.9 【分析】 利用与的关系将已知转化为，并求出的通项公式. 再利用与的关系求出，写出的通项公式，利用裂项相消求解. 【解析】 ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 当时，,解得符合， ∴，， 当时，符合，∴，， 所以 . 故答案为： 累加法 8．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【解析】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 9．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则 【答案】 【分析】通过对、不断赋值，求得，可得出，利用累加法求出的表达式，即可得出的表达式. 【解析】在等式中， 令，可得，解得， 令，可得，可得， 令，，则，可得， 令，，其中，则， 则当且时，， 故当且时， ， 当时，也满足， 故对任意的，，所以，. 故答案为：. 10．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知数列和满足：①；②和中有且仅有一个成立，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推公式结合累加法可求解. 【解析】若成立，则 以上式子累加得，又因为，所以， 又因为，所以； 若成立，则， 因为 以上式子累加得，又因为，所以， 所以； 故答案为：225. 11．（22-23高二上·宁夏吴忠·期中）已知数列满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可． 【解析】， ， ， ， 由累加得 ， 所以 ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，且， 或5时最小， 时，； 时，； 所以的最小值为 故答案为：． 12．（21-22高一下·上海宝山·期末）已知数列是共有项的有限数列，且满足，若，，，则 ． 【答案】68 【分析】根据题意整理可得，利用累加法结合等差数列求和运算求解. 【解析】∵，则，且， ∴ ， 又∵，则，解得：或（舍去）， 故. 故答案为：68. 13．（19-20高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，，其中． （1）已知，求数列的通项公式； （2）已知是数列的最小项，求p的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据叠加法，利用等比数列以及等差数列求和公式求数列的通项公式； （2）根据条件确定p的取值范围，再证明时是数列的最小项. 【解析】（1）因为，所以 因此 当时也满足，所以； （2）因为是数列的最小项， 所以 当时 令 当时， 又 所以 因此当时，是数列的最小项. 从而 【点睛】本题考查利用叠加法求数列通项公式、等比数列以及等差数列求和公式、利用数列性质求参数，考查综合分析求解能力，属中档题. 累乘法 14．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用递推公式再递推一步，得到一个新的等式，两个等式相减，再利用累乘法可求出数列的通项公式，利用所求的通项公式可以求出的值. 【解析】因为（1）， 所以（2）， 得, ， 所以有， 所以. 故答案为： 15．（21-22高二下·上海奉贤·期中）若数列的首项，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得； 【解析】解： 数列中，，， ， ． 故答案为：． 16．（19-20高二上·上海浦东新·阶段练习）数列满足，则 【答案】 【分析】递推公式为,故用累乘法求得数列的通项公式,令,即可求解 【解析】由题,当时,,,,…, 用累乘法可得, 即, 当时, 故答案为 【点睛】本题考查数列的递推公式,考查累乘法求通项公式,考查求数列的某一项 17．（19-20高二上·上海黄浦·期末）已知数列（）满足，且，则通项公式 . 【答案】 【解析】由，得，再由累乘法求，注意验证时是否成立. 【解析】由，得当时，. , 以上各式两端分别相乘，得 , 即， ， . 又，适合上式. . 故答案为：. 【点睛】本题考查由递推关系式求数列的通项公式，属于中档题.由求数列的通项公式时，一般用累乘法求解，注意验证时是否成立. 18．（21-22高二上·上海虹口·期末）在数列中，，（n为正整数）. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)若数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）根据（1）可求出，从而根据裂项相消求和法可证明结论； （3）根据（1）可知，从而利用累加法可求出数列的通项公式. 【解析】（1）因为， 所以，，，，…，， 把以上个式子相乘，得 ， 即， 所以，即. （2）因为，所以， 所以 ， 所以. （3）因为， 即， 所以，，，，…，， 把以上个式子相加，得 ， 又因为，所以. 19．（23-24高二上·上海复旦大学附属中学·阶段练习）在数列中，，，，，，，则 ． 【答案】2 【分析】由递推公式化简，由裂项相消法与累乘法求解， 【解析】由得， 且，则， 故， ， 而，故， 故答案为：2 构造法 20．（20-21高二上·上海虹口·期末）若数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由递推关系式可得，构造数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【解析】由，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 故答案为： 21．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 22．（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】/ 【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解. 【解析】解：因为， ，， ，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 所以， 故答案为： 23．（21-22高一下·上海徐汇·期末）已知数列的递推公式为，则数列的前n项和= 【答案】 【分析】由已知凑配出等比数列，从而求得通项公式，然后用分组求和法求． 【解析】由得，又， 所以是等比数列，公比为2，所以， ， ． 故答案为：． 24．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 【答案】 【分析】由已知变形可得，可知数列是首项为，公比也为的等比数列，可求出的通项公式，进而可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【解析】因为数列的首项，且（为正整数），则， 且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故， 所以，，则， 所以，数列为等差数列，故. 故答案为：. 25．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知数列，，，...，的各项均为正整数，其中，对于每个正整数，为相同的正整数，则的值是 . 【答案】4900 【分析】构造，可得，则，由可得，从而可求. 【解析】设，则，， 令，则， 故，当时， ，显然，也满足上式， 由，知于是，. 又，则. 于是，. 故答案为：4900. 26．（21-22高二上·上海浦东新·期中）数列的前项和为，已知. (1)时，写出与之间的递推关系； (2)求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系分析运算，注意分和两种情况讨论； （2）根据题意利用构造法结合等比数列求通项公式. 【解析】（1）因为①， 所以当时，②， 得：，即， 在①中：令得，也符合上式， 所以. （2）因为，则，且 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 27．（22-23高二上·上海杨浦·期末）某地区森林年初原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量. (1)求的表达式； (2)如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？ 参考数据：，. 【答案】(1) (2)年 【分析】（1）分析可得，可得出，可求得数列的表达式； （2）解不等式，结合指数函数的单调性以及指数、对数的互化可求得结果. 【解析】（1）解：由题意可知，，第年后，， 所以，， 因为， 所以，，则， （2）解：由，由题意， 可得， 所以，， 因此，经过年后，木材储量翻一番. 28．（22-23高二下·上海宝山·期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再由等差数列通项公式及求和公式求出公差，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法求出，从而求出，即可判断. 【解析】（1）因为，当，，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，显然a1也满足； 设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以； （2）由（1）可得， 又， 则 所以 ， 其中 ， 则 ，， 所以，， 显然是递增数列，，，所以不存在正整数，使得． 题型06 定义法 29．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设函数，若函数和都是奇函数，将满足条件的按从小到大的顺序组成一个数列，求的通项公式． 【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）函数，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到； （2）由奇函数和诱导公式可得，，解得，即可得到所求通项公式 【解析】（1）函数 ，为非奇非偶函数． 理由：定义域为，， 且，即有为非奇非偶函数； （2）函数和都是奇函数， 即有和均为奇函数， 则，， 解得，由于，，，则． 故数列的通项公式为 30．（19-20高三上·上海青浦·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的前项和； （2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由； （3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）不存在；（3）. 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，，联立解得，即可求出数列的通项公式，进而求得 （2）结合求出，，，利用等比数列的性质得到，通过相应的转换得到，均为偶数，设，，将等式转化为，通过放缩可得与上式矛盾，所以不存在正整数，使，，成等比数列． （3）分为偶数和为奇数两种情况讨论，当为偶数时，可设；当为奇数时，设，，再对进行化简求值，分离参数，通过恒成立问题进一步确定取值范围． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，① ，②，联立①②得， 所以数列的通项公式为，，即 （2），，，， 当，，成等比数列时，有， 即， ，，， ， 、均为正整数，为整数，为整数， 则， 一定为偶数，整理得，则一定为偶数， 设，，、均为正整数，， 则转化为， ，令，则且为整数， 则，，则， （放缩可得），与上式矛盾， 所以不存在正整数、使，，成等比数列． （3）由（1）得， 当为偶数时，设， 则， ， 则不等式等价于对一切正整数恒成立， 即，设，，则，单调递增，， 当为奇数时，设，， 代入不等式，得，即， 又，的最大值为-4， 综上所述，的取值范围为 【点睛】本题主要考查数列通项公式、前项和的求法，分类讨论求数列通项，函数单调性，不等式恒成立，反证法，试题综合性强，属于难题 题型07 数学归纳法 31．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【解析】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 32．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可； （2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【解析】（1）证明：因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合， 故有成立； （2）由（1）可得，， 当时，， 因为，符合， 故。 33．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【解析】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 【答案】 【分析】设为数列的所有项的和，先根据题意得到递推式，然后再用累加法求解即可. 【解析】设为数列的所有项的和， 因为，为偶数，为奇数， 所以对于偶数项， ， 所以 所以， 上述式子相加可得， 即 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：题目既然求数列的所有项的和，即求角标为偶数时所有项的和，所以接替的关键就是找到角标为偶数时所有项的和的递推关系，进一步理解题意即可做到. 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，且，若，当且仅当 时，取到最大值． 【答案】2或3/3或2 【分析】利用累加法可得 , 利用向量的数量积可得 , 从而化简 , 利用二次函数的性质即可得. 【解析】因为 , 所以 ， 所有的式子相加可得 , 因为 , 且 ， 所以 ， 所以 ， 其对称轴方程为 , 又为整数, 所以 或 3 时, 取得最大值. 故答案为: 2或3. 【点睛】关键点睛：理解新定义，利用累加法得 公式, 利用向量的数量积、数列的求和、二次函数的最值等知识综合解题，考查运算求解能力，属于较难题. 二、单选题 3．（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题： ①若数列是“梦想数列”，则常数； ②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”； ③“梦想数列”一定是等差数列. 以上3个命题中真命题的个数是（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分析条件，可得，可判断①；先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，可判断②③. 【解析】对于①， ，所以，，故①正确； 对于②③，令，，， 所以，，即：､､成等差数列， 令，，， ， 化简为：， 两式相减得： 所以，，当时也成立. 综上可得，“梦想数列”必是等差数列，故③正确，故②不正确. 故选：B. 三、解答题 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对于任意正整数，． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到； （2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得； （3）分别验证时，不等式成立；当时，采用放缩法可得，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当时不等式成立，由此可得结论. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . （2）由（1）知：，则， 由得：，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，. （3）当时，；当时，； 当时，； 当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）； 当时，； 综上所述：对于任意正整数，. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的综合应用；证明不等式的关键是能够通过对数列通项公式进行放缩，将无法求和的数列转化为可以利用等比数列求和公式进行求和运算的形式，进而证得结论. 5．（21-22高一下·上海松江·期末）已知数列的前项和为，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，是否存在正整数，使得依次成等差数列？若存在，求出所有的有序数组；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据通项公式与前项和的关系，结合累加法求解即可； （2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可； （3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可 【解析】（1）因为…① 所以当时，…② ①-②得：，整理得 则由累加法可得： 整理得： 又当时，上式也成立，所以的通项公式为 （2）由题知，，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即求的最大值. 又，故当时，，即，当时，，故当或时，取得最大值,所以的取值范围为 （3），由（2）因为，且，故若，则，，故，即不成等差数列，故. 若，则，又，故不成等差数列，故. 当时，此时，此时，解得.此时或，，，为或 当时，因为，且，故，即，故，即当时，.又，故，故不成等差数列. 综上所述，有序数组为或 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解通项公式的方法，同时也考查了数列中的恒成立问题，以及整数类的存在性问题，需要根据题意逐步分析是否满足条件，并且适当用放缩的方法证明不等式，属于难题 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$