专题03 数列（九大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

专题03 数列（九大题型+优选提升题） 数列的概念，定义法解数列 1．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 2．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）数列，其前n项和 ． 数列的递推公式 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 7．（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 8．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 9．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 10．（23-24高二下·上海·期末）已知数列满足：（为正整数），则 ． 11．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 等差、等比数列的下标和性质 12．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则 ． 13．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 15．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列中，，前项和为，则 ． 等差、等比中项，数列与其他模块结合 16．（23-24高一下·上海·期末）在中，若角A、B、C成等差数列，则角 . 17．（23-24高一下·上海·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 ． 18．（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 19．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则 ． 20．（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 数列的实际应用 21．（24-25高二下·上海·期末）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个……第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．    22．（23-24高三上·上海虹口·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？ 题型06 最值问题 23．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 24．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 25．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 26．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 27．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 28．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 题型07 个数、项数问题 29．（23-24高一下·上海·期末）已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为 ． 30．（23-24高一下·上海·期末）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数 . 31．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，为正整数，若数列中去掉的项后，余下的项按原顺序组成数列，则 . 题型08 判断真假命题 32．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 33．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 题型09 解答题 34．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 35．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 36．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 37．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 38．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 一、填空题 1．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 2．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知正项数列的前项和满足（为正整数）.记，若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 三、解答题 4．（23-24高一下·上海静安·期末）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： (1)求；（结果保留一位小数，单位：） (2)对于第辆车，写出函数的分段表达式； (3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 5．（23-24高一下·上海·期末）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列（九大题型+优选提升题） 数列的概念，定义法解数列 1．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 【答案】2 【分析】根据等差中项分析求解即可. 【解析】因为为等差数列，则，所以. 故答案为：2. 2．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【解析】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）数列中，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用函数的周期性求解. 【解析】时， 故答案为：0. 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）数列，其前n项和 ． 【答案】 【分析】由，应用等比数列前n项和公式求得，即得结果. 【解析】由题设，则， 所以，则. 故答案为： 数列的递推公式 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和； 【解析】，. 当时； 当时； 当时； 所以数列的前4项和等于. 故答案为：. 7．（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】15 【分析】由可证明数列是等差数列，利用通项公式可得15. 【解析】将同时除以2，得出， 即数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 故答案为：15 8．（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【解析】由可得： ， ． 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 10．（23-24高二下·上海·期末）已知数列满足：（为正整数），则 ． 【答案】 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【解析】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【解析】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 等差、等比数列的下标和性质 12．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比及首项，即可求解. 【解析】设等比数列的公比为，由已知得， 解得，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列性质若，则，化简已知条件即可求解. 【解析】根据等比数列的性质若，则，有，， 所以化为，即， 又因为，所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【解析】等差数列中，， 因为, 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列中，，前项和为，则 ． 【答案】30 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【解析】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 等差、等比中项，数列与其他模块结合 16．（23-24高一下·上海·期末）在中，若角A、B、C成等差数列，则角 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质得出. 【解析】，. 故答案为：. 17．（23-24高一下·上海·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由等比中项的性质得到，再由余弦定理及基本不等式求出的范围，即可求出的范围，从而得解. 【解析】因为是、的等比中项， 所以，即， 由余弦定理，当且仅当时取等号， 又，所以，所以角的最大值为. 故答案为： 18．（23-24高二下·上海浦东新·期末）在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是 ． 【答案】或 【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解． 【解析】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 故答案为：或． 19．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则 ． 【答案】3 【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质化简可求出，求出等比数列的前项和，最后判断极限. 【解析】因为，，成等差数列，所以， 所以，即，且数列严格递减， 解得或（舍），则. 故答案为：3. 20．（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 . 【答案】/ 【分析】分析出不合要求，时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，求出. 【解析】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 数列的实际应用 21．（24-25高二下·上海·期末）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个……第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，写出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答. 【解析】依题意，在数列中，，，，…，， 当时，， 满足上式，因此，， 令数列的前n项和为， 则， 所以． 故答案为： 22．（23-24高三上·上海虹口·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？ 【答案】(1)2025年1月底 (2)2024年8月份. 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可. 【解析】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故. 令， 化简得，解得，或； 由是正整数，则. 故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨. 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 故，（为正整数）. 显然，当时，. 当时，由得. 设，则，， 因为，， 所以当时，，即数列是严格增数列，且； 当时，，即数列是严格减数列. 由于. 所以不等式的解为(为正整数). 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. 题型06 最值问题 23．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可. 【解析】易得该等差数列首项为负，公差为正， 故该数列的前n项和， 故当或时取得最小值，无最大值. 故选：A 24．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【解析】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 25．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 【答案】 【分析】先通过递推式得当为偶数时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式，根据通项公式观察到数列为递减数列，故求出后，以为基础，通过一定的估算可得到答案. 【解析】当，且为偶数时，， 得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 当，且为奇数时，， 所以 明显数列从第二项起，故数列为递减数列， 当为偶数时， ， 对于，由于， 当时，， 当时，， 又当时，， 故使得成立的最小的正整数的值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于通过奇偶来的分段数列，可分奇偶来研究数列的通项公式，先求出偶数项的通项公式后，奇数项的通项公式就好求了. 26．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为 . 【答案】 【分析】 由已知等式可得或，首先求出数列为等差数列或等比数列时正整数的值，然后再讨论为等差和等比交叉数列，要使的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果. 【解析】根据可知或； 当时，数列是以为首项，1为公差的等差数列； 所以， 则，可得； 当时，数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以， 则，解得，不合题意，舍去； 若数列为等差和等比交叉数列，又易知； 若要使的值最小，则，，，，， ，，，，，，， ，，，，，， 此时，即； 故正整数的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式讨论若数列为等差和等比各项交叉所得的数列，若要使的值最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而利用首项求出的值. 27．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 【答案】50 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【解析】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【点睛】关键点睛：1.根据的符号性分析可得存在，使得或； 2. 根据绝对值不等式分析可得，且. 28．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 【答案】11 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【解析】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 题型07 个数、项数问题 29．（23-24高一下·上海·期末）已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为 ． 【答案】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【解析】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 30．（23-24高一下·上海·期末）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数 . 【答案】9 【分析】设的公差为，由题意基本量化简得到.，代入基本量，化简得到，通过的范围进而得到的范围. 【解析】设等差数列的公差为，，，即.， ，得到，将代入，得到，即. ，，即， 得到，，，，所以元素个数为9个. 故答案为：9. 31．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，为正整数，若数列中去掉的项后，余下的项按原顺序组成数列，则 . 【答案】 【分析】分析可知，数列的前项由数列的前项剔除数列的前项后得到，利用等比数列和等差数列的求和公式可求得的值. 【解析】因为，令，可得， 因为，则， 又因为， 所以，数列的前项由数列的前项剔除数列的前项后得到， 所以， . 故答案为：. 题型08 判断真假命题 32．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可. 【解析】对于①：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，则， 即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以①正确； 对于②：取， 则，且, 为和谐数列等价于， 证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列， 即证，即证， 当时，上式左边为负数，显然成立； 当时，即证，即证，（*） 设，， 则在上单调递增，可得， 即（*）式成立，所以②正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：命题②的关键点在于取一个公比为负数的等比数列说明其存在性. 33．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【解析】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 题型09 解答题 34．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式结合题中所给数据求出数列的首项即可由等比数列通项公式求出数列的通项公式. （2）先求出和数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得， 解得， 所以. （2）由（1）得， 所以，故数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以. 35．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，，其中是正整数． (1)求的通项公式； (2)数列满足，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的前项和公式，结合求解即得. （2）求出，利用构造法求出，再利用分组求和法求出. 【解析】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）依题意，，，由，得，解得， 则，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即， 所以数列的前项和. 36．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求 【解析】（1）由题知：①， ②， ②÷①得，，解得，代入①式得，， 所以． （2）由（1）知：， 所以， 所以 ． 37．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【解析】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 38．（23-24高二下·上海·期末）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3)4139166 【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，，列不等式组求数列的最大项，进而分析判断； （3）由题意可得：，，分析可知数列的前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【解析】（1）因为的各项均为正数，，且， 则，可得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． （2）不存在，理由如下： 由（1）可得：， 则， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为， 所以不存在正整数m，使得成立. （3）由（2）可得：，其前n项和为； 由题意可知：，其前n项和为； 因为，， 且， 对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项， 所以. 一、填空题 1．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据递推式先推出，然后分组求和可得，结合条件，通过基本不等式，二次函数的性质求的最大值. 【解析】因为， 所以，将代入得， 所以，又， 所以， 所以 又因为，所以， 又由，，得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 所以当时，最大，且最大为 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件中的递推式求出数列中隐藏的等比数列，然后利用分组求和的方法进行求和. 2．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知正项数列的前项和满足（为正整数）.记，若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用求出数列的通项公式，由裂项相消求和法计算可得.设函数，将函数写出分段函数，根据函数的值域为R和极限的思想可得当时、当时，解不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 又因为是正项数列，所以，即， 当得，当得， 经检验符合上式，所以. 所以. 设函数， 当时， ； 同理可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即，其中， 由函数的值域为R知，当时，， 所以，即，解得； 当时，， 所以，即，解得， 综上，实数k的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的难点是将函数转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用. 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【解析】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 三、解答题 4．（23-24高一下·上海静安·期末）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？ 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： (1)求；（结果保留一位小数，单位：） (2)对于第辆车，写出函数的分段表达式； (3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 【答案】(1)， (2) (3)至多有7辆汽车通过该十字路口 【分析】（1）根据已知条件可得答案； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理可得答案； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，求的最大，分别计算到可得答案. 【解析】（1）， ； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得： ， 其中，， 或者写成 ； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即， 于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算， ， 第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口． 在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口， 【点睛】思路点睛：利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 5．（23-24高一下·上海·期末）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值；     （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． (2)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ），（ⅱ），理由见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）由题设定义得出，，再计算的值；（ⅱ）先比较前四项，再由数学归纳法证明，时，； （2）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【解析】（1）解：（ⅰ）由题意，，； 所以 （ⅱ）当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当，时，，数学归纳法证明如下 （1）当时，，命题成立； （2）假设当时，命题成立， 即，则当时， （*） ∵，，即命题也成立由 由（1）（2）可知，当，时，． （2），则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立； 所以等式无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 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