精品解析：江苏省江阴市2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024年秋学期江阴市初中学业水平调研测试 九年级数学试题2024.10 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 4. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ） A. 25 B. C. D. 6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为 ，点在经过点，的直线上， 与相切于点，则切线长 的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：① 平分 ；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 写出一个一元二次方程，使它的两根分别为和3：_____________． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 14. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_____________cm2． 15. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为 ________ ． 16. 如图，C为上一点，是的直径，， ，现将绕点B按顺时针方向旋转 后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 17. 现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0， 中的某一个值对应相等，则 的值为______． 18. 如图，正方形中，，点、分别为、上两个动点（不与重合），且 ，将正方形分别沿过点和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段 上，两折痕所在直线交于点，则______ ；当时， 的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？ 21. 一个直角三角形的斜边长为，两直角边长的和是 ．求这两条直角边的长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根； （2）若原方程有一个根大于5，求m的取值范围． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作 ，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若 ，的半径为3，求的长度（结果保留）． 24. 在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作 的垂直平分线 ，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： （1）与是否相等?请说明理由； （2）小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 25. 在丝绸博览会期间，某公司展销一种工艺品，已知该工艺品每件成本是50元．经市场调研，售价为60元，每天可售出800件；售价每提高5元，销量将减少100件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，请问这种工艺品把销售单价定为多少元时，当日所获利润为10000元． 26. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． （1）求这两个方程相同的根． （2）求原方程两根之和． 27. 如图，点、、、在上，且，是延长线上一点，且是 中点． （1）求证：； （2）连接 并延长交于，延长 到使，连接、 ，试说明； （3）在（2）的条件下，若为，则当 =______ 时，四边形为菱形． 28. 如图，在 中，，， ，G为上一点（不与D、C重合），，动点E从点B出发，以个单位/秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）将 沿着翻折得到 ， ①当______秒时，点F的运动路径长为； ②当点F到直线的距离等于1时，求t的值； （2）当时，有且仅有一个时刻，能使为直角三角形，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期江阴市初中学业水平调研测试 九年级数学试题2024.10 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义要求，含有一个未知数，未知数的最高指数是2，并且是整式方程，逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B 2. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 【答案】A 【解析】 【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可． 【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内， ∴点A到圆心的距离小于2cm， 故选：A． 【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的个数与判别式的关系，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选C． 4. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 5. 若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ） A. 25 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，得：， ∴； 故选C． 6. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接 ， 四边形 是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得 ，即球的半径为5． 故选：B． 7. 下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判定一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．也考查了正多边形，正六边形，确定圆的条件，三角形的外心等． 根据确定圆的条件判定①，根据正多边形的性质判定②，根据正方六边形的性质判定③，根据三角形的外心性质判断④． 【详解】解：A．不共线的三个点确定一个圆，故些项为假命题，不符合题意； B．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项是假命题，不符合题意； C．正六边形的半径与边长相等，故此项是真命题，符合题意； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项为假命题，不符合题意． 真命题有1个， 故选：D． 8. 如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据 ，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵ ， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点 在经过点，的直线上， 与相切于点 ，则切线长 的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接 ．根据勾股定理知，因为 是定值，所以当时，线段 最短，即线段 最短． 【详解】连接 、 ． 是 的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段 最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 10. 如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于 ．则下列结论：① 平分 ；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形是的内接四边形，得出，根据等边对等角以及同弧所对的圆周角相等可得，即可判断①，根据点是中点，得出，进而可得，则即可判断②，证明，得出 ， ，进而根据勾股定理判断③④，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ∴，即 平分 ，故①正确； ∵点是中点， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， 如图所示，平分， ∴ ∴；故②正确； 如图所示，过点作于点， 由①可得平分 ， ∴ ， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ， ∴ ∴， 在 中，，故③不正确， 若，， ∴ ∴ ， 在 中，，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，弧与弦的关系，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：， 解得：． 故答案为： 12. 写出一个一元二次方程，使它的两根分别为和3：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根写出一元二次方程，解题的关键是防止把写成． 【详解】若一元二次方程的两根分别为和3， 则方程可以为， 整理得， 故答案为：． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到 ，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长． 【详解】解：由得到， ， ∴或， ∴ ，， ∵， ∴等腰三角形只能腰为5，底边为2， ∴该等腰三角形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 14. 已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为_____________cm2． 【答案】18π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】底面周长=6π， 圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm2． 故答案为：18π 考点：圆锥的侧面积 15. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为 ________ ． 【答案】 ##20度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得 平分 ，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 ， ∵点I是的内心， ∴平分 ， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，C为上一点，是的直径，， ，现将绕点B按顺时针方向旋转 后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出 是等边三角形、 是等边三角形，进而得 ；根据，可得图中阴影部分的面积，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ 是等边三角形． 由旋转可知：， ∴， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 17. 现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0， 中的某一个值对应相等，则 的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程 ，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．由题意得：，若，则，方程无实数根； ，解得：；若，得出方程无实数根，故可推出；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 若，则，方程无实数根； ∴，解得：； 若，整理得：， 则，方程无实数根； ∴； 当时，，解得，此时成立； ∴； 当 时，，解得 ，此时成立； ∴ 综上所述：或 故答案为：或 18. 如图，正方形中，，点 、分别为、上两个动点（ 不与重合），且 ，将正方形分别沿过点 和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段 上，两折痕所在直线交于点 ，则______ ；当时， 的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，根据正方形的性质可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可得出，设，则，，在 中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示， 又∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴， ∴ 依题意，将正方形分别沿过点 和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段 上， ∴， ∴ ∴； 当时，， 设，则， ∴， 在 中， ∴ 解得： 故答案为： ，． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，解一元二次方程，三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用配方法解一元二次方程，即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 20. 已知：当x=2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？ 【答案】x1=1，x2=5． 【解析】 【分析】试题分析：根据一元二次方程的解的定义将x=2x2﹣2mx+4=﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣6x+4=﹣1，再通过解该方程求得x的值即可． 【详解】试题解析：由题意得4﹣4m+4=﹣4，即3﹣m=0， 解得m=3； ∴x2﹣6x+4=﹣1， ∴（x﹣1）（x﹣5）=0， 得x1=1，x2=5． 考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解． 21. 一个直角三角形的斜边长为，两直角边长的和是 ．求这两条直角边的长． 【答案】 和 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，设一条直角边长为，则另一条直角边长为，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设一条直角边长为， 由题意得， 整理得， 解得 ，， 当时，， 当时，， 综上可知，这两条直角边的长为 和． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根； （2）若原方程有一个根大于5，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出 ，，结合该方程有一个根大于5，可得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 证明：在关于x的一元二次方程中， ，， 是非负数， ， 无论m取何实数，原方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， ，， 原方程有一个根大于5， ， ． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作 ，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若 ，的半径为3，求的长度（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接 ， 如图所示： ∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， 在中，∵， ∴ ， 由①②得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等，掌握切线的判定方法及弧长的计算公式是解题的关键． （1）连接 ，由 ，可得 ，进而可得 ，结合 可证 ，即可得出是的切线； （2）由，可得 ，设 ，则 ，结合 ，在 中，由三角形内角和定理列式计算出 ，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴ ， 设 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的长度． 24. 在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线 交于点E，交于点F，再作 的垂直平分线 ，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： （1）与是否相等?请说明理由； （2）小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 【答案】（1）相等，理由见解析 （2）不正确，图见解析 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图——线段垂直平分线的作法： （1）根据垂径定理的推论进行判断； （2） 平分线段 ，而不是所对的弦，因此 不能平分，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接 ，作 的垂直平分线，与的交点即为所求的点P． 【小问1详解】 解：与相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 【小问2详解】 解：不正确，作图如下． 25. 在丝绸博览会期间，某公司展销一种工艺品，已知该工艺品每件成本是50元．经市场调研，售价为60元，每天可售出800件；售价每提高5元，销量将减少100件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，请问这种工艺品把销售单价定为多少元时，当日所获利润为10000元． 【答案】当定价为 元或元时，当日所获利润为10000元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设销售单价定为元，由题意，得： ， 解得：或， 答：当定价为 元或元时，当日所获利润为10000元． 26. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根． （1）求这两个方程相同的根． （2）求原方程两根之和． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系： （1）令，结合，可得两方程相同的根； （2）结合（1）中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：原方程为，小马解的方程为， 令， 化简得， ， ，， ， 即这两个方程相同的根是1． 【小问2详解】 解：由（1）可知新方程的两个根为3，1， ， ， 原方程为两根之和为． 27. 如图，点、、、在上，且， 是延长线上一点，且是 中点． （1）求证：； （2）连接 并延长交于 ，延长 到使，连接、 ，试说明； （3）在（2）的条件下，若为，则当 =______ 时，四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先判断出是的中位线，得到 ，再判断出 ，即可得出结论； （2）连接，得出四边形是平行四边形，证明点在上，则 ，根据是直径可得，进而根据线段垂直平分的性质，即可得出结论； （3）若四边形为菱形时，，根据已知为，是直径，可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ， ∵F是的中点， ， ， 是的中位线， , , , , , , 【小问2详解】 如图，连接， 由（1）知， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴点在上，则 ∵是直径， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 垂直平分 ∴ 【小问3详解】 由（2）可得 若四边形为菱形，则， ∴ ∵为，是直径，则为， ∴ ∴ ∴在（2）的条件下，若为，则当时，四边形为菱形． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，平行四边形的性质与判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 如图，在 中，，， ，G为上一点（不与D、C重合），，动点E从点B出发，以个单位/秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． （1）将 沿着翻折得到 ， ①当______秒时，点F的运动路径长为； ②当点F到直线 的距离等于1时，求t的值； （2）当时，有且仅有一个时刻，能使为直角三角形，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，②5或10 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据翻折得到，，在以为圆心，为半径的弧上，利用弧长公式求得角度进而即可求解； ②分当点F在直线 下方时，当点F在直线 上方时，利用解直角三角形和相似三角形的性质和判定分别求解； （2）分两种情况分别求m的取值范围，再结合题意写出m的取值范围． 【小问1详解】 解：①将 沿着翻折得到 ， ，， 在以为圆心，为半径的弧上， 设， ， ， ， 点F在射线上，， 中，， ， ， ， 点E从点B出发，以个单位/秒的速度沿射线运动，时间； ②当点F在直线 下方时，如图所示： 作 于H，作于L，交 于点K，作 于J，连接， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ， ， ， 关于直线对称， ， ， 于J， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当F在直线 上方时，如图所示： 作于L，交 于点K，作 于J，连接， 由①可得， ， ， ， 中，， ， 同①可得，， ， ， ， ， ； 综上所述，当点F到直线CD的距离等于1时，t的值为5或10； 【小问2详解】 解：①若 ，则G为以为直径的圆与线段 的交点（不包括C、D两点），作于，作 于，如图， 当变大时，变大， ， 时，，此时最大，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， 时，； ②若 ，，当时，B、E重合， ， ， ， ， ， ， 当E向C运动， G向C运动， 当 时，，此时最大，， 作于，交延长线于M， 同①可得，，， 同理可证，， ， ， ， 时，， ∴当时，只有以为斜边的一个直角三角形，符合题意； 当，以分别为斜边，各有一个直角三角形，不符合题意； 当时，只有以 为斜边的一个直角三角形，符合题意； 综上，当时，有且仅有一个时刻，能使为直角三角形，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形及圆的相关性质，熟知相关性质定理，正确作图，运用数形结合、分类讨论是正确解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $