特训06 几何证明 解答压轴题（十三大题型，含六大模型+三大中考热点题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训06 几何证明 解答压轴题（十三大题型，含六大模型+三大中考热点题型） 目录： 题型1：垂线模型 题型2：一线三等角模型 题型3：手拉手模型 题型4：旋转模型 题型5：倍长中线模型 题型6：截长补短模型 题型7：线段的垂直平分线的综合应用 题型8：角的平分线的综合应用 题型9：直角三角形的性质综合应用 题型10：勾股定理的综合应用 题型11：中考热点题型1—几何中的分类讨论 题型12：中考热点题型2—作平行线 题型13：中考热点题型2—作垂线 题型1：垂线模型 1．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15． 【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可； （2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可； （3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出． 【详解】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF． ∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF+AE=BE+CF； （2）数量关系为：EF=BE-CF． ∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF-AE=BE-CF； （3）∵EF=BE-CF；， ∴BE=AF=EF+CF=6+6=12， ∵，EH+FH=EF=6， ∴2FH+FH= 6， 解得FH=2， ∴EH=2FH=4， S四边形ABFG==90， ∴BG=， ∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10， ∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=， ∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15． 【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键． 题型2：一线三等角模型 2．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 题型3：手拉手模型 3．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）60；（4）60； 【分析】（1）根据题意，得∠ABC＝∠DBE＝60°，从而得；通过证明，得；通过证明，得，根据等边三角形的性质分析，即可完成证明； （2）结合题意，通过证明为等边三角形，得；结合（1）的结论，根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解； （3）同理，通过证明为等边三角形，得；通过证明，得；根据三角形外角性质，推导得，从而完成求解； （4）根据题意，通过证明为等边三角形，推导得，通过证明，得，结合三角形外角的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝60° ∴，， ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴ ∴ 和中 ∴ ∴ ∴为等边三角形； （2）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC ∴为等边三角形； ∴ 根据题意，AE和CD相交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：； （3）∵∠ABC＝∠DBE＝60°, BA＝BC ∴为等边三角形； ∴ ∵，，∠ABC＝∠DBE＝60° ∴ ∵BA＝BC，BD＝BE 和中 ∴ ∴ 如图，延长，交CD于点O ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：； （4）∵BA＝BC， ∴ ∵∠ACB＝60° ∴ ∴为等边三角形 ∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ∴ ∵， ∴ 和中 ∴ ∴ 分别延长CD、AE，相较于点O，如下图： ∴ ∵ ∴ ∴，即直线AE和CD的夹角是 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解． 题型4：旋转模型 4．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证； （2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解． 【详解】证明：（1）是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴，， ， ∴是等边三角形； （2）解：①的度数是定值，理由如下： 是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE， ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， 即的度数是定值，为60°； ②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ； 当，，三点共线，且在BC下方时. ， 综上所述，或8． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型5：倍长中线模型 5．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　； （2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析 【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可． （2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题． （3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题． 【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB， ∴(SAS)， ∴EC=AB=4， ∵6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH． ∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH， ∴(SAS)， ∴BE=CH， ∵FD⊥EH，又DE=DH， ∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH=BE，FH=EF， ∴BE+CF＞EF； （3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF． ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCH+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCH， ∵AF=CH，AD=CD， ∴(SAS)， ∴DF=DH，∠ADF=∠CDH， ∴∠ADC=∠FDH， ∵∠EDF= ∠ADC， ∴∠EDF=∠FDH， ∴∠EDF=∠EDH， ∵DE=DE， ∴(SAS)， ∴EF=EH， ∵EH=EC+CH=EC+AF， ∴EF=AF+EC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型6：截长补短模型 6．问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)EF=BE+FD (2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析； (3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论； （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：EF=BE+FD． 延长FD到点G．使DG=BE．连接AG， ∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG． ∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°． ∴∠GAF=∠EAF=60°． 又∵AF=AF， ∴△AGF≌△AEF（SAS）． ∴FG=EF． ∵FG=DF+DG． ∴EF=BE+FD． 故答案为：EF=BE+FD； （2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立． 证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°， ∴∠1=∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF=AM，∠2=∠3． ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF． ∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF． 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF=ME，即EF=BE+BM， ∴EF=BE+DF； （3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD． 证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF， ∵EG=BE-BG， ∴EF=BE-FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型7：线段的垂直平分线的综合应用 7．如图，在中，，． (1)如图1，平分交于点，为上一点，连接交于点． ①若，求证：垂直平分； ②若，求证：． (2)如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上．试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点．写出线段和的数量关系不要求写出过程)． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）①由等腰三角形的性质可得出答案； ②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，则可得出； （2）延长、相交于点，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可． （3）过点作，交于，交的延长线于点．证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出．则可得出结论． 【详解】（1）①证明：，平分， ，， 即垂直平分； ②证明：过点作交的延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：． 理由如下：如图，延长、相交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：．过点作，交于，交的延长线于点． ∵，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， ，，， ，． 又， ， ． ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 8．如图，四边形中，，联结，且，分别作于点，于点，垂足分别为、．      (1)如图1，当为的平分线时，试说明：； (2)如图2，延长、交于点， ①直接写出线段、、之间的数量关系______； ②联结，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②64 【分析】（1）利用和得到即可得出结论； （2）①利用三角形内角和性质得到的度数，从而得出是等腰直角三角形，由即可得到结果； ②根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵是是平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：①； ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②由①知是等腰直角三角形，    ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型8：角的平分线的综合应用 9．【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）为线段的中点，理由见解析；（3）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，有．作于点，由角平分线的性质可得，证得，即可求证； （3）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】（1）证明：， ． 又，平分， ． 为的中点， ， ． ， ． 又， 是的平分线； （2）解：为线段的中点； 理由：过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，如图， ， ． 作于点，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ， ， 为线段的中点； （3）解：在和中， ， ， 则， 同理可证，则， ． 又， ， ， ． 10．如图，与中，，，，，，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先证明，可得，由，，得，，再结合即可求解； （2）延长交于，在上取，连接，由题意可得，，，进而可得，由平分，可知，易证，可得，则，可知，可证，由，即可证明结论； （3）如图，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长交于，在上取，连接，    ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴， 则； 即：； （3）结论：． 理由：如图过点作交的延长线于， ∵， ∴，    ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型9：直角三角形的性质综合应用 11．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 12．如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 【点睛】本题是结合了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 题型10：勾股定理的综合应用 13．在中，，D为的中点，E、F分别为上的动点． (1)若，当时，是否成立？若成立，结合图1给出证明；若不成立，在图1中举出反例； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，，，直接写出的长度的范围为 ． 【答案】(1)不成立，见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，过点D作和的垂线，垂足分别为，利用证明和，得到或； （2）在上取点，使，连接，证明，推出，，再利用四边形内角和以及邻补角的性质得到，根据等角对等边即可证明； （3）连接，作于点，求得和的长，先证明是等边三角形，得到，当点与点重合时，有最小值为1，当点与点重合时，有最大值为，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点D作和的垂线，垂足分别为， ∵，，D为的中点， ∴是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，∴； 同理，显然， ∴不一定成立； （2）证明：如图，在上取点，使，连接， ∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作于点， ∵，D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， 由（2）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，当点与点重合时，有最小值，最小值为1， 当点与点重合时，有最大值，最大值为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 14．如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； (3)如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3)70度 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，即可由定理得出结论； （2）由得到，从而证得，则，，由勾股定理得，再代入计算即可； （3）延长交于D，延长交于N，连接，先证明，得到，再证明，（三线合一），得到，然后证明，得到，从而得出，最后利用等腰三角形与三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ ∴， ∵点为中点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：延长交于D，延长交于N，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∵， ∴， ∴，（三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 15．已知，在和中，，，． (1)如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； (2)如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； (3)当点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)或 【分析】（）利用证明，，，再根据三角形外角的性质可证； （）连接，证明可得，，进而可得，再由勾股定理即可求证； （）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 如图，设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①如图，过作于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，同理可得，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型11：中考热点题型1—几何中的分类讨论 16．如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得，从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，（此种情况不成立），然后分类进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ； （2）证明：是的平分线， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可分：①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 17．已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 题型12：中考热点题型2—作平行线 18．如图，已知：是等边三角形，，点D为直线上一点，点E是直线上一点，连接、、． (1)如图1，当且点D在边上，求证：是等边三角形； (2)如果的边长为11，且，请直接写出线段的长度；（无需写出解题过程） (3)当时， ①如图1，当点D在边上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图2，点D在的反向延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2)线段的长度为或 (3)①成立，理由见解析；②成立，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论； （2）①当点在边上时，根据角之间的数量关系，得出，再根据等边三角形的性质和三线合一的性质，即可得出线段的长度；②点在边的延长线上时，根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出线段的长度； （3）①在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据邻补角互补，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据三角形的外角的性质和角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论；②过作交的延长线于点，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①当点在边上时， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形，边长为11， ∴，； ②点在边的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度为或； （3）解：①成立，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ②成立，理由如下： 如图，过作交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角的性质，解本题的关键在证明三角形全等和运用分类讨论思想． 题型13：中考热点题型2—作垂线 19．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1+ (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键， （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，则，作于H，根据直角三角形的性质可得，进而得到即可解答； （3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， ∴，则， ∴， ∴， ∴的值为； 如图，当时， 由等边三角形的对称性知，当时，仍然有， 同理可得的值为． 综上所述：的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 几何证明 解答压轴题（十三大题型，含六大模型+三大中考热点题型） 目录： 题型1：垂线模型 题型2：一线三等角模型 题型3：手拉手模型 题型4：旋转模型 题型5：倍长中线模型 题型6：截长补短模型 题型7：线段的垂直平分线的综合应用 题型8：角的平分线的综合应用 题型9：直角三角形的性质综合应用 题型10：勾股定理的综合应用 题型11：中考热点题型1—几何中的分类讨论 题型12：中考热点题型2—作平行线 题型13：中考热点题型2—作垂线 题型1：垂线模型 1．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 题型2：一线三等角模型 4．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 题型3：手拉手模型 3．已知：△ABC与△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE． （1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且∠ABC＝60°，求证：△BMN是等边三角形； （2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是 　 　°； （3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但∠ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 　 　°； （4）如图3，若∠ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是 　 　°． 题型4：旋转模型 4．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 题型5：倍长中线模型 5．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　； （2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明． 题型6：截长补短模型 6．问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 题型7：线段的垂直平分线的综合应用 7．如图，在中，，． (1)如图1，平分交于点，为上一点，连接交于点． ①若，求证：垂直平分； ②若，求证：． (2)如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上．试判断线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点．写出线段和的数量关系不要求写出过程)． 8．如图，四边形中，，联结，且，分别作于点，于点，垂足分别为、．      (1)如图1，当为的平分线时，试说明：； (2)如图2，延长、交于点， ①直接写出线段、、之间的数量关系______； ②联结，若，求四边形的面积． 题型8：角的平分线的综合应用 9．【发现】如图1，，E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接． （1）求证：是的平分线； 【拓展】如图2，和的平分线和相交于点E，过点E的直线与分别相交于点B，C（点B，C在的同侧）． （2）判断E是否为线段的中点，并说明理由； （3）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是 　 　． 10．如图，与中，，，，，，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 题型9：直角三角形的性质综合应用 11．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 12．如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 题型10：勾股定理的综合应用 13．在中，，D为的中点，E、F分别为上的动点． (1)若，当时，是否成立？若成立，结合图1给出证明；若不成立，在图1中举出反例； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，，，直接写出的长度的范围为 ． 14．如图，是等边三角形，点是边上一点，连接． (1)如图1，在边上取点，使，连接，交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若点为中点，求的值； (3)如图3，是内一点，且，连接，求的度数． 15．已知，在和中，，，． (1)如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； (2)如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； (3)当点共线时，请直接写出线段的长． 题型11：中考热点题型1—几何中的分类讨论 16．如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 17．已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 题型12：中考热点题型2—作平行线 18．如图，已知：是等边三角形，，点D为直线上一点，点E是直线上一点，连接、、． (1)如图1，当且点D在边上，求证：是等边三角形； (2)如果的边长为11，且，请直接写出线段的长度；（无需写出解题过程） (3)当时， ①如图1，当点D在边上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图2，点D在的反向延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 题型13：中考热点题型2—作垂线 19．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$