特训05 几何证明 解答题（十五大题型归纳）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训05 几何证明 解答题（十五大题型归纳） 目录： 题型1：全等三角形 题型2：直角三角形全等的判定（HL） 题型3：等腰三角形 题型4：等边三角形 题型5：线段的垂直平分线 题型6：角的平分线 题型7：作图题 题型8：线段的垂直平分线与角的平分线综合 题型9：直角三角形的性质 题型10：直角三角形的性质与其他几何知识综合 题型11：勾股定理及其逆定理 题型12：勾股定理的折叠问题 题型13：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型14：勾股定理在线段的垂直平分线、角的平分线中的应用 题型15：几何证明综合 题型1：全等三角形 1．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．    (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 题型2：直角三角形全等的判定（HL） 3．如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．    4．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 题型3：等腰三角形 5．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    6．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 题型4：等边三角形 7．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 8．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求证： 题型5：线段的垂直平分线 9．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 10．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 11．如图，在中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形， (1)请说明的理由； (2)如果是的垂直平分线，那么吗？为什么？ 题型6：角的平分线 12．如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 13．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 14．如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 题型7：作图题 15．已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 16．如图，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，，求的长． 题型8：线段的垂直平分线与角的平分线综合 17．如图，已知平分，垂直平分，，垂足分别为点G，F.求证：    (1)； (2). 18．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 题型9：直角三角形的性质 19．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 20．如图，在中，点在边上，且，点是的中点，，求证：． 题型10：直角三角形的性质与其他几何知识综合 21．如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 22．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求线段之间的数量关系； (2)若，求线段之间的数量关系． 题型11：勾股定理及其逆定理 24．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 25．如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 26．如图所示的一块地，，，，，．求这块地的面积． 27．在中，，E是上的一点． (1)若E是的中点，，，，求的长； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 题型12：勾股定理的折叠问题 28．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 29．已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．    (1)求的长； (2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长． 题型13：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 30．已知，如图，在中，，，交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 31．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． (1)求证：点，，在同一条直线上． (2)若，，求的面积． 32．如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． (1)求证：； (2)如果，求． 33．中，，直线l过点C，，，垂足分别为D、E． (1)当A、B在直线l同侧时，如图1， ①证明：； ②若，计算的面积． (2)当A、B在直线l两侧时，如图2，若，连接，直接写出梯形的面积 ． 题型14：勾股定理在线段的垂直平分线、角的平分线中的应用 34．已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F． (1)求证：； (2)求线段的长． 35．如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． (1)当点P运动7秒时，的面积为______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 题型14：几何证明综合 36．如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 37．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 38．在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 几何证明 解答题（十五大题型归纳） 目录： 题型1：全等三角形 题型2：直角三角形全等的判定（HL） 题型3：等腰三角形 题型4：等边三角形 题型5：线段的垂直平分线 题型6：角的平分线 题型7：作图题 题型8：线段的垂直平分线与角的平分线综合 题型9：直角三角形的性质 题型10：直角三角形的性质与其他几何知识综合 题型11：勾股定理及其逆定理 题型12：勾股定理的折叠问题 题型13：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型14：勾股定理在线段的垂直平分线、角的平分线中的应用 题型15：几何证明综合 题型1：全等三角形 1．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 2．如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．    (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据，可得，再利用证得； （2）根据三角形外角的性质可得，再由，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 题型2：直角三角形全等的判定（HL） 3．如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】连接，利用可证明，可得，利用可证明，进而可证得结论． 【解析】证明：连接，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键． 4．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可． 【解析】（1）∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴ ∴ （2）解法一：连接 ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴， ∴， 即 解法二：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等． 题型3：等腰三角形 5．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，，计算即可． 【解析】解：，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 6．如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 题型4：等边三角形 7．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，由可知，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据等边三角形三线合一的性质得出，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 8．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）利用三线合一证出，证明即可证出结论 （2）利用截长补短法添加辅助线，构造即可证出结论． 【解析】（1）证明：连接， 是的中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接，， ， ， ， ， 在中 ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型5：线段的垂直平分线 9．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数； （2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案． 【解析】（1）解：在中， ，， ， 是的垂直平分线， ，， ； （2）解：是的垂直平分线，， ，， ， ． 10．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．如图，在中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形， (1)请说明的理由； (2)如果是的垂直平分线，那么吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质： （1）利用等边三角形的性质通过证明，推出，即可证明； （2）由线段垂直平分线的性质得出，，进而证明，结合（1）中，可得． 【解析】（1）解：的理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， 又， ， 由（1）知， ． 题型6：角的平分线 12．如图，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，过点E作于F，先由线段中点的定义得到，再由角平分线的性质得到，则，据此根据角平分线的判定定理证明即可． 【解析】证明：如图所示，过点E作于F， ∵E是的中点， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线． 13．如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证： (1)； (2) 平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理 （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可； （2）根据角平分线的判定定理证明即可． 【解析】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，，， 平分． 14．如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算． （1）根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式求出； （2）分别用t表示出和，即可证明； （3）分点在线段上、点在线段上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【解析】（1）解：，，， ， ， （2）证明：由题意得，，， 则， ， ， ； （3）解：， ， 当点在线段上时， ， 时，，即， 解得，不合题意， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 则当或时，与全等． 题型7：作图题 15．已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据作已知线段垂直平分线的作法，即可求解； （2）根据作已知角的平分线的作法，即可求解． 【解析】（1）解：如图，就是所求作的直线， （2）解：如图，就是所求作的射线， 16．如图，在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点N，交于点M；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)的长为5 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，直角三角形的性质 ． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案． 【解析】（1）解：如图所示，直线是边的垂直平分线； （2）在中，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， 即， ． 题型8：线段的垂直平分线与角的平分线综合 17．如图，已知平分，垂直平分，，垂足分别为点G，F.求证：    (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，利用线段垂直平分线的性质可得，通过证即可求证； （2）证即可． 【解析】（1）证明：∵平分， ， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， 由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判断和性质．通过证全等将线段进行等量代换是解题关键． 18．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，． （1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到，再根据等角对等边可得到； （2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 【解析】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）， 即， ∵， ， ∴． 题型9：直角三角形的性质 19．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【解析】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 20．如图，在中，点在边上，且，点是的中点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质和等边对等角，根据已知可知为的斜边中线，可得，再由可得，由此即可证明结论． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型10：直角三角形的性质与其他几何知识综合 21．如图，在中，，是边上的点，于，于． (1)若，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质 （1）连接．根据等腰三角形三线合一的特性，可知也是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，那么； （2）由可求得，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求得、的长，即可求解． 【解析】（1）证明：连接． ，， ∴点是边上的中点， 平分， 、分别垂直、于点和． ； （2）解：，， ， 于，于． ， ， ． 22．在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【解析】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 23．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求线段之间的数量关系； (2)若，求线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得，根据直角三角形你斜边上中线性质即得； （2）证明为等腰直角三角形，证明垂直平分，得到，结合，可得． 【解析】（1）证明：∵，点E为的中点， ∴． ∴． ∵点F为的中点， ∴． （2）证明：∵， ∴是等腰直角三角形． ∵点F为的中点， ∴垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线判定和性质，是解决问题的关键． 题型11：勾股定理及其逆定理 24．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中根据勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【解析】解：∵，， ∴． 在中， ． 在中， ． 25．如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． （1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出； （2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 26．如图所示的一块地，，，，，．求这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【解析】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， 故这块地的面积是． 27．在中，，E是上的一点． (1)若E是的中点，，，，求的长； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形内角和定理． （1）先由直角三角形得出，现由勾股定理得，进而可得，再根据中点的性质得，进而得，再由勾股定理即可得的长； （2）先根据三角形内角和定理和直角三角形的性质得，，，再根据角平分线的性质得，再由即可得的度数． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型12：勾股定理的折叠问题 28．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 29．已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．    (1)求的长； (2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理可得； （2）由对折性质可知，，， 设，由勾股定理可得，则，解得，则的长为． 【解析】（1）解：∵， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， ∴； （2）解：由对折性质可知，，， 设， 在和中，由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 题型13：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 30．已知，如图，在中，，，交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理． （1）根据等边对等角可得，根据得出，则，根据等角对等边，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据，可得，即可求解． 【解析】（1）解：， ， ， ， （2）解：， 又∵ 31．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，． (1)求证：点，，在同一条直线上． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由旋转的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，，，则有，然后问题可求解 【解析】（1）证明：是由绕点A顺时针旋转得到的， ，， ， ． 又， ， 点，，在同一条直线上． （2）解：由（1）可知，， ． ， ． ， ． 32．如图，在中，分别是边上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． (1)求证：； (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)48． 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出结论； 对于（2），先根据已知条件及直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质及证明是等边三角形，再根据勾股定理得出答案． 【解析】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线， . 是的中点， ， 是等腰三角形. 是的中点， ； （2）解：、分别是边、上的高线， ， 是的中点，， ， ，. ， ， ， ， 是等边三角形. 是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形内角和定理等，掌握直角三角形的性质是解题的关键．即直角三角形的斜边中线等于斜边的一半． 33．中，，直线l过点C，，，垂足分别为D、E． (1)当A、B在直线l同侧时，如图1， ①证明：； ②若，计算的面积． (2)当A、B在直线l两侧时，如图2，若，连接，直接写出梯形的面积 ． 【答案】(1)①见解析②50 (2)3.5 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理和利用勾股定理进行计算． ①根据垂直定义求出，求出，，求出，根据推出； ②根据全等三角形的性质推出，再利用勾股定理得出的长，利用面积公式进行计算即可； （2）根据垂直定义求出，求出，，求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出和，进而求出的长，求出梯形面积即可． 【解析】（1）①证明：∵直线l过点C，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴ 在中， ， ∵， ∴的面积； （2）解：∵直线l过点C，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积 故答案为3.5． 题型14：勾股定理在线段的垂直平分线、角的平分线中的应用 34．已知：如图，中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别是E、F． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、．利用证明即可得证； （2）证明，由等腰直角三角形的性质即可得解． 【解析】（1）证明：如图连接、． ∵，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． (1)当点P运动7秒时，的面积为______； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 【答案】(1)3 (2)3或6或或 (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，确定点位置，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）根据沿着过点P的直线，能将折叠到上，得到平分，过点作，根据角平分线的性质得到，等积法求出的长，易得为等腰直角三角形，进而得到的长，线段的和差求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴当点P运动7秒时，点移动的距离为，此时点在上，且， ∴， ∴的面积为：； 故答案为：3． （2）解：当为等腰三角形时，分中情况进行讨论： ①，此时点在上，，则； ②，当点在上时，过点作， 则：，， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图： ∵， ∴， ∴； ③当时，过点作，由②知：， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 综上：t的值为：3或6或或； （3）∵沿着过点P的直线，能将折叠到上， ∴平分， 过点作，则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判断和性质，三线合一，角平分线的性质，等积法求线段的长，熟练掌握相关知识点和分类讨论的思想，是解题的关键． 题型15：几何证明综合 36．如图，在等边中，点分别在边上，，线段交于点，连接．（本大题须书写完整依据） (1)求证； (2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明得出，再由即可推出结论； （2）作交于点H，通过证明得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ， 又， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图，作交于点H， ， 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 37．在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解析】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 38．在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质易证，根据证明，进而可证； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，即可得出结论； （3）延长交于点P，连接，由题意易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一易得，，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，由，求出，由（1）知，得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据四边形的面积为，即可求解． 【解析】（1）证明：，， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：延长至，使，连接，   则， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：延长交于点P，连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积为， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$