第二章 圆锥曲线（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．抛物线的准线到焦点的距离为 2．以为圆心，且经过的圆的方程是 . 3．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 4．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 6．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为 ． 7．已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为 . 8．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 9．已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 10．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是 ． 11．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 12．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 14．在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（    ） A．圆与圆相交 B．若，直线与圆相交于A、两点，则 C．若，则直线与圆一定相交 D．若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 15．已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 18．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 20．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. (1)求当面积最大时直线的斜率； (2)若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 21．已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M． (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程； (2)若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值； (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．抛物线的准线到焦点的距离为 【答案】 【分析】根据题意，化为抛物线的标准方程，求得的值，即可得到答案. 【解析】由题意，抛物线可化为，可得， 所以抛物线的准线到焦点的距离为. 故答案为：. 2．以为圆心，且经过的圆的方程是 . 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，把代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程. 【解析】因为圆心，故可设圆的标准方程为， 因为点在圆上，所以， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 3．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线为求解即可. 【解析】双曲线的渐近线为， 又因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以. 故答案为：. 4．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答. 【解析】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距， 所以该椭圆的离心率. 故答案为： 5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程求解. 【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 即． 故答案为：. 6．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答． 【解析】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，     当直线经过点时，；当直线经过点时，； 当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或， 观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 7．已知圆，直线（、不同时为0），当、变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案. 【解析】把直线化为 ， ，恒过定点， 当圆被直线l截得的弦长的最小值时， 圆心到定点的距离为， 圆心到直线距离最大值时即为， 此时直线弦长为最小值. 故答案为：. 8．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【解析】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 9．已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】设与渐近线交于M，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得. 【解析】设与渐近线交于M， 则， 所以， 由O，M分别与的中点， 知且，即， 由得，所以． 故答案为：4 10．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】设，， 依题意， 所以， 所以，将点的坐标代入抛物线的方程得： ，整理得， 设直线的斜率为，则， 根据二次函数的性质可知，当时， 取得最大值为，所以，得到， 故答案为：. 11．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆、双曲线的定义得，结合离心率得，在中利用余弦定理得，结合椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大值，分析求解即可. 【解析】由题设，又， 直线与轴的交点的坐标为，则， 中， 综上，，整理得，可得或（舍）， 由，则， 由椭圆性质知：当为短轴顶点时取到最大，此时， 由，则，即，故.    故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于找到的两种表达方式，构造了关于的方程，从而得解. 12．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为点到直线与直线距离之和的5倍，这个距离之和与点在圆上的位置无关可得圆在两直线之间，利用直线与圆相切可得答案. 【解析】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线距离之和的5倍， 因为的取值与x、y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离， 此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为点到直线与直线距离之和的5倍. 二、单选题 13．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 14．在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（    ） A．圆与圆相交 B．若，直线与圆相交于A、两点，则 C．若，则直线与圆一定相交 D．若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 【答案】B 【分析】结合直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系、弦长公式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【解析】对于A，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距，两圆外切，故A错误； 对于B，易知直线的方程为，则圆心C到直线的距离， 所以，故B正确； 对于C，因为直线过原点，， 原点在圆C外，所以直线与圆C不一定相交，故C错误； 对于D，由题设及圆的切线性质得， ， 直线的方程为，的最小值为圆心C到直线的距离， 则的最小值为，故D错误. 故选：B 15．已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点坐标并设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答. 【解析】抛物线的焦点，显然直线l的斜率存在，设其方程为， 由消去y得：，设，则， ，当且仅当且时取等号， ，，则 ，而存在一点，使得为钝角， 即存在一点，使得，因此，则，即有， 所以t的取值范围为. 故选：A 16．已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【解析】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点，    当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 三、解答题 17．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【解析】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 18．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【解析】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 19．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【解析】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 20．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. (1)求当面积最大时直线的斜率； (2)若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）根据椭圆的性质判断面积最大时的位置，即可求直线斜率； （2）①利用垂直关系分别写出直线的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程； ②将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. 【解析】（1）由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. （2）如下图所示： ①设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 21．已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M． (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程； (2)若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值； (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据曲线和有且仅有两个公共点，可得曲线和的两公共点为左右顶点，从而可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解； （2）设，联立方程，利用韦达定理求得，从而可得点的坐标，即可得出的方程，再将代入可得的关系，再根据直线与曲线的左支相交，从而可得，结合曲线和有公共点即可得出答案； （3）由（2）可得，同理可得，再根据，即可得出结论. 【解析】（1）因为曲线和有且仅有两个公共点， 所以曲线和的两公共点为左右顶点， 则，曲线的半焦距， 所以曲线的离心率， 渐近线方程为； （2）联立，得， 设，则， 所以，， 故直线OM的方程为，依题意直线OM经过点， 代入得，则，所以， 因为直线与曲线的左支相交于两点，故， 得，则，所以， 又曲线和有公共点，所以，所以， 又为正整数，所以， 所以； （3）由（2）可得， 同理，联立直线：与曲线：， 可得， 因为，所以， 又因为， 所以， 即． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$