精品解析：吉林省通化市第一中学校2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度上学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定格式改写即可． 【详解】存在量词命题的否定格式：首先存在量词改为全称量词，然后否定命题的结论，故原命题的否定为：，. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合与集合的交集，然后根据元素与集合之间的关系和子集的定义逐项判断即可. 【详解】由题意得，则，，，. 故选：D. 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数可得，即可结合奇函数的性质代入求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数，故，得， 当时，，所以. 故选：B 4. 若，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 当且仅当时，即时，取得最小值. 故选：D. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 7. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 【答案】D 【解析】 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类为：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解. 8. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数的定义域是， 令，所以， 所以函数的定义域是. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示， 当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确， 对于选项C，“平行于且不平行于” 可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示， 当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确， 对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知，，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于，利用均值不等式求最值；对于，可转化为二次函数求最值. 【详解】因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为； 而， 当且仅当且时等号成立，故取得最小值. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，，可得，即可判断A；令，即可根据奇函数的定义判断B；由，可得，可判断的图象关于点对称，即可判断C；结合奇函数的性质，即可判断D． 【详解】令，，则，即，解得，故A正确； 令，则，得，由A可知，则，即，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得，因此的图象关于点对称，故C错误； 由于且是奇函数，得，即，因此，，，…，，所以D正确． 故选：ABD． 【点睛】一般用赋值法求抽象函数的值，利用定义法判断抽象函数的奇偶性、对称性． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，列出关于的方程求解即可，但是要注意集合中元素的互异性. 【详解】依题意可得或，且， 所以，. 故答案为：. 13. 已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求得或，然后利用单调性得，然后代入解析式，解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上单调递减，所以，所以，则. 由，解得，所以不等式的解集是. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别保证在每一段上单调递增，并且在分段处的函数值大小关系满足单调性即可构造出不等式组求得结果. 【详解】是开口方向向上的二次函数，对称轴为， 为增函数，则； 在上为增函数，，解得：或， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合，根据条件得，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据题设条件得或，即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 当时，，则或， 所以或. 【小问2详解】 由题意可知，A ⊈ B ， B ⊈ A 则或，得或， 所以实数a的取值范围为. 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明:， 当且仅当，即时取等号，所以. 【解析】 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； 【小问2详解】 略 17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】（1），；，. （2）乙购买了2斤大果榛子 【解析】 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【小问1详解】 根据题意，，， ，. 【小问2详解】 由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 18. （1）若函数满足，求在上的值域； （2）已知函数的定义域为，对任意，当时， 恒成立，若，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程组法求出函数的解析式，然后利用该函数的单调性求值域即可； （2）根据已知得，构造函数，判断并利用函数的单调性求解抽象不等式即可. 【详解】（1）将原式中的替换为 ，得， 则， 所以， 即，解得. 因为在上单调递减， 所以在上的值域为； （2）由题意得对任意，当时，恒成立. 设函数，则在上单调递减. 因为，所以， 所以等价于. 根据在上单调递减，得， 解得， 故不等式的解集为. 19. 已知函数的定义域为，的定义域为，若对任意的，存在，使得（为常数），则称与存在线性关系，其中为线性关系值.已知函数. （1）若函数，判断与是否存在线性关系，并说明理由； （2）若函数，且与存在线性关系，求的最大值； （3）若函数，且与存在线性关系，求的取值范围. 【答案】（1）不存在线性关系，理由：假设与存在线性关系， 则对任意的，存在，使得， 即， 若在上的值域为集合，在上的值域为集合，则； ， ，，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即； 不满足，假设错误，即与不存在线性关系. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为在上的值域为集合，在上的值域为集合，且，根据二次函数和一次函数单调性可求得值域，由包含关系可求得结果； （2）若在上的值域为集合，问题可转化为，根据反比例函数单调性可求得，由包含关系可求得的范围，进而得到最大值； （3）若在上的值域为，问题可转化为，令，结合对勾函数单调性可得的范围，将问题转化为含参数二次函数值域求解问题；讨论对称轴位置可得二次函数值域，根据包含关系可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 与存在线性关系， 则对任意的，存在，使得， 由（1）知：在上的值域为集合， 若在上的值域为集合，则； 在上单调递减，在上单调递增， ，即， ，，解得：，的最大值为. 【小问3详解】 与存在线性关系， 则对任意的，存在，使得， 由（1）知：在上的值域为集合， 若在上的值域为，则； ， 令，在上单调递减，在上单调递增， 又时，；时，；时，，， 令，则为开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，在上单调递减， ，，即， ，，又，解得：； ②当，即时，在上单调递增， ，， 即， ，，又，解得：； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，， 此时不成立，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 7. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 8. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 10. 已知，，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为1 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______. 13. 已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是______ 14. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 16. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 17. 辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． （1）分别求函数，的解析式； （2）已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 18. （1）若函数满足，求在上的值域； （2）已知函数的定义域为，对任意，当时， 恒成立，若，求不等式的解集. 19. 已知函数的定义域为，的定义域为，若对任意的，存在，使得（为常数），则称与存在线性关系，其中为线性关系值.已知函数. （1）若函数，判断与是否存在线性关系，并说明理由； （2）若函数，且与存在线性关系，求的最大值； （3）若函数，且与存在线性关系，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $