第12讲 二元一次方程组及其解法（4大知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第12讲 二元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 二元一次方程组的定义 二元一次方程组的解法 了解二元一次方程、二元一次方程组和它们解的含义.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 了解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”“化复杂为简单”的化归思想 知识点01 二元一次方程组的定义 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 【即学即练1】 已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数并且未知数的次数都是1的整式方程）进行解答即可．本题主要考查二元一次方程的定义，有理数的乘方，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故． 故答案为：4． 知识点02 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 【即学即练1】 是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可． 【详解】解：A、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意； C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 知识点03 二元一次方程方程组的解法——代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式代人另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法， 【即学即练1】 解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，在解二元一次方程组时，如果方程组中同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法比较简便；如果方程组中有一个未知数的系数的绝对值是1或者常数项是0时，用代入消元法比较简便．根据代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由得， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 方程组的解为：． 知识点04 二元一次方程方程组的解法——加减消元法 把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 【即学即练1】 解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】若关于x，y的方程是二元一次方程，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：如果是关于x、y的二元一次方程，则． 故选：C． 【变式1】下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【分析】本题考查二元一次方程的识别，根据二元一次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 【变式2】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 题型02 二元一次方程的解 【典例1】已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选B． 【变式1】方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵x，y都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的x值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 【变式2】在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义得到，再把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式1】如果是方程组的解，那么的值是（　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，根据二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，把代入原方程组得到，解方程组求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 解得 ∴， 故选：B． 【变式2】当 时，方程组的解为． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的定义，把把代入方程计算即可求解，理解二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， 故答案为：． 题型04 代入消元法 【典例1】解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求y的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 【变式1】已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，解题的关键熟练运用同类项的定义． 先根据同类项的定义列出方程组，求出的值，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 故选：A． 【变式2】把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，根据等式的性质方程两边都减即可． 【详解】解：， 等式两边同时减，得． 故答案为：． 【变式3】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解； （2）利用代入消元法即可解方程求解； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 题型05 加减消元法 【典例1】用加减消元法解得方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 消去，可解得的值，将x的值代入①中可得y的值，据此求解． 【详解】解：， ，得：， 将代入①中，， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式1】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 则方程组的解为； （2）解：由②，得， 整理，得，③ ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 则方程组的解为． 【变式2】已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴，即， ∴， 故选：C． 题型06 二元一次方程组的特殊解法 【典例1】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【变式1】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式2】学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 题型07 二元一次方程组的错解复原问题 【典例1】张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意． 根据题意将代入方程组，得到即可求解； 【详解】解：张亮看错了，所以是第二个方程的解，不是第一个方程的解． 因此代入方程组中，得到， 解得，A选项符合题意． 故选：A． 【变式1】小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可． 【详解】解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 则原方程为： 得， 解得：， ，代入①得，， 解得：， ∴． 【变式2】甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 题型08 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例1】若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式1】关于，的方程组的解满足，则的值为 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先联立两个已知的方程求出x和y的值，然后代入求出m的值即可． 【详解】解：解方程组得：， 把代入得， 故选C． 题型09 同解方程组 【典例1】已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 【详解】解：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 【变式1】已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴，得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 【变式2】关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查同解方程组和解二元一次方程组，根据题意可知x、y一定满足方程组，解方程组得到，，则，据此解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x， y的方程组 与 有相同的解， ∴x、y一定满足方程组， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 得：，解得， 把代入④得：，解得． 【变式3】已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组的定义是解题的关键． 二元一次方程组是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的一次整式方程组成的方程组，据此求解即可． 【详解】解：A、含未知数的项的最高次不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二元一次方程组，符合题意； D、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 2．二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，先根据题意得到，再根据x、y都是正整数，得到一定是3的倍数，据此讨论y的值，确定x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 3．二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入得，，再解方程即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得：， 故选：C． 4．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（   ） A．他身上的钱会不足，差 95 元 B．他身上的钱会剩下 95 元 C．他身上的钱会不足，差 105 元 D．他身上的钱会剩下 105元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设签字笔的单价为x 元，笔记本的单价为 y 元，根据题意，得到，进而得到，根据小江购买 17 支签字笔和9本笔记本的钱为元，进而得到剩余的费用为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：设签字笔的单价为x 元，笔记本的单价为 y 元． 根据题意，得， 整理，得． ∵ 小江购买 17 支签字笔和9本笔记本的钱为元， ∴ ． 即小江身上的钱会剩下 95元． 故选 B． 5．要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，则可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为非负整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴方程一共有6组不同的非负整数解， ∴不同的换法一共有6种， 故选：B． 6．在二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据x与y的值相等，令，解出，代入式即可解出． 【详解】解：根据题意得：， 由得，，解得：， 把代入式得：， 解得：， 故选：B． 7．有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 8．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 9．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 10．已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解与参数，加减消元法，代入消元法求解的运用，根据题意，分别代入计算验证即可求解． 【详解】解：A、当时，代入二元一次方程组得，， 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴，故原选项正确，不符合题意； B、， 得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， 若，则有， 解得，，是实数，故原选项正确，不符合题意； C、， 得，， 当时，则有， 解得，，故原选项错误，符合题意； D、由B选项可得，， ∴， ∴不论取什么实数，的值始终不变，故原选项正确，不符合题意； 故选：C ． 二、填空题 11．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 12．若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 13．二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 14．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个相同是解题的关键． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：13． 15．在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 将与的两对值代入中，得到二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可求解． 【详解】解：当时，；当时，； ， 解得：， ， 故答案为：． 16．关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，准确理解题意并能用特殊值法求解时解题关键．分别求出和时的值，再代入方程求出、的值即可． 【详解】解：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为， 故答案为：． 17．如果是方程组的解，那么 ； ． 【答案】 10 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的运用以及简单的二元一次方程组的解法． 所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入方程组，得，得到和的关系式，然后求出，的值． 【详解】解：将代入方程组，得 ， 得到，． 故答案为：，10． 18．若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 【答案】18 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用换元法变形后，即可求出解即可． 【详解】设，， 则可变形为， 两个方程相减得，即， 把代入得， 解得， ∴， 故答案为：18． 三、解答题 19．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解： 均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 20．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 【答案】， 【分析】此题考查的是二元一次方程组的解，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的写成了相反数，把他解得答案代入方程，求、的值． 【详解】解：由题意得： 把代入 得：， 解得：， 方程组为， 因为乙将一个方程中的写成了相反数， 所以把代入方程组得：， 把代入方程得：． 21．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 将代入得：， 解得， 将代入，得：， 因此该方程组的解为． （2）解： ，得：， 解得， 将代入，得， 解得， 因此该方程组的解为． 22．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 【答案】1或2或4或10 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．利用加减法求出方程组的解，利用已知条件得到关于a的关系式，利用有理数的整除的性质解答即可得出结论 【详解】解：， 由得： ， ∴当时，， ∵有正整数解 ∴，且或2或3或4或6或12 ∴， 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，， ∴整数a的值为1或2或4或10． 23．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 24．解关于x、y的方程组时，甲正确地解得方程组的解为，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为． (1)求a、b、c的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，求代数式的值；正确理解题意是解题的关键； （1）由甲正确地求得方程组的解，代入方程组，则可得关于a、b的方程，且求得c的值；把乙因为把c抄错了而得到的解代入方程组的第一个方程中，也可得关于a、b的方程；联立这两个方程，即可求得a与b的值； （2）把（1）中求得的三个值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，甲求得方程组的解满足方程组， 所以有， 解得：； 乙因抄错了c而得到的解必是的解， 即； 联立得：， 解方程组得：， 故； （2）解：当时， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二元一次方程组及其解法 课程标准 学习目标 二元一次方程组的定义 二元一次方程组的解法 了解二元一次方程、二元一次方程组和它们解的含义.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 了解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”“化复杂为简单”的化归思想 知识点01 二元一次方程组的定义 只含有两个 ，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 【即学即练1】 已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 知识点02 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个 的值，叫作二元一次方程的解. 【即学即练1】 是下面哪个二元一次方程的解（  ） A． B． C． D． 知识点03 二元一次方程方程组的解法——代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式 另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个 的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法， 【即学即练1】 解方程组 知识点04 二元一次方程方程组的解法——加减消元法 把一个方程进行适当变形后，再 另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值 原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 【即学即练1】 解方程组 (1) (2) 题型01 二元一次方程的定义 【典例1】若关于x，y的方程是二元一次方程，则（      ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【变式2】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型02 二元一次方程的解 【典例1】已知，是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【变式2】在二元一次方程中，若互为相反数，则 ， 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 【典例1】已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】如果是方程组的解，那么的值是（　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】当 时，方程组的解为． 题型04 代入消元法 【典例1】解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【变式1】已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【变式2】把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【变式3】解方程组： (1) (2) 题型05 加减消元法 【典例1】用加减消元法解得方程组的解为 ． 【变式1】解下列方程组： (1) (2) 【变式2】已知是二元一次方程组的解，则等于（   ） A．11 B．9 C．2 D． 题型06 二元一次方程组的特殊解法 【典例1】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【变式1】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【变式2】学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 题型07 二元一次方程组的错解复原问题 【典例1】张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式2】甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 题型08 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例1】若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式1】关于，的方程组的解满足，则的值为 【变式2】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型09 同解方程组 【典例1】已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【变式1】已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【变式2】关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 【变式3】已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 一、单选题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（   ） A．他身上的钱会不足，差 95 元 B．他身上的钱会剩下 95 元 C．他身上的钱会不足，差 105 元 D．他身上的钱会剩下 105元 5．要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．10种 6．在二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则k的值为（    ） A． B． C． D． 7．有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 9．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 10．已知关于的方程组下列结论错误的是（    ） A．当时，该方程组的解也是方程的解 B．存在实数，使得 C．当时， D．不论取什么实数，的值始终不变 二、填空题 11．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为 ． 12．若方程是二元一次方程，则 ， ． 13．二元一次方程共有 组正整数解． 14．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 15．在方程中，当时，；当时，．这个方程为 ． 16．关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 17．如果是方程组的解，那么 ； ． 18．若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 三、解答题 19．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 20．甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得 ，乙将一个方程中的b写成了相反数，解得求正确a ，b 值． 21．解方程组： (1) (2) 22．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 23．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 24．解关于x、y的方程组时，甲正确地解得方程组的解为，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为． (1)求a、b、c的值； (2)的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$