精品解析：江苏省泰州市泰兴市、兴化市两校2024-2025学年高一上学期期中调研测试数学试题

2024∼2025学年度第一学期期中调研测试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的运算进行求解即可. 【详解】由集合，， 则. 故选：A. 2. 设命题p：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题p：，的否定为：，. 故选：D. 3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为，的定义域为， 且，所以是同一函数，故C正确； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误. 故选：C. 4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立，分类求解即得. 【详解】当时，恒成立，即有，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 5. 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定. 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 6. （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数运算性质计算即可 【详解】由，， 则， 故选：C 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】首先由得到，再结合，利用基本不等式即可求解. 【详解】由， 则， 又， 结合，知， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 因此可得的最小值为， 故选：C. 8. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可. 【详解】由函数为上的奇函数， 则， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 则， 则，使得，，使得， 即，在有解， 则，， 令，则， 又，则，， 即，则， 故选：B. 【点睛】方法点睛： 分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下： （1）分离参数(注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等号的方向)． （2）转化：①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需； ③若，使得有解，则只需； ④若，使得有解，则只需. （3）求最值． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部地对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B，C利用不等式的性质即可判断，对于D利用反例进行判断， 【详解】对于A，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故A正确； 对于B，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故B错误； 对于C，若，则，利用不等式的可乘方性，则，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D错误； 故选：AC. 10. 已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数恰有3个零点 D. 若关于x的方程有2个解，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合偶函数的性质可判断A；结合图象可判断BCD. 【详解】因为为偶函数，且当时，， 且，画出函数的图象如图所示， 对于A，，故A正确； 对于B，如图，的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，令，即， 由函数图象可知，函数与有3个交点， 则函数恰有3个零点，故C正确； 对于D，若方程有2个解， 则函数与有2个交点， 由函数图象可知，或，故D正确. 故选：ACD. 11. 对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项. 【详解】由，得，解得， 则， 对于A，当时，，又，则，故A错误； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，由定义知，又， 则，因此可得， 则，解得，故C正确； 对于D，由，， 又，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：C. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若或，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 13. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是_________元． 【答案】297600 【解析】 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则， 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当时，等号成立， 故答案为：297600； 14. 已知函数，则的图象关于______对称；若，则______． 【答案】 ①. 轴## ②. 【解析】 【分析】首先证明为偶函数，再利用和偶函数的性质求出的值. 【详解】由的定义域为，关于对称， 又，则为偶函数， 因此关于轴对称， 又，即， 则， 又，可得，则， 又为偶函数，则，则 因此， 故答案为：轴，. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，函数的定义域为集合． （1）求； （2）求和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据偶次根式成立的条件求出的范围，即为函数的定义域； （2）首先解分式不等式求出集合，再根据交并补的运算进行求解即可. 【小问1详解】 由函数， 则， 解得，则函数的定义域为， 即. 【小问2详解】 由，解得，即， 由（1）知，则， 又，则. 16. 已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以. 17. 记函数的两个零点为，． （1）若，，求m的取值范围； （2）若，求的最值． 【答案】（1） （2）最小值为4，最大值为5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的分布可得，进而求解即可； （2）由韦达定理得，进而化简，令，，利用对勾函数的单调性求解最值即可. 【小问1详解】 由题意， 得，解得， 所以m的取值范围为. 【小问2详解】 由韦达定理得，，且，即或， 则，且恒成立， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 令，， 则，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， 则的最小值为4，最大值为5. 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）讨论单调性； （3）若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）直接解绝对值不等式即可得解； （2）分三种情况讨论即可； （3）首先得，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可得解. 【小问1详解】 当时，， 所以当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 ， 情形一：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 情形二：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，无单调递减区间； 情形三：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 若为奇函数，首先，即， 其次恒成立， 即恒成立或者恒成立， 而不可能恒成立，从而只可能恒成立， 所以， 所以，显然的定义域是全体实数，它关于原点对称，且， 所以是奇函数，且当时，单调递增， 所以在整个定义域上单调递增， 若正数a，b，c满足， 则当且仅当， 而， 同理可证，，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可顺利得解. 19. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． （1）已知，求和； （2）已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； （3）已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 【答案】（1）， （2）不正确，理由如下： 因为当，时，有，故，但. 所以“”不能推出“对任意，都有”. （3）证明：由定义知，故. 若，则，故. 此时，故，所以为奇数； 若，则，故的最大元素和最小元素同号，从而. 而，故，又因为，所以或. 而为正整数，所以，故，这就得到. 假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数. 设，则，，故. 由于，，故，即. 所以，得. 若，则，得，故为奇数，矛盾； 若，则显然为奇数，矛盾. 这表明假设不成立，所以为奇数. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义即可得到答案； （2）给出，作为充分性的反例即可； （3）将题目条件转化为，再使用反证法证明. 【小问1详解】 此时，，故，. 【小问2详解】 不正确，理由略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将题目条件适当转化为容易处理的形式，这样便于解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度第一学期期中调研测试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题p：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. （ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 9 8. 已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部地对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知为偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数恰有3个零点 D. 若关于x的方程有2个解，则或 11. 对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若或，则实数的取值范围为______． 13. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是_________元． 14. 已知函数，则的图象关于______对称；若，则______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，函数的定义域为集合． （1）求； （2）求和． 16. 已知，． （1）求的值； （2）用m，n表示． 17. 记函数的两个零点为，． （1）若，，求m的取值范围； （2）若，求的最值． 18. 已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）讨论单调性； （3）若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 19. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． （1）已知，求和； （2）已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； （3）已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $