精品解析：湖北省武汉市江岸区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024-2025年江岸区九年级期中考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 一元二次方程化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（ ） A. 2，3，1 B. 2，3， C. 2，，1 D. 2，3，0 2. 下列文物标识中，是中心对称图形的是（　　） A. 黄鹤楼 B. 太阳神鸟 C. 华表 D. 天坛 3. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 4. 判断方程的根的情况正确的是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在平面内将绕点O按顺时针方向旋转后得到，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等； ②圆中的直径是弦，弦是直径； ③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心； ④相等的圆心角所对的弧相等． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 7. 根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A. B. C. D. 8. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 对于正数x，规定，例如：，，，则的值为（　　） A. 2023 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 12. 已知 是方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 13. 某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 14. 如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则_______． 15. 已知二次函数（a为常数），下列四个结论： ①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点； ②该二次函数图象经过定点； ③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上； ④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则． 其中正确的结论序号是_______． 16. 点C在以为直径的圆上，，点E为线段的中点，点D在的延长线上，，若，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：． 18. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 19. 已知函数． （1）该函数图象的开口方向是 ； （2）抛物线与y轴的交点坐标是 ； （3）当时，则函数y的最小值是 ； （4）当时，则自变量x的取值范围是 ． 20. 如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接，于点F，． （1）求证：点D是的中点； （2）若，求的长． 21. 下图是由单位长度为小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在射线上取格点，使； （2）画的角平分线； （3）在上取点，使； （4）将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到． 22. 又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元． （1）设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ． （2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案） 23. （）[问题背景]如图，在中，，为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．求证：； （）[类比探究]如图，在中，，为外一点，当，，，时，求的长度； （）[拓展应用]如图，在中，，点分别在边上，， ，连接、，点是延长线上一点，且，连接．求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（常数，且） （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点，点为轴下方抛物线上一点，满足，试求点的横坐标； （3）如图，若直线与抛物线交于两点，点关于抛物线对称轴对称点为点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年江岸区九年级期中考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 一元二次方程化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是（ ） A. 2，3，1 B. 2，3， C. 2，，1 D. 2，3，0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．本题中先把方程化为一般式，即可确定 a，b，c． 【详解】解：，则， ∴， 故选：A． 2. 下列文物标识中，是中心对称图形的是（　　） A. 黄鹤楼 B. 太阳神鸟 C 华表 D. 天坛 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可判断求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移左加右减，上加下减是解题的关键． 根据上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为， 故选：A． 4. 判断方程的根的情况正确的是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况，算出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 5. 如图，在平面内将绕点O按顺时针方向旋转后得到，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比如考查了旋转的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．根据旋转得到，即可求解． 【详解】解：由旋转得， ∴， 故选：D． 6. 下列说法中，正确的是（　　） ①同圆中，所有的半径都相等； ②圆中的直径是弦，弦是直径； ③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心； ④相等的圆心角所对的弧相等． A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弦，垂径定理，圆心角与弧的关系等知识．熟练掌握弦，垂径定理，圆心角与弧的关系是解题的关键． 根据弦，垂径定理，圆心角与弧判断作答即可． 【详解】解：由题意知，同圆中，所有的半径都相等；①正确，故符合要求； 圆中的直径是弦，弦不一定是直径；②错误，故不符合要求； 在圆中，弦的垂直平分线经过圆心；③正确，故符合要求； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；④错误，故不符合要求； 故选：B． 7. 根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 8. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得，利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为圆的圆心，点为的中点，连接，则由垂径定理的推论可得， ∴， ∵铅球直径为， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，由解析式可得对称轴为直线，进而由点的坐标可得，，即得，再由即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵点和在二次函数图象上， ∴点关系对称轴对称，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10. 对于正数x，规定，例如：，，，则的值为（　　） A. 2023 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，有理数的混合运算和代数式的求值，掌握分式的加减运算法则，有理数的混合运算法则和代数式的求值方法是关键．根据分式的加减运算法则，有理数的混合运算法则和代数式的求值方法利用裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列式求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 12. 已知 是方程的两个不相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程________．（不必解方程） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由每个支干长出个小分支，可得出该种植物共有个支干，个小分支，结合主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支， 该种植物共有个支干，个小分支， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，点A，B，C在圆O上，与的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，由，可求，则，由题意知，分当在上方时，当在下方时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵与的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当在上方时，如图， ∴， 当在下方时，如图， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 已知二次函数（a为常数），下列四个结论： ①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点； ②该二次函数图象经过定点； ③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上； ④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则． 其中正确的结论序号是_______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 对于①，由得到，即可判断；对于②，化简得，可求定点；对于③，顶点为，若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解；对于④，得到，此时为该一元二次方程的两根，则，则，即可判断． 【详解】解：对于①，， 若，则， ∴ ∴该二次函数图象与x轴有两个交点， 故①正确； 对于②，， 即， 使得过定点，则与无关， 故， ∴， ∴过定点， 故②错误； 对于③，， ∴顶点为， 若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解， 故顶点始终不在y轴的正半轴上， 故③正确； 对于④，，该二次函数图象与直线交于点， 则得到， 此时为该一元二次方程的两根， 则， ∵， ∴， 故④错误， 故答案为：①③． 16. 点C在以为直径的圆上，，点E为线段的中点，点D在的延长线上，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，证明得到，是正确解决本题的关键． 设圆的圆心为，与相交于点，连接，，过点作于点，先用含的直角三角形的性质得到，进而求出的长度，易得得到，，设，表示、的长度，进而得到、，即可求得，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出，进而求出，再利用求解． 【详解】解法一：设圆的圆心为，与相交于点，连接，，过点作于点，如下图， 是的直径， ． ，， ， ． 点E为线段的中点，， 是的中位线， ． 在和中， ， ， ，． 设， ． ， ，， ，， ， ． 在中，， ， 整理得， 解得（舍去），（舍去），， ， ． 故答案为：． 解法二： 解∶为直径， ， ， ， 点E为线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，． 18. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有 人参加聚会． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可． 【详解】解：设有 人参加聚会，根据题意列方程得，， 解得 (不合题意，舍去)； 答：有 人参加聚会． 19. 已知函数． （1）该函数图象的开口方向是 ； （2）抛物线与y轴的交点坐标是 ； （3）当时，则函数y的最小值是 ； （4）当时，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】（1）向上 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，与坐标轴交点，二次函数与不等式的关系，，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想． （1）由即可确定开口向上； （2）当，即可求解； （3）可得对称轴为直线：，而，开口向上，故当时，； （4）当时，则，解得：，故与抛物线的两个交点的横坐标分别为，那么转化为在直线上方的抛物线所对应横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上； 【小问2详解】 解：当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：对于， 可得对称轴为直线：， ∵，开口向上 ∴当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，则， 解得：， ∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为 如图： ∴当，自变量x的取值范围为或． 20. 如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接，于点F，． （1）求证：点D是中点； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，那么，结合得到，继而可求证； （2）设半径为，则，则在中，由勾股定理得：，解得：，可得，则，那么，而，则，可证明，则，继而可求解． 【小问1详解】 证明：如图，记与交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点； 【小问2详解】 解：如图， 设半径为，则， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 21. 下图是由单位长度为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在射线上取格点，使； （2）画的角平分线； （3）在上取点，使； （4）将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 （4）作图见解析 【解析】 【分析】（）由勾股定理可得，据此即可找到点的位置； （）取格点，可知点为的中点，由等腰三角形三线合一可知平分，即射线即为所求； （）取格点，连接，与相交于点，可知，由平行线等分线段定理可得，即可得，故点即为所求； （）根据平行线等分线段定理取的中点，再利用矩形的性质作于，与相交于点，可知点为的中点，连接与格线相交于点，易证明，即得，可得为线段的垂直平分线，即可得，得到，又，所以，取点，因为，可知点为三条高的交点，连接并延长交于点，交射线于点，可得，可证，得到，连接，可得，由，，可知即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，射线即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求； 小问4详解】 解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，平行线等分线段定义，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三条高的交点，灵活运用以上知识点是解题的关键． 22. 又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元． （1）设花卉B区的边长为，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 ． （2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为 ．（直接填写答案） 【答案】（1），， （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用．熟练掌握正方形和长方形的面积公式，总价与单价和数量的关系，建立方程和函数表达式，是解题的关键． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）设，，三种花卉的总产值之和为百元，求出，根据在对称轴的左侧，随的增大而小，由，得，根据花卉区是正方形（边长不超过）即及，，三种花卉的总产值之和最小值为元得．解得． 【小问1详解】 解：∵花卉B区的边长为x， ∴面积是． ∵育苗区另一边长是10， ∴花卉A区的一边长为：，另一边长为：． ∴面积为：． ∵花卉C区的一边长为：，另一边长为：， ∴面积为：． 故答案为：，，． 【小问2详解】 ∵A，B两种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，A，B两种花卉的总产值相等， ∴． 化简得． 解得或（舍去）． 故花卉B区的边长为时，A，B两种花卉的总产值相等． 【小问3详解】 设，，三种花卉的总产值之和为百元． ∵花卉、区铺设一条宽为米（）且与大矩形边平行的小路， ∴花卉区种植面积：． 花卉区种植面积：．则 ． ∴的对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而小， ∵， ∴， ∵花卉区是正方形（边长不超过）即 ∴当时，有最小值． ∴． 解得． 故答案为：． 23. （）[问题背景]如图，在中，，为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．求证：； （）[类比探究]如图，在中，，为外一点，当，，，时，求的长度； （）[拓展应用]如图，在中，，点分别在边上，， ，连接、，点是延长线上一点，且，连接．求证：． 【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）如图，过点作交的延长线于点，由可得，即得，利用勾股定理可得，即得，得到，作于点，证明得到，进而可得，得到∴垂直平分，即可得； （）如图，作的外接圆交于点，连接，证明点在的外接圆上，根据圆周角定理即可求证． 【详解】（）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 即的长度为； （）证明：如图，作的外接圆交于点，连接， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点重合， ∴点在的外接圆上， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的盘和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（为常数，且） （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点，点为轴下方的抛物线上一点，满足，试求点的横坐标； （3）如图，若直线与抛物线交于两点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定点坐标为 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而可得点在对称轴上，且在顶点下方，设直线与对称轴相交于点，点，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，即得，得到，再根据列出方程求出的值即可求解； （）由一次函数解析式可得直线恒过点，联立函数式可得，设，，则，，设直线与对称轴相交于点，与对称轴相交于点，过点作于点，则，可得，，即得∴，，进而由得到，根据点的坐标可得，得到，再由，得到，，即可得，得到，即得到，得到，据此即可求证． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点， ∴点在对称轴上，且在顶点下方，设直线与对称轴相交于点，如图， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，； 当时，； ∵点为轴下方的抛物线上一点， ∴点的纵坐标为负数， ∴不合题意，舍去， ∴点的横坐标为； 【小问3详解】 证明：∵直线， ∴直线恒过点， 由，得， 设，，则，， 设直线与对称轴相交于点，与对称轴相交于点，过点作于点，则， ∴，， ∴，， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线过定点，定点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，一元二次方程根和系数的关系，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质并正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $