精品解析：湖北省黄石市黄石港区黄石八中教联体2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

黄石八中教联体2024-2025学年度上学期期中质量检测 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 2. 点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 3. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 5. 如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 10. 如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 95° D. 105° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 12. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 13. 如图，中，平分，，，若的面积等于3，则的面积为_________． 14. 如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是_____． 15. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：． 17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，求的面积． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． （1）在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； （2）的面积= ； （3）在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． 19. 已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． （1）求这个多边形的边数及对角线的条数． （2）这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 20. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 21. 如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）若是上的一点，且，求证：． 22. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则_____°； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 23. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 24. 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，，为等边三角形，点的横坐标为4. （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，，设的长为，的长为，求与的关系式（不要求写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，，，为等边三角形，线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，若，求点的横坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石八中教联体2024-2025学年度上学期期中质量检测 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各线段能构成三角形的是（ ） A. 7cm、5cm、12cm B. 6cm、7cm、14cm C. 9cm、5cm、11cm D. 4cm、10cm、6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐一判断即可 【详解】A、7+5=12，不能组成三角形，故本选项不符题意； B、6+7＜14，不能组成三角形，故本选项不符题意； C、9+5＞11，能组成三角形，故本选项符合题意； D、4+6=10，不能组成三角形，故本选项不符题意 故选：C 【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成三角形． 2. 点P(m，3)和点Q(2，n)关于轴对称，则的值为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点P（m，3）与点Q（2，n）关于x轴对称， ∴m=2，n=-3， ∴m+n=2-3=-1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 3. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由三角形内角和为， 可求边长为的边所对的角为， 由全等三角形对应角相等可知， 故选C. 4. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 5. 如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 又， ∴， 故选：C． 6. 如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键．根据，，可求得和的度数，根据图形折叠的性质，可求得和的度数，根据即可求得答案． 【详解】∵，， ∴，，． ∵和是分别沿着边翻折180°形成的， ∴，． ∴，． ∴． 故选：D． 8. 一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质及多边形内角和求解即可，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， 即， 同理，，， ， ， ，， ， 故选：A． 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 10. 如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ） A. 75° B. 90° C. 95° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____________． 【答案】ASA 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题． 【详解】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边． 则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA． 故答案为：ASA． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． 12. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由中线可得，则周长为；的周长为；由题意知，分①；②；两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 周长与的周长相差，分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 13. 如图，中，平分，，，若的面积等于3，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得DE=DF，再根据三角形面积公式，利用S△ACD=•DF•AC=3得到DF=DE=3，然后利用三角形面积公式计算S△ABD． 【详解】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图， ∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF， ∵S△ACD=•DF•AC=3， ∴， ∴DE=3． ∴S△ABD=•DE•AB=×3×4=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 14. 如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 15. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；过作交于，连接，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，， ， ， 故答案为： 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 已知：如图，在和中，，相交于点，，，且，求证：． 【答案】 解：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到． 根据，即可证明，即可得出结论． 【详解】略 17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可知平分，则由角平分线的性质得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∴， 答：的面积是． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． （1）在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； （2）的面积= ； （3）在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2）18 （3） 如图，点O即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的作图、网格中求面积等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接即可； （2）利用网格特点画出的垂直平分线，交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积 故答案为：18 【小问3详解】 略 19. 已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． （1）求这个多边形的边数及对角线的条数． （2）这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】（1），； （2）或或 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． 【小问2详解】 解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 20. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值；②判断的形状． 【答案】（1） （2）；等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）先根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项化简； （2）①根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数求出c的值；②通过比较三边长度判断三角形形状． 【小问1详解】 解：根据三角形的三边关系可知， 原式 ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， 故， 又∵，且三角形的周长为偶数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 21. 如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）若，求的度数． （2）若是上的一点，且，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向． （1）由可求的大小，因是其角平分线，即，由，可得 （2）可得，进而得出，又有可推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 22. 定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则_____°； （2）若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”， 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或． 【解析】 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， ∴， 故答案为：17； 【小问2详解】 解：① 略 ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 23. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 【答案】（1）４； （2）， 理由：如图，若是等边三角形，此时点在上， 点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【小问1详解】 解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 24. 在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，，为等边三角形，点的横坐标为4. （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，，设的长为，的长为，求与的关系式（不要求写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，，，为等边三角形，线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，若，求点的横坐标. 【答案】(1)8;（2）d=t+8;(3)6 【解析】 【分析】（1）过点B作BH⊥OA于点H，根据等边三角形的性质解答即可； （2）过点M作MP⊥AB于点P，根据等边三角形的性质解答即可； （3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，通过等边三角形的性质和全等三角形的性质得到AN=8+t-8=t，OM=t，AH=MH=AM=（8-t）=4-t， OH=OM+MH=t+4-t=4+t，通过证明AM=AN，可得关于t的方程，求出t，即可得点E的横坐标． 【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥OA于点H， ∵△AOB为等边三角形， ∴BO=BA， ∵BH⊥OA， ∴OH=AH， ∵点B横坐标为4， ∴OH=4， ∴OA=2HO=8； （2）如图，过点M作MP⊥AB于点P， ∴∠MPA=90°， ∵BM=MN， ∴BP=PN， ∵△AOB为等边三角形， ∴BA=AO=8，∠BAO=60°， ∴∠AMP=30°， ∴AP=AM， ∵AM=8-t， ∴AP=（8-t）=4-t， ∴BP=AB-AP=4+t， ∴BN=2BP=8+t， ∴d=8+t （3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R， ∵△AOB为等边三角形， ∴∠BOA=60°=∠OAB， ∵NK∥OB， ∴∠NKA=∠BOA=60°，且∠OAB=∠NAK=60°， ∴∠NAK=∠NKA=60°， ∴△AKN是等边三角形 ∴AN=NK=AK， ∵△MND为等边三角形， ∴∠NMD=∠MND=60°，MN=MD， ∴∠OMD+∠NMK=∠NMK+∠MNK=180°-60°=120°， ∴∠OMD=∠MNK， ∵AN=8+t-8=t，OM=t， ∴OM=AN=NK=AK=t，且∠OMD=∠MNK，MD=MN， ∴△OMD≌△KNM（SAS）， ∴OD=MK，∠MOD=∠MKN=60°， ∵MK=8-t+t=8， ∴OD=8， ∵EH垂直平分MA， ∴AH=MH=AM=（8-t）=4-t， ∴OH=OM+MH=t+4-t=4+t， ∵∠OEH=90°-60°=30°， ∴OE=2HO=8+t， ∴DE=8+t-8=t， ∴DE=AN， ∵∠DOA=∠BAO， ∴BN∥OE， ∴∠NAF=∠DEF， 又∵∠AFN=∠EFD，AN=DE， ∴△AFN≌△EFD（AAS）， ∴FN=FD， 又∵MN=MD， ∴MF⊥DN， ∵NR⊥AK， ∴∠ARN=90°，且∠NAK=60°， ∴∠ANR=30°， ∴AR=AN， ∵MR=AM+AR=AM+AN，MF=AM+AN， ∴MR=MF，且 MF⊥DN，NR⊥AK， ∴∠MNR=∠MND=60°， ∴∠NMA=90°-60°=30°， ∵∠BAO=∠AMN+∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM=30°， ∴AM=AN， ∴8-t=t， ∴t=4， ∴OH=4+×4=6， ∴点E的横坐标为6． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $