精品解析：福建省莆田市涵江区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年上学期第二片区联九年级期中试卷 数学 学科 （满分：150分；考试时间：120分钟；考试形式：闭卷） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 2. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 解得：． 故选：． 3. 如所示图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”依次进行判断即可得． 【详解】解：A、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确根据题意画出旋转后对应点的位置是解题的关键． 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 7. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米， 根据题意：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关系，列出一元二次方程． 8. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 9. 将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象翻折的规律求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为 又点关于轴对称点坐标为， 所以，二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的翻折规律，熟练掌握二次函数图象的翻折规律是解题的关键． 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴x=， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ∴0；故①正确； ∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∵b=-2a ∴c=， ∴-3＜＜-2， ∴﹣2＜b，故②错误； ∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确； ∵a＞0，∴-a＜0 ∵b=-2a ∴3a+2b=-a＜0 ∴2c﹣a＞2（a+b+c）， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）， ∴a+b+c=n， ∴2c﹣a＞2n；故④错误； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．                             11. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 12. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称， ∴b=-3，a-2=-a， ∴a=1， ∴a+b=-2． 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 13. 抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的公共点的坐标是 ∴这条抛物线的对称轴是直线， 故答案为：2. 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 14. 抛物线，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键．根据矩形的性质及图形旋转的性质可求得，，再根据勾股定理求得，即得答案． 【详解】四边形是矩形， ，， 矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在ABC中，，，点P是ABC内一点，，且，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ，可以证明PQC、APQ为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把BCP绕C逆时针旋转90°得到ACQ，连接PQ， ∴PQC为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴∠AQP=∠CQP=∠CPQ=45°， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，同时也利用了旋转的性质，有一定的综合性． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， 解得，． 18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 19. 如图，在直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，2）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1． （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】 （1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1位置如图： （2）5 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，依次求出的坐标即可； （2）利用割补法求△A1B1C1面积． 【详解】（1）∵ （2） 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解答本题的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征得到各点的对应点． 20. 如图，在中，，，点在上． （1）尺规作图：把绕点逆时针旋转得到，求作点的对应点；（不写过程，保留作图痕迹） （2）若，求点到直线的距离． 【答案】（1） 如图，点为所作； ； （2）点到直线的距离为1． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）先作，再截取，从而得到点的对应点； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再根据旋转的性质得到，，所以，从而得到的长为点到直线的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 点到直线的距离为1． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为，且，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）由得，再代入即可解答； 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴，解得：， 将值代入得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22. 同安桂圆干是同安区名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批桂圆干，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，在确保不亏损的情况下，当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元，销售数量为y千克． （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若超市要使销售这种桂圆干所获得的利润最大，每千克应降价多少元？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）超市要使销售这种桂圆干所获得的利润最大，每千克应降价3元，最大利润是338元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可求解； （2）设这种桂圆干所获得的利润为w元，根据总利润=每千克利润×总销售量列函数表达式，，变形即可求解． 【小问1详解】 根据题意得，； ∵要确保不亏损， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设这种桂圆干所获得的利润为w元， 根据题意得，， 即， ∴当时，． 答：超市要使销售这种桂圆干所获得的利润最大，每千克应降价3元，最大利润是338元． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解题的关键． 23. 如图，将绕点B逆时针旋转α得到，的延长线与相交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）猜想线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴； （2） ． 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质得出，进而得出答案； （2）首先根据是等边三角形，得到，然后证明出，利用全等三角形的性质得到，最后利用角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是证明出是等边三角形． 24. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】 （1）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， ∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴CE=BD； （2）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB=90， ∴∠EFB=90， ∴CF⊥BD， ∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90， ∴BC=AB =，CD= AC+ AD=， ∴BC= CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）的面积的最大值为，旋转角的度数为 【解析】 【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论； （2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图： ∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G， ∴AG=BC=，∠GAB=45， ∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135， ∴的面积的最大值为：， 旋转角． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D是直线下方抛物线上的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； （3）如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，若点F在直线上，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为8 （3）点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）连接OD，由，即可求解； （3）过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，证明，求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将，，代入， 得， 解得 ， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接OD， 设点， ∴， ∵ ∴当时，面积最大，最大值为8； 【小问3详解】 解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G， 由旋转得，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，， 设点D的坐标为， 则，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点F在直线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合运用，考查了待定系数法求解析式，函数的思想求最大值，三角形全等的判定与性质，解题关键是善于用函数的思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期第二片区联九年级期中试卷 数学 学科 （满分：150分；考试时间：120分钟；考试形式：闭卷） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 2. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如所示图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 5. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数的图象沿轴翻折得新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．                             11. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________． 12. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____． 13. 抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线＝_____． 14. 抛物线，当时，y的取值范围是_________． 15. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则的长为_______． 16. 如图，在ABC中，，，点P是ABC内一点，，且，那么_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 19. 如图，在直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，2）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1． （2）求△A1B1C1的面积． 20. 如图，在中，，，点在上． （1）尺规作图：把绕点逆时针旋转得到，求作点的对应点；（不写过程，保留作图痕迹） （2）若，求点到直线的距离． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为，且，求实数m的值． 22. 同安桂圆干是同安区名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批桂圆干，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，在确保不亏损的情况下，当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元，销售数量为y千克． （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若超市要使销售这种桂圆干所获得的利润最大，每千克应降价多少元？最大利润是多少元？ 23. 如图，将绕点B逆时针旋转α得到，的延长线与相交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）猜想线段的数量关系，并证明你的猜想． 24. 如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 25. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D是直线下方抛物线上的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； （3）如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，若点F在直线上，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $