精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 若，，是空间中三个不同的平面，，，，则是的（ ）． A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，点为双曲线的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足，则该双曲线的离心率为　　 A. B. C. D. 6. 若，满足约束条件，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆：与圆：内切，则（ ） A. 29 B. 9 C. D. 19 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 10. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为4a B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则 C. 若，则e的最小值为 D. 若，则e的最大值为 11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形 D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P的平面截该正方体所得截面为六边形 12. 已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共20分） 13. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________． 14. 若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是________，焦距为________． 15. 已知正四棱锥底面边长为8，侧棱长为，则表面积为______. 16. 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________． 四、解答题（共70分） 17 已知直线，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 参考公式：， （1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. 19. 已知圆C圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为，． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M，N，求的面积． 20. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程． 21. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心. （1）求证：平面平面PAC； （2）若，求二面角A-OP-G的余弦值. 22. 已知椭圆的短轴长为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程; （Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线，的斜率分别为，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期半期考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率即可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为0，故其倾斜角为. 故选：B 2. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案. 【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确； 对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误； 对于B选项，由于，但，故B选项错误； 对于D选项，由于，但，故D选项错误. 故选：C. 3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于直线与直线垂直， 所以. 故选：A 4. 若，，是空间中三个不同的平面，，，，则是的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 构造棱柱，然后根据线面平行的判定定理及性质定理判断. 【详解】如图所示，设平面为，平面为，为，直线为，直线为，为. 若，平面，， 所以，又，，所以，所以， 即充分性成立； 反之，若，平面，， 所以，又，，所以，所以，即必要性成立. 故是的充要条件. 故选：C. 【点睛】解决与线面关系有关的命题真假判断及充分条件、必要条件判断问题时，可采用构造法，即构造特殊几何体，使几何体中的棱、面符合题目条件，然后通过空间平行、垂直的判定定理及性质定理判断即可. 5. 设，点为双曲线的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足，则该双曲线的离心率为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据余弦定理即可求出． 【详解】解：，， 直线的方程为， 抛物线的一条渐近线方程为， 由，解得，， ， ，， 由余弦定理可得， 整理可得， 即， 故选：． 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题． 6. 若，满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出线性约束条件的可行域，再利用截距的几何意义求最小值. 【详解】约束条件的可行域，如图所示： 目标函数在点取得最小值， 即. 故选：A. 7. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，然后当时，原点O到l的距离最大，即可求出答案. 【详解】由可得， 由可得，所以直线过定点， 当时，原点O到l的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A 8. 若圆：与圆：内切，则（ ） A. 29 B. 9 C. D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得： 故选：C. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断出，，，再对四个选项一一判断： 对于A、B选项，由，即可判断；对于C，利用，即可判断；对于D，先判断出数列{an}为递增数列，再由当时，，当时，，即可判断. 【详解】因为，所以，，． 对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，可知，，所以等差数列{an}为递增数列， 当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确． 故选：ACD． 10. 已知左、右焦点分别是，的椭圆C：的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为4a B. 若直线OP的斜率为，AB的斜率为，则 C. 若，则e的最小值为 D. 若，则e的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可判断A；设，，利用点差法和中点坐标公式可得，进而判断B；根据平面向量的坐标表示可得，结合选项计算即可判断CD. 【详解】A:根据椭圆的定义，的周长为，故A正确； B:设，，则， 所以，，由得， 所以，即，故B不正确； C:， 因为， 所以， 由，得，故C正确； D:由，得，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形 D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P的平面截该正方体所得截面为六边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间垂直和平行找到P点的轨迹，可得选项AB的正误；作出符合条件的截面图可得选项CD的正误. 【详解】对于A：连接，如图所示， 在正方体中，，可得四边形为平行四边形，所以， 由平面，平面，所以平面， 同理可得平面， ，平面， 平面平面， 若直线平面，则点P的轨迹线段，长度为，故A正确； 对于B：取的中点，连接， 设交于点O，如图所示， 在正方形中，，， 所以，所以，即； 又分别中点，所以平面， 又平面，所以； 因为，平面，所以平面， 因为，所以点P的轨迹线段，其长度为2，故B不正确； 对于C：延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图所示， 直线与直线分别交于点，连接与交于点， 连接与交于点，连接， 五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，故C正确. 对于D：点P在棱BC上，过点作的平行线，与相交于点， 连接与相交于点，连接与相交于点，连接，如图所示， 六边形即为过E，F，P的平面截该正方体所得截面，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解. 作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面. 找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线. 12. 已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率. 【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可； 首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意； 若为等边三角形，则，所以选项B有可能; 若为等边三角形，则,所以选项A有可能; 若为等边三角形，则； 综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B. 故选：AB. 三、填空题（共20分） 13. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点关于平面对称点的特点即可得到答案. 【详解】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以. 故答案为：. 14. 若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是________，焦距为________． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】根据已知求出，即得焦点到渐近线的距离和焦距. 【详解】由题得，所以. 所以焦点为，焦距为4，渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为. 故答案为：；4. 15. 已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为______. 【答案】144 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果. 【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，所以，高， 过作交于，连接， 因为是正四棱锥，易知，且， 所以正四棱锥的侧面积为，又底面积为， 故正四棱锥的表面积为144. 故答案为：144. 16. 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点为直线与直线的交点时，取得最小值为 【详解】如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点， 则， 所以的最小值为， 因为，直线为，所以， 所以， 所以的最小值是3 故答案为：3 四、解答题（共70分） 17. 已知直线，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值． （2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值． 【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0， 由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得． （2）由题意可知m不等于0, 由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1． 【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题． 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 违章驾驶员人数 参考公式：， （1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程； （2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程，即可得解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得， ， 所以，， ， 所以，，， 所以，违章人数与月份之间的回归直线方程为. 【小问2详解】 解：当时，， 因此，预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人. 19. 已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为，． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过原点且垂直直线，直线l交圆C于M，N，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，两方程联立可求出圆心坐标，进而得出半径，从而求出圆的方程； （2）根据条件得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出，则三角形面积可求. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为， ∵线段的中垂线方程：，又圆心在直线上， 则，∴，即, ∴， ∴圆C的方程为； 【小问2详解】 由条件得直线l：， 圆心C到直线l的距离， ， ∴． 20. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点、，动点满足：． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点P的轨迹与双曲线C：交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，求双曲线C的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答. （2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答. 【小问1详解】 依题意，，而，则，消去m得：， 所以点P的轨迹方程是. 【小问2详解】 因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为， 由消去y并整理得：，设，， 则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有， 而， 因此，，，解得，， 所以双曲线方程为. 21. 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心. （1）求证：平面平面PAC； （2）若，求二面角A-OP-G的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解. 【小问1详解】 证明： 如图，延长OG交AC于点M. 因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点. 因为O为AB的中点，所以. 因为AB是圆的直径，所以，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以. 又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC. 即平面PAC. 又平面OPG，所以平面平面PAC. 【小问2详解】 以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz， 则，，，，，， 则，，， 平面OPG即为平面OPM， 设平面OPM的一个法向量为， 则 令，得.且 设平面AOP的一个法向量为， 则 令，得.且 设所求二面角的平面角为， 因为， 因为所求二面角为锐角， 所以二面角A-OP-G的余弦值为 22. 已知椭圆的短轴长为，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程; （Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）0. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，得2b，，结合隐含条件即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程为，记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），联立直线方程与椭圆方程，求得M，N的坐标，代入斜率公式求解． 【详解】（Ⅰ）由题意，得，. 又，∴，， ∴椭圆C的标准方程为. （Ⅱ） 由（Ⅰ），可知，，. 据题意，直线的方程为. 记直线与椭圆另一交点为，设，. ∵，根据对称性，得. 联立，消去，得. ∵，∴，. ∵，， ∴，即的值为0. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $