精品解析：陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷

陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得集合和，根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：A． 2. 若复数，且，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，故选A. 3. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得. 【详解】由，得. 故选：B 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 又点到直线的距离， 所以弦长为. 故选：C 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 7. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 的面积 D. 三棱锥的体积 【答案】B 【解析】 【分析】对ACD，根据面积表达式确定其面积，结合平面为确定的面判断即可；对B，根据为确定面，进而分析直线与平面所成的角是否变化即可； 【详解】对A，因为平面即平面为确定的面，且点为确定的点，故点到平面的距离为定值； 对B，易得平面为平面，且，平面，平面，故平面.因为，故到平面的距离为定值，又长度不为定值，故与平面所成的角的正弦不为定值，即与平面所成的角不确定； 对CD，因为到的距离为定值，故为定值，由A可得点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故的面积与三棱锥的体积均为定值； 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a、b，进而应用点线距离公式求到直线的距离即可. 【详解】由题意，得：，解得，，故A、B正确， ∴到直线的距离，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】BC 【解析】 【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案. 【详解】解：曲线表示圆在轴的上半部分， 当直线与圆相切时，，解得， 当点在直线上时，， 所以由图可知实数m的取值范围为， 故选：BC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 若正实数a，b满足，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式得到，将代入，求出最小值. 【详解】因为，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 14. 已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令从点出发的光线射到轴上的入射点为，反射光线的反向延长线必过点，设直线的方程为，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，再由求出的范围. 【详解】令从点出发的光线射到轴上的入射点为，反射光线的反向延长线必过点， 设直线的方程为， 当直线与圆相交时，反射光线被圆挡住不能到达点， 则不被挡住时，，解得或（舍去）， 直线与直线的交点，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1） 圆C过点，，且圆心C在直线上,可用待定系数法求圆的标准方程; （2）求圆的切线,分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论. 【详解】解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为 直线AB的垂直平分线的方程为，整理为 联立方程，解得 由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为 故圆C的标准方程为 （2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切， 故此时直线l的方程为 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 整理为 由直线l与圆C相切，有，解得 可得直线l的方程为， 整理为 故直线l的方程为或． 【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 17. 如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值． 【答案】（1） ∵是直三棱柱，∴， 又点E，F分别为棱的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证为平行四边形，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，直三棱柱中， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 于是， 设直线与直线的夹角为， 则， 则直线与直线的夹角的余弦值为． 18. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 【答案】（1）21 （2） （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【小问1详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； 【小问2详解】 设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； 【小问3详解】 的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数先证，记，连接，再证平面，得，由线线垂直即可推得线面垂直； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得；② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章，第二章. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，且，则 A. B. C. D. 3. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 的面积 D. 三棱锥的体积 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与交于点，则（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 点到直线的距离为 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ） A. B. C. 4 D. 5 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 若正实数a，b满足，则的最小值是________. 14. 已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数的取值范围为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值． 18. 已知，是实数，且． （1）求的最值； （2）求的取值范围； （3）求的最值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $