精品解析：广东省清远市英德市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024学年第一学期初中期中学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，本选项符合题意； C、，当时，是一元二次方程，本选项不符合题意； D、，有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法一般步骤：（1）把常数项移到等号右边，（2）二次项系化为1，（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先进行移项，变形为，两边同时加上4，则左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解：移项得， 配方得， ∴， 故选：B． 3. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：A． 4. 在和中，已知，且的周长为6，的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：∵， ， 的周长与的相似比为， 的周长等于6， 的周长为， 故选：D． 5. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.91 C. 0.903 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率．根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为； 故选：A． 6. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可． 【详解】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为， 依题意得， 故选：D． 7. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：如图，过点作于,过点作于 四边形是平行四边形 两张等宽的纸条交叉叠放在一起 四边形是菱形． 故选：A． 8. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意； C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标．先作轴，作轴，于点F，点B作，根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∴． ∵点A的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程，一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．对于一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做一次项，为常数项，进而直接得出答案． 【详解】解：方程的一次项是， ∴一次项系数是：， 故答案是：． 12. 一元二次方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据因式分解法直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 14. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法可得，进而直接开平方即可求解； （2）先计算判别式；然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴即 ∴ ∴ 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 解得： 16. 如图，已知，，，，求． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例的性质．设，则，利用平行线分线段成比例的性质，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴，即， 解得，即． 17. 如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明∶，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）36 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，根据菱形的性质，易得，即可判定四边形是矩形； （2）在矩形中，，，结合菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 则在矩形中，，， 又∵边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在50元/个的基础上涨价元． （1）月销售量用含有的代数式表示为______； （2）为使月销售利润达到12000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）利用月销售量售价在50元个的基础上涨的钱数，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形 【答案】（1） 如图： （2） 证明：如图：连接，， 垂直平分， ，，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ， ， 四边形为菱形； 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于E，交于F即可； （2）如图：连接，，证，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．证是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 【答案】（1），； （2），，，不能，理由： ∵收纳盒的高为厘米， ∴纳盒底面的长为厘米，宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为． ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ∵， ∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒； （3）不可以 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意即可． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由题意得：收纳盒底面的长为厘米，宽为厘米，根据解得：，即可判断； （3）分类讨论若收纳盒的高为厘米，厘米，厘米，即可求解； 【详解】解：（1）可列出方程：， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：，； （2）略 （3）若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 若收纳盒的高为厘米，则宽为厘米，； 综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入， 故答案为：不可以 22. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），，； （2），理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边 三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解：，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，与线段交于点F时，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； 当点P靠近点B，与延长线交于点F时， 同理：； ②当点P靠近点D时，与线段交于点F时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴； 当点P靠近点D，与延长线交于点F时， 同理：； 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初中期中学业质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 5 4. 在和中，已知，且的周长为6，的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.91 C. 0.903 D. 0.9 6. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定 8. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程，一次项系数为______． 12. 一元二次方程的解为______． 13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______． 14. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，已知，，，，求． 17. 如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在50元/个的基础上涨价元． （1）月销售量用含有的代数式表示为______； （2）为使月销售利润达到12000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，连接，证明：四边形为菱形 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 综合与实践 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做个收纳盒． 善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列出方程：______，求得剪去的小正方形的边长为______． 博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）． 问题解决：（2）若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．设收纳盒的高为厘米，则收纳盒底面的长为______，宽为______（用的代数式表示），则可列方程为：______，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 问题解决：（3）按照博学组的剪法，______（填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）。 22. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明____________，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系_____________； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $