精品解析：河南省周口市西华县三校2025届高三上学期联考一模数学试题

2025届河南省周口市西华县三校高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 2. 设函数，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知，复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知圆柱底面半径为4，高为3，是上底面的直径，点在下底面的圆周上，则面积的最大值为（ ） A 12 B. 16 C. 18 D. 20 7. 已知圆锥顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是（ ） A B. C. D. 2 10. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C D. 11. 已知F是双曲线的左焦点，P是E右支上一点，PF与E的渐近线分别交于A，B两点，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为_____________．  14. 已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是______． 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率取值范围为______. 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________. 三、解答题 17. 设全集，求，， . 18. 已知函数. （1）求f（x）的最小正周期和在的单调递增区间； （2）已知，先化简后计算求值： 19. 已知向量.令. （1）化简； （2）当时，求方程的解集； （3）已知集合，D是函数和定义域的交集且，判断元素与集合P的关系，并说明理由. 20. 计算求值： （1）； （2）已知，均为锐角，，，求的值． 21. 如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为． （1）找出与的函数关系； （2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届河南省周口市西华县三校高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图： 易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外）， 因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 2. 设函数，则（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出函数值即可得解. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于M，N两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到渐近线的距离为，再解方程即得解. 【详解】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为 ,圆的半径为，圆心到渐近线的距离为， 即 双曲线的离心率为. 故选：D 4. 已知，复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得选项. 【详解】， 复数的共轭复数在复平面内对应的点是，在第一象限. 故选：A. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线，直线的方程，即可求出交点的坐标，从而得到点坐标，依题意可得点在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程，即可得解. 【详解】设椭圆的焦距为， 则直线，直线， 联立，解得，即， 因为，故． 因，所以点在椭圆上， 将代入椭圆的方程得，即， 即，解得或（舍去）. 故选：A 6. 如图，已知圆柱的底面半径为4，高为3，是上底面的直径，点在下底面的圆周上，则面积的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】求解本题的关键是根据圆柱的结构特征，将的面积用CD表示，将问题转化为求线段的最值问题. 【详解】如图，过作轴截面，可知四边形为矩形，过点C作，交EF于点G，过点G作，交AB于点D，连接CD，因为，，，所以平面，因为面，因此，又，所以， 由圆柱的底面半径为4，可得：，所以， 因为四边形为圆柱的轴截面，所以AF⊥底面CEF，因为底面CEF，所以AF⊥，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以（的长小于等于半径），等号成立的条件是刚好为半径，所以， 故选：D. 7. 已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求得球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 依题意，解得，所以. 设球半径为，则， . 所以球的表面积为. 故选：A 8. 已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先把化简，再判断其对应的点在第几象限. 【详解】∵， ∴它在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 9. 设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性性质将不等式等价转化为恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论． 【详解】解：是定义在上的偶函数， 不等式恒成立等价为恒成立， 当时，． 不等式等价为恒成立， 即在，上恒成立， 平方得， 即在，上恒成立， 设， 则满足， ， 即， ， 故实数的最大值是． 故选：． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于难题． 10. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ， 由于为上的单调增函数，故， 故， 故选：C 11. 已知F是双曲线的左焦点，P是E右支上一点，PF与E的渐近线分别交于A，B两点，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，由可表示出，点的坐标，因为P是E右支上一点，带入椭圆得方程化简即可得出答案. 【详解】不妨设点，，由，可得为的中点， 所以，由，解得． 因为，则得 因为P是E右支上一点，则， 则，故E的离心率为． 故选：B. 12. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为三角形的中心，取中点，连接，根据正四面体的性质得到平面，且，即为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，在正四面体中，设为三角形的中心，取中点，连接， 由正四面体的性质可知平面，且，则即为直线与平面所成的角， 因为，则， 故，故， 由勾股定理得， 故， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故选：D． 二、填空题 13. 如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为_____________．  【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形， 所以180°，则，利用余弦定理得， ，解得，所以． 由，得， 因为，所以， ． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题． 14. 已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦后根据两角和正弦公式再化简，由正弦定理余弦定理结合均值不等式求出最小值即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 由正弦定理得：． 由余弦定理得：，又由得：， 所以， （当且仅当，即△为正三角形时，取“”）， 因为，所以的最大值为． 故答案为： 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，由余弦定理，设，利用函数单调性求取值范围即可. 【详解】设椭圆长轴长为，焦距为， 因为，由椭圆的定义可得， 所以. 又因为，， 中由余弦定理可得：. 化简得， 由对勾函数的性质可知，在区间上单调递增，所以， 所以，可得， 所以椭圆的离心率取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 与椭圆的焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可. 【详解】如图所示： 设，，因为点在第一象限，所以. 又因为均在以线段为直径的圆上， 所以四边形为矩形，即. 因为，所以，即. 因为，， 所以，即. 因为， 设，，即，. 因为，所以在区间单调递增. 所以，即. 当时，解得，即，解得； 当时，解得，即，即. 综上. 故答案： 三、解答题 17. 设全集，求，， . 【答案】，，， 【解析】 【分析】根据集合的交并补计算求解即可. 【详解】依题意，，， 又，故， 又，故. 18. 已知函数. （1）求f（x）的最小正周期和在的单调递增区间； （2）已知，先化简后计算求值： 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）通过辅助角公式化简可得，即可求得函数的周期和单调区间，令即可得出结果； （2）由（1）及已知条件计算可得，化简可得 【小问1详解】 ，即， 所以最小正周期为, 当，时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为， 所以f（x）在的单调递增区间. 【小问2详解】 已知，，即， ，所以，解得： 所以 19. 已知向量.令. （1）化简； （2）当时，求方程的解集； （3）已知集合，D是函数和定义域的交集且，判断元素与集合P的关系，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，代入整理可得；（2）根据题意可得，整理得，结合正弦函数求解；（3）根据题意整理可得，结合题意讨论分析． 【小问1详解】 由题意可得：， ∴ 【小问2详解】 当时，则，解得 ∴或 方程的解集为 【小问3详解】 ∵，则 与的共同定义域为 ∴ 当，即时，，则 当，即时，，则 20. 计算求值： （1）； （2）已知，均为锐角，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 21. 如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上的一动点，记，四边形的面积为． （1）找出与的函数关系； （2）试探求当取何值时，最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）（2）当且仅当，即时，最大，且最大值为2. 【解析】 【分析】（1）四边形的面积可以看成是和的面积之和．因为，则，根据三角形的面积公式即可得出； （2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：，根据，得时，最大，且最大值为． 【详解】（1） （2）由（1）知 ， 因为，所以 故当且仅当，即时，最大，且最大值为2． 考点：三角形面积公式；两角和与差的正弦公式；三角函数的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$