精品解析：内蒙古呼和浩特市和林格尔县民族中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

和林民中2024--2025学年度第一学期 第一次质量检测考试高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：D 3. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【详解】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 4. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得. 故选：C 6. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 7. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 8. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）若平面平面，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 （2）若平面平面，则平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 （3）若平面平面，且，过内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 （4）如果平面平面，平面平面，，那么平面 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面关系逐一判断即可. 【详解】对于（1），若平面平面，，平面内取与平行的直线， 该直线不垂直于平面，故（1）错误； 对于（2），若平面平面，，取平面内无数条与交线垂直的直线， 则平面内的已知直线与这无数条直线垂直，故（2）正确； 对于（3），若内的任意一点取在交线上，则所作垂线不一定垂直于，故（3）错误； 对于（4），如图所示，平面平面，平面平面，， 由两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面可知， ，故（4）正确. 故选：B. 二、多选题 9. 过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 10. 若直线过点，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线的斜率k的值可为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分直线过原点与直线不过原点，结合待定系数法分别设该直线方程为、，将点代入计算即可得. 【详解】当直线过原点时，设该直线方程为，即有，即，故B正确； 当直线不过原点时，设该直线方程为，即有，即， 即，此时直线的斜率为，故C正确. 故选：BC. 11. 设是两条不同直线，是两个不同平面，有下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则不可能与相交 B. 若，则不可能与相交 C. 若，则与一定平行 D. 若，则与一定垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】直接由线面、面面位置关系判断即可求解. 【详解】对于A，若，则或，即不可能与相交，故A正确； 对于B，若，则或，即不可能与相交，故B正确； 对于C，若，则平行或相交或异面，故C不正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：AB. 三、填空题 12. 经过两点，的直线的斜率等于2，则__. 【答案】0 【解析】 【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可. 【详解】因为经过两点，的直线的斜率等于2， 所以，解得. 故答案为：0. 13. 若直线与直线平行，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行可计算出，再验证其是否重合即可得. 【详解】由题意可得，即，故或， 当时，两直线分别为，，此时两直线重合，故舍去； 当时，两直线分别为，，符合要求； 综上所述，实数的值为. 故答案为：. 14. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：或. 四、解答题 15. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得； （2）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为为矩形，所以， 又因为平面平面，所以， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 则有， 所以， 所以点到直线的距离． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值． 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD，E为AD的中点. （1）求证：PA⊥CD. （2）求证：平面PBD⊥平面PAB. 【答案】（1）因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB， 又因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD. 则PA⊥CD. （2）由已知，BC//ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形， 又CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形BCDE是正方形， 连接CE，所以BD⊥CE， 又因为BC//AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形， 所以CE//AB，则BD⊥AB. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 又因为PA∩AB＝A，则BD⊥平面PAB，且BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到PA⊥平面ABCD，进而得到PA⊥CD. （2）可证四边形BCDE是正方形，连接CE，进而证得四边形ABCE是平行四边形， 进一步得到BD⊥AB，然后利用（1）的结论PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，进而依次利用线面垂直，面面垂直的判定定理证得平面PBD⊥平面PAB. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线面、面面垂直的判定与性质，属基础题. 17. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ， ， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，平面，分别以､的方向为轴，轴，轴的正方向建系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可； （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，利用投影法即可得解； （3）分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，则平面和平面夹角的余弦值，代入即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 则， 点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. 18. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 【答案】（1） （2）3或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． 【小问2详解】 ，， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． 【小问3详解】 由（1）得，， 故的面积为. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 和林民中2024--2025学年度第一学期 第一次质量检测考试高二数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 点关于点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）若平面平面，则平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线 （2）若平面平面，则平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线 （3）若平面平面，且，过内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于 （4）如果平面平面，平面平面，，那么平面 A. B. C. D. 二、多选题 9. 过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若直线过点，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线的斜率k的值可为（ ） A. B. C. D. 11. 设是两条不同直线，是两个不同平面，有下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则不可能与相交 B. 若，则不可能与相交 C. 若，则与一定平行 D. 若，则与一定垂直 三、填空题 12. 经过两点，的直线的斜率等于2，则__. 13. 若直线与直线平行，则实数的值为______． 14. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则________． 四、解答题 15. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角的余弦值． 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD，E为AD的中点. （1）求证：PA⊥CD. （2）求证：平面PBD⊥平面PAB. 17. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 19. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $