精品解析：广西钦州市第一中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学2 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）． 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 4. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 5. 成都市某鞋厂10月份的运动鞋产量为32万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到100万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆 C. 圆有且只有一个内接三角形 D. 相等的圆心角所对的弧相等 10. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 12. 对于实数a、b，定义运算“※”如下：，例如：．若，则的值为（ ） A. 0或 B. C. 0或 D. 二、填空题（共6小题，每题2分，共12分） 13. 二次函数的开口方向是_________． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是 ________． 15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________． 16. 若二次函数的图象过点，，则，的大小关系是________．（用“”符号连接） 17. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是________步． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为__________________． 三、解答题（共8小题，共72分）． 19. 解下列方程． （1）； （2）． 20. 已知关于的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 21. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）作，使与关于原点中心对称，并直接写出点，，的坐标； （2）以为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出． 22. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长． 23. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱的半径． (2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 25. 如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） （1）求和的值； （2）求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； （3）小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 26. 我校一数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图1方式摆放，点B，C，E在同一条直线上，点G在上． （1）操作发现：如图2，将正方形绕点C逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与有何数量关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． （2）类比探究：如图3，将正方形绕点C顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学2 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）． 1. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：“一个图形绕一点旋转180度，能与自身完成重合，这样的图形叫做中心对称图形”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是 故选：A． 4. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 5. 成都市某鞋厂10月份的运动鞋产量为32万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到100万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据10月的产量，和增长率可得11月的产量，可得12月的产量，结合第四季度总产量为100万双，由此即可列式即可． 【详解】解：10月份的运动鞋产量为32万双，设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x， ∴11月的产量为，12月的产量为, ∵第四季度的总产量达到100万双， ∴， 故选：D ． 6. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线顶点坐标的求法，理解抛物线的顶点式是解答关键． 先将抛物线的一般式化为顶点式来求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 7. 二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可以看出：二次函数与轴的两个交点 时，图象在轴的下方, 此时. 故选：A. 8. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 9. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形有且只有一个外接圆 C. 圆有且只有一个内接三角形 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定圆的条件及圆心角的性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误； B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确； C、圆有无数个内接三角形，原命题错误； D、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件与圆心角的性质，不在同一直线上的三点确定一个圆． 10. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 11. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由切线长定理可得PA=PB, CA=CE,DE=DB, 由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD, 所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, 故可求得三角形的周长. 【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线, PA=PB, 同理可得: CA=CE, DE=DB. △PCD的周长=PC+CE+ED+PD, △PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, △PCD的周长=10, 故选D 【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用. 12. 对于实数a、b，定义运算“※”如下：，例如：．若，则的值为（ ） A. 0或 B. C. 0或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义以及因式分解法解一元二次方程，直接带入数值计算即可，正确掌握本题新定义的法则是解题的关键． 【详解】解：依题意， 因为 即 则 解得， 则的值为0或 故选：A 二、填空题（共6小题，每题2分，共12分） 13. 二次函数的开口方向是_________． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据函数解析式中a的值直接解答． 【详解】解：∵， ∴图象开口方向是向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是 ________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 故答案为：2024． 15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于⊙， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16. 若二次函数的图象过点，，则，的大小关系是________．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可判断函数图象开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性比较大小即可．对于二次函数（、、为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点是， ∵， ∴，的大小关系是：． 故答案为：． 17. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是________步． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，在，三边长为a，b，c（斜边），如果内切圆半径为r，由面积法可得,熟记公式是解题的关键． 根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据等面积法即可确定出内切圆半径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 设该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径为r， 则， 解得 即该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径是3步． 故答案为：3． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，先求出直线的解析式，再求出点的坐标，再求出直线的解析式，从而求出点、的坐标，以此类推可得点的坐标，根据点、、之间的规律求出点的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为：， ∵点坐标为， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵轴交抛物线于点， ∴， ∵交抛物线于点， ∴设直线的解析式为：， ∴将代入解析式中得：， ∴直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， ∵轴交抛物线于点， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， 当时， 解得：，， ∴， …… ∴以此类推点 ∴的坐标为：， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分）． 19. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：，即， ∴或， ∴，． 20. 已知关于的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，把握根的判别是解答关键． （1）先求出，再根据方程有两个相等的实数根，列出方程求解； （2）将方程的一个根5代入方程中求出，再解方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中， ，，， ． 方程有两个相等的实数根， ， ． 【小问2详解】 解：方程有一个实数根是5， ， ， ， ， ，， 解得，， 此方程的另一个根是． 21. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． （1）作，使与关于原点中心对称，并直接写出点，，的坐标； （2）以为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出． 【答案】（1） 如图，即为所作， ，， （2） 如图，即为所作． 【解析】 【分析】本题考查利用旋转变换作图， （1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点、、的坐标； （2）根据网格结构找出点、绕着点顺时针旋转后的点、的位置，然后与点顺次连接即可； 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【小问1详解】 解：∴，，； 【小问2详解】 略 22. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长． 【答案】 （1）证明：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． ∵OA=OC，∠BCD=∠A， ∴∠ACO=∠A=∠BCD， ∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD==5， ∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2． 23. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 24. 如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱的半径． (2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1) 桥拱的半径为50 m； （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置． 连接EM，设EC与MN的交点为D， 则DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝＝＝40(m)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)． ∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过． 【解析】 【详解】试题分析： (1)找到圆的圆心E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，在Rt△AEF中用勾股定理求AE的长； (2)连接EM，设EC与MN的交点为D，在Rt△DME中，用勾股定理求出DE，再求DF的长，比较DF与9的大小，即可求解. 试题解析： (1)如图，点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F， 延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20 m．由垂径定理知，F是AB的中点， ∴AF＝FB＝AB＝40 m.设半径是r m，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱的半径为50 m. (2)略 25. 如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） （1）求和的值； （2）求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； （3）小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 26. 我校一数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图1方式摆放，点B，C，E在同一条直线上，点G在上． （1）操作发现：如图2，将正方形绕点C逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与有何数量关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． （2）类比探究：如图3，将正方形绕点C顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）①；；② （2），， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，四边形，是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $