精品解析：浙江省宁波市鄞州区横溪、东吴、咸祥等2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024学年第一学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 4. 某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 10 5. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是( ). A. a=－2 B. a=－1 C. a=1 D. a=2 7. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 8. 如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 10. 解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“x与3的和大于2”：______________． 12. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 13. 若不等式和成立，则的取值范围是_________． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 15. 如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 _____． 16. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则的长为_____，度数为 _____． 三．解答题（17、18、19、20题每题6分，21题8分，22、23题每题10分．） 17. 解不等式（组）： （1） （2） 18. 如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 19. 如图，，，求证：． 20. 如图，点D在中，，，，，． （1）求长； （2）求图中阴影部分的面积． 21. 中，，D是上的点，于E， （1）求证： （2）若，，求 22. 某中学计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 23. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． （1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度； （2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线． （3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形”逐项判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，符合题意 B、是轴对称图形，不符题意 C、是轴对称图形，不符题意 D、是轴对称图形，不符题意 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 2. 不等式在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答． 【详解】解：因为 所以不等式在数轴上表示为： 故选：A 3. 若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40°， 所以其底角为=70°． 故选：D． 4. 某三角形的三边长分别为3，6，，则可能是（ ） A. 3 B. 9 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：由题意得：3＜x＜9， ∴只有C选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 5. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列选项中，可以用来证明命题“若a²>1,则a＞1”是假命题的反例是( ). A. a=－2 B. a=－1 C. a=1 D. a=2 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为a=－2时， a2＞1，但a＜1． 故选：A． 7. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ） A. 25° B. 20° C. 30° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果． 【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°， ∴∠A=180°-65°×2=50°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 8. 如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，为中点， ， ， 由勾股定理得：． 故选：C． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 10. 解关于的不等式组的整数解有4个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再结合关于的不等式组的整数解有4个，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于的不等式组的整数解有4个， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 用不等式表示“x与3的和大于2”：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据“x与3的和大于2”列出不等式即可． 【详解】解：∵x与3的和大于2， ∴； 故答案为：． 12. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”． 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．” 故答案为“两直线平行，同位角相等”． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 13. 若不等式和成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的性质可得，再解一元一次不等式即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 15. 如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟记角平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，，根据角平分线的性质推出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 是等腰底边上的中线， ，， 平分，， ， 的面积， 故答案为：8． 16. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则的长为_____，度数为 _____． 【答案】 ①. 10 ②. ##150度 【解析】 【分析】连接，如图，根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明得到，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，， ． 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 三．解答题（17、18、19、20题每题6分，21题8分，22、23题每题10分．） 17. 解不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）分别求出不等式组中两个不等式解集，再确定两不等式解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， 解①得：， 解②， ∴． 18. 如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 【答案】见详解 【解析】 【分析】此题综合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理； 画两个直角边长都为2的直角三角形即可； 根据勾股定理，只需构造一个以2和3为直角边长的直角三角形，斜边长度等于的线段． 【详解】解：如图1所示： 如图2所示． 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证． 【详解】略 20. 如图，点D在中，，，，，． （1）求长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）5 （2）24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以先求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而根据求解即可． 【小问1详解】 解： ，，， ， 答：长是5； 【小问2详解】 解：，，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为24． 21. 中，，D是上的点，于E， （1）求证： （2）若，，求 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用定理即可得出结论； （2）先由勾股定理求得，再由，得到，，，则，设，， 在中，由勾股定理求得x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 在和中， 即． 【小问2详解】 解∶中，，，， ， ， ， ，， ， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 22. 某中学计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案． 【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元 （2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根 【解析】 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可； （2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式并求得m的范围，进而可判断购买方案， 本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式组及不等式是解答的关键． 【小问1详解】 解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元， 依题意，得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元； 【小问2详解】 解：设学校购进跳绳m根，则购进毽子根， 根据题意，得：， 解得：， 又，且m为整数， ∴或22， ∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根． 23. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． （1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度； （2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线． （3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数． 【答案】（1）36 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，灵活使用等腰三角形性质、三角形内角和定理与三角形外角定理是解题关键，根据等腰三角形顶角顶点分类讨论是难点． （1）由等腰三角形的性质得出，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； （2）只要证明，是等腰三角形即可； （3）当是特异线时，分三种情形讨论，当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等腰三角形性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， 是的一条特异线， 和是等腰三角形， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； 故答案为：36； 【小问2详解】 证明：是线段的垂直平分线， ，即是等腰三角形， ， ， ， ，即是等腰三角形， 是是一条特异线． 【小问3详解】 解：当是特异线时，如果，如图3， 则； 如果，，如图4， 则； 如果（或，如图5， 则（不合题意，舍去）； 当是特异线时，，，如图6， 则； 当为特异线时，不合题意． 综上，所有可能的的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $