精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题（B卷）

2024年衡阳县四中高二第一学期期中考试 数学试卷（B卷） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断. 【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图， ，A错误； ，B错误； 与方向不相同，C错误； ，D正确. 故选：D 2. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算. 【详解】因为，所以, 即，则. 故选：C. 3. 过下列两点的直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】直接由斜率公式计算即可. 【详解】由斜率的坐标计算公式可知过两点的直线的斜率为. 故选：A. 4. 圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　) A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆心为,点到直线的距离为.故选D. 5. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ， 故选: B. 6. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由于，得到，从而确定与的位置关系. 【详解】因为，， 则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或， 故选：D. 7. 已知圆：与圆：外切，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距等于半径和求解即可. 【详解】因为圆：与圆：外切， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定所过定点坐标，进而判断该点与已知圆的位置关系，再根据圆的性质及弦心距、半径、弦长关系求|AB|的最小值 【详解】依题意，直线mx﹣3y﹣4m+9＝0恒过定点D（4，3）， ∵D在圆C内部， ∴弦|AB|长度的最小时，直线AB与直线CD垂直，又|CD|＝＝5， 此时|AB|＝2＝10. 故选：D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项． 【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误； 对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确； 对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确． 故选： CD． 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确； 对于B中，由直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确； 对于C中，由圆心坐标为和定点，可得， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短， 则最短弦长为，所以C正确； 对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确. 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算. 【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则. . A选项，因为，所以，A正确. B选项，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为， 所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误. C选项，若平面，则. 因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误. D选项，，D正确. 故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值． 【详解】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解. 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 求满足题意的直线方程： （1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率根据斜截式可得直线方程. （2）当直线过原点时根据过点写出直线方程，当直线不经过原点时，设直线方程为将代入求得即可. 【小问1详解】 斜率是直线的斜率的的直线斜率， 利用斜截式可得：，化为一般式：. 【小问2详解】 直线经过原点时满足条件，可得直线方程为：，即； 直线不经过原点时，截距不为0， 设直线方程为:，把点代入可得:，解得， 化为一般式：； 综上：所求直线为或. 16. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径． （1）求圆C的方程； （2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 因为圆C的直径为AB，故其圆心为C， 其半径为， 故圆C的方程为：． 【小问2详解】 因为，故P在圆C上，连接PC， 而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为， 故所求切线的方程为：． 17. 分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【小问1详解】 因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 18. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. 依题意得， 故， 故，所以. 由已知，且，平面EFD，平面EFD， 所以平面EFD. （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积坐标运算证明，结合已知线面垂直可证； （2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量与的夹角运算求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，由（1）平面EFD，又平面EFD， 所以，且为锐角，故是平面与平面的夹角. 设点的坐标为，则， 由题意在线段上，所以， 所以， 即，. 设，则， 所以，点的坐标为，又点的坐标为， 所以，. 所以， 所以，即平面与平面的夹角大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年衡阳县四中高二第一学期期中考试 数学试卷（B卷） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 已知空间向量，且，则（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 3. 过下列两点的直线的斜率为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在 4. 圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　) A. 2 B. C. 1 D. 5. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 7. 已知圆：与圆：外切，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 21 8. 已知直线l：mx﹣3y﹣4m+9＝0与圆C：x2+y2＝100相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线，直线．若，则实数的值为______． 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 14. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 四、解答题（共77分） 15. 求满足题意的直线方程： （1）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程. 16. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径． （1）求圆C的方程； （2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程． 17. 分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 18. 如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求直线DE，BF所成角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $