专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 新定义问题 题型八 其他问题 知识点1:盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点2：经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 2． 方案问题： 【经典例题一 方案问题】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【经典例题二 销售利润问题】 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 8．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 10．（23-24八年级上·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 【经典例题三 分配问题】 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 (1)求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ (2)若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 12．（2024·四川泸州·二模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ 13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰．他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，那么至多购买甲种笔记本多少个？ 14．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元，若购进甲种商品m件，请问该商场共有哪几种进货方案？ 15．（2024·湖南娄底·一模）阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表： 项目 谷物（每） 牛奶（每） 鸡蛋（每） 蛋白质（） 脂肪（） 碳水化合物（） (1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？ (2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表： 套餐 主食 肉类 其他 为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？ 【经典例题四 几何问题】 16．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 17．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 18．（23-24八年级上·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    19．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 20．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【经典例题五 行程问题】 21．（2024八年级上·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 22．（23-24八年级上·山西·期末）小宇骑自行车从家出发前往地铁号线的站，与此同时，一列地铁从站开往站．分钟后，地铁到达站，此时小宇离站还有米．已知、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小宇骑车的平均速度的倍． （1）求小宇骑车的平均速度 （2）如果此时另有一列地铁需分钟到达站，且小宇骑车到达站后还需分钟才能走到地铁站台候车，那么他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？（假定这两列地铁的平均速度相同） 23．（23-24八年级上·全国·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地的2倍，这家厂从地购买原料，制成食品卖到地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：地→食品厂；第二次：食品厂→地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元． (1)这家食品厂到地的距离是多少公里？ (2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？ (3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1079750元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 25．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上距离点A点1000米的B点出发，以240米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发沿北京路以60米/分的速度步行向东匀速直行．设出发t分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为、米． (1)t为何值时，； (2)当甲行驶到距离A点800米的C点，突然想到有急事要找乙，然后甲就在C点立刻调头以原来的速度去追乙（调头所花的时间忽略不计）． ①请问甲从C点调头后开始要用多少时间才能够追上乙？ ②如果甲从C点调头后须在8分钟内追上乙，当行驶到A点的时候，又因某事耽误了2分钟，那么接下来甲的速度至少要提高到每分钟多少米，才能够在8分钟内追上乙？ 【经典例题六 和差倍分问题】 26．（23-24八年级上·山东泰安·期末）研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 27．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）新冠病毒潜伏期较长，能通过多种渠道传播，所以在生活中就要做好最基本的防护：在公共区域和陌生人保持距离，勤洗手，出门戴口罩．某校为了提高同学们的防疫意识，决定组织防疫知识竞赛活动，评出一、二、三等奖各若干名，并分别发给洗手液、温度计和口罩作为奖品． （1）如果购买洗手液1瓶和温度计5个共需27元；购买2瓶洗手液比购买6支温度计多花6元，求洗手液、温度计的单价各是多少元？ （2）已知本次竞赛活动获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，且获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一，若口罩单价为2元，在（1）条件下，如果购买这三种奖品的总费用为308元，求本次竞赛活动获得一、二、三等奖各有多少人． 28．（23-24八年级上·广东东莞·期末）2024年5月5日，是中国羽毛球队的荣耀时刻，中国队时隔6年重新夺得代表羽毛球男子团体世界最高水平的汤姆斯杯、羽毛球运动消耗最大是羽毛球，为节约开支，羽毛球爱好者通常会购买2种羽毛球，即训练球和比赛球．若购买3桶训练球和2桶比赛球，共花费675元：购买3桶训练球的费用与购买1桶比赛球的费用相同． (1)每桶羽毛球训练球和比赛球的价格各是多少元？ (2)若购买两种球共20桶，其中比赛球不少于6桶，所需费用总额不超过2800元，至少买训练球多少桶？请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方式 29．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 30．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂    第二次：食品厂→B地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．    (1)这家食品厂到A地的距离是多少公里？ (2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品 (3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 【经典例题七 新定义问题】 31．（23-24八年级上·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 33．（23-24八年级上·全国·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 34．（23-24八年级上·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 35．（23-24八年级上·江西新余·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 【经典例题八 其他问题】 36．（2024八年级上·全国·专题练习）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 37．（23-24八年级上·广东深圳·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． (1)请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？ (2)每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 38．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 39．（2024·山东济南·一模）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元． (1)求篮球，足球的单价分别是多少元； (2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？ 40．（23-24八年级上·海南海口·期中）五源河学校将在五月份举办一年一度的“学养节”活动，数学组的老师们正在为参加活动的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，已知购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔的单价分别是多少元？ (2)如果本次活动需要自动铅笔的个数比钢笔的个数的2倍还多6个，且购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过730元，那么最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 1．（23-24八年级上·山东德州·期末）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）喷灌是一种先进的田间浇灌技术，雾化指标P是它的技术要素之一，当喷头的直径为喷头的工作压强为时，雾化指标．对果树喷灌时要求雾化指标，若，则工作压强的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24八年级上·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（    ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）对于实数x，我们把不超过x的最大整数记作，例如已知，．若实数x满足，则实数x的值是 ． 7．（23-24八年级上·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为 ． 8．（23-24八年级上·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    9．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）设表示不超过x的最大整数{例如：请你认真理解的意义，当，若，则的值为 ． 10．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50公斤、70公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则满足题意的x的范围是 ． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； (2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 12．（23-24八年级上·云南德宏·期末）为了保护环境，某企业决定购买一批污水处理设备，现有A，B两种型号的设备可供选择，若购买2台A型设备，3台B型设备，共需54万元；若购买4台A型设备，2台B型设备，共需68万元．A种型号的设备月处理污水量为240吨，B种型号的设备月处理污水量为200吨． (1)请求出A，B两种型号设备的单价分别是多少？ (2)企业每月产生的污水量不少于2040吨，根据测算需购买10台污水处理设备，且购买设备的资金不高于106万元，则该企业共有几种购买方案？为了节约资金，应选择哪种购买方案． 13．（23-24八年级上·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 14．（23-24八年级上·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 15．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）根据下列素材，解决实际问题： 如何购买饲料更划算？ 素材1 某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头． 素材2 每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）： 每袋质量 售价 黄牛饲料 60千克 40元/袋 奶牛饲料 75千克 60元/袋 农场中的牛3天共吃完37袋饲料． 素材3 该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料． 问题解决 任务1 分析数量 分别求出农场中黄牛和奶牛的数量． 任务2 统筹规划 现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 新定义问题 题型八 其他问题 知识点1:盈不足与行程问题 1.盈不足问题 2.行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点2：经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 2． 方案问题： 【经典例题一 方案问题】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 2．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元 (2)该网店共有3种进货方案：方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式组成为解答本题的关键． （1）设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元，根据“甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组并求解即可； （2）设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶，根据“该网店决定用不超过2400元，购进甲、乙两种遮阳帽共100顶且甲种遮阳帽的数量超过57顶”，即可得出关于m的一元一次不等式组，即可求出m的取值范围，最后根据m取整数的情况，确定各货方案． 【详解】（1）解：设该网店甲种遮阳帽每顶售价为x元，乙种遮阳帽每顶售价为y元， 依题意得：，解得：． 答：该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元； （2）解：设购进甲种遮阳帽m顶，则购进乙种遮阳帽顶， 依题意得：，解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为58，59，60， ∴该网店共有3种进货方案， 方案1：购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶； 方案2：购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶； 方案3：购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 (2)该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； (3)采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【详解】（1）解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； （2）解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)x的值每增加1，的值随之增加2 (3)①③④ (4) 【分析】本题主要考查代数式求值，解答的关键是对分析清楚所给的数列之间的关系． （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）根据绝对值的定义，分类讨论从而求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，． （2）的值随着x的变化而变化的规律是： x的值每增加1，的值就增加2． （3）当时，， ， ，①正确． 当时，， ， ，②错误． 当时，， ， ，③正确． 由， 得，即， 当时，成立，④正确． 正确的有①③④． （4）， 当且时， 即时，有， 得恒成立，满足题意． 当且时， 即， ， 解得， ， 当且时， 即， ， 得无解，不符合题意， 综上所述，当时，． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期中）根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【答案】任务1：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元；任务2：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆：方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；任务3：花费最少的是方案1，节省了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；任务3：根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金. 任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，根据“明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案； 任务3：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用元减去花费最少的总租金，即可得出结论. 【详解】解：任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元， 根据题意得： 解得： 答：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆： 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆： 任务3：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）. ∵，（元）， ∴花费最少的是方案1，节省了元. 【经典例题二 销售利润问题】 6．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元 (2)共有种购买方案：方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 【分析】（）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意列出方程组即可求解； （）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得，， 解得， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元； （2）解：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴可以为， ∴共有种购买方案： 方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解答的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元，根据“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套， 根据题意，得， 解得，又x为正整数， ∴x可取31或32， ∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套． 8．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 应为整数， 或 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台； 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 【答案】(1) (2)购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台 【分析】本题主要考查了购买方案问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，是解决问题的关键． （1）根据表中数据，结合“一台甲型设备比一台乙型设备多2万元， 2台甲型设备比3台乙型设备少6万元”列二元 一次方程组解答； （2）根据“资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨”列一元一次不等式组解答． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， 故x、y的值分别是12和10； （2）设买甲型设备a台，买乙型设备台， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵a为整数， ∴或， ∴或． 故该公司应该购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台． 10．（23-24八年级上·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用； （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 【经典例题三 分配问题】 11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元 (1)求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？ (2)若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？ 【答案】(1)8元，10元 (2)35件 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． （1）设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元，根据购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元，列方程组求解； （2）设该商店可购进B种品牌的工具m件，根据该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，列出不等式，然后求出即可． 【详解】（1）解：设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元． ， 解得， 答：该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要8元、10元． （2）该商店可购进B种品牌的工具m件． ， 解得， 答：该商店最多可购进B种品牌的工具35件． 12．（2024·四川泸州·二模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元． (2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可； （2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：． 解不等式①得：． ∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰．他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，那么至多购买甲种笔记本多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元． (2)至多需要购买21个甲种笔记本． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元”，“购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，列出二元一次方程组，即可求解， （2）根据“此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的”列出关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本元，一个乙种笔记本元． 由题意得：， 解得：， 故答案为：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元． （2）解：设需要购买个甲种笔记本， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大整数值为21， 故答案为：至多需要购买21个甲种笔记本． 14．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元，若购进甲种商品m件，请问该商场共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元； (2)共有三种方案：方案①：购进甲种商品13件，乙种商品37件；方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件；方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答； （1）设甲商品的进价为每件x元，乙商品的进价为每件y元，根据题意得列出方程组，求解即可； （2）根据题意得列出一元一次不等式，因为m为正整数，可得m的取值，由此可得出方案． 【详解】（1）设甲商品的进价为每件x元，乙商品的进价为每件y元， 根据题意得：，解得 答：甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元； （2）由题意得： 解得： ∵m为正整数 ∴ ∴共有三种方案： 方案①：购进甲种商品13件，乙种商品37件； 方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件； 方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件； 15．（2024·湖南娄底·一模）阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表： 项目 谷物（每） 牛奶（每） 鸡蛋（每） 蛋白质（） 脂肪（） 碳水化合物（） (1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？ (2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表： 套餐 主食 肉类 其他 为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？ 【答案】(1)每份该种早餐中谷物食品有，牛奶； (2)每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐选择套餐天。 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而得到所求的量的等量关系和不等关系． （1）根据等量关系：蛋白质总含量为；早餐食品；列出方程组求解即可； （2）设该学校一周里共有天选择套餐，则有（）天选择套餐，根据学生午餐主食摄入总量不超过，肉类摄入量不超过，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有，牛奶有．依题意，列方程组为 ， 解得， ∴，， 答：每份该种早餐中谷物食品有，牛奶。 （2）解：设每个一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐． 依题意，得． 解得． ∴或， 当时，， 当时，， ∴每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天. 【经典例题四 几何问题】 16．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 17．（2024·河北石家庄·一模）已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数； (3)若点在点的左侧，求的正整数值． 【答案】(1)； (2)点表示的数为； (3)的正整数值为，，． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键． （1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题； （2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得． （3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， 点表示的数为， ； （2）解：点与点关于原点对称， ，解得， ， 点表示的数为； （3）解：若点在点的左侧， ， 解得， 的正整数值为，，． 18．（23-24八年级上·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 19．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒． (1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______． (2)求射线OQ返回时t的值取值范围． (3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围． （注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围） 【答案】(1)80° (2) (3)或或 【分析】（1）根据当t＝5时，求出，即可求出； （2）先求出，当旋转到时的时间，并且此时，再求出当开始返回时的时间，即可得出射线返回时的时间返回； （3）先求出第一次重合时的时间，(秒)，再分① 返回前，②，重合后，③返回后到秒停止的几种情况进行求解． 【详解】（1）解：当t＝5时，， ， 故答案为：； （2）解：， 当旋转到时，（秒）， 此时， 开始返回：(秒)， 射线返回时，， 即； （3）解：， 第一次重合时，(秒)， ① 返回前，，重合前，，（秒）， 即 ②，重合后，，（秒）， 即时， ③返回后到秒停止，时， （秒）， 即当时， 综上所述：或或，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、不等式的应用、角的和差倍分关系，解题的关键是理解题意学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 20．（23-24六年级下·上海长宁·期中）十五世纪杰出的法国数学家尼古拉斯·丘凯（Nicolas chuquet）在他的名著《数学三章》中提到了“平均数的规则”即：已知a、b、c、d都是正整数，如果，那么，并给出了证明． (1)根据我们所学习过的不等式的性质，我们不难证明这个结论． 由，在不等式的两边同时乘以________________________，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上______________，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以______________，可以得到； 同理可证，所以成立． (2)丘凯在《数学三章》中对于“平均数的规则”给出了两种证明，其中一种是用图形几何的方式直观地说明了“平均数的规则”成立．    长度1是_______；长度2是_______．（用含有字母的式子表示） 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）设长度1为，则长度2为，则，去分母求出即可得结果． 【详解】（1）由，在不等式的两边同时乘以，可以得到； 由，在不等式的两边同时加上，可以得到； 由，在不等式的两边同时除以，可以得到； （2）设长度1为，则长度2为， 则， 两边同乘以得， ， ， ， ， ， 长度1是；长度2是． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及用几何图形证明不等式的成立，数形结合是解题的关键． 【经典例题五 行程问题】 21．（2024八年级上·全国·专题练习）小颖和小华进行百米赛跑，小颖的平均速度是，小华的平均速度是，小颖让小华先跑10米． (1)求小颖何时追上小华； (2)求从什么时间开始，小颖到终点的距离不超过16米； (3)求小颖何时和小华相距5米． 【答案】(1)10秒 (2)12秒开始 (3)5秒 【分析】（1）设经过x秒小颖追上小华，根据在x秒内小颖通过的路程小华通过的路程米，列出方程，解方程即可； （2）设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，根据到终点的距离不超过16米列出不等式组，解不等式组即可； （3）分两种情况，小颖追上小华之前，小颖追上小华之后，分别求出结果即可得出答案． 【详解】（1）解：设经过x秒小颖追上小华，由题意得： ， 解得：， 答：经过10秒小颖追上小华． （2）解：设经过y秒后，小颖到终点的距离不超过16米，由题意得 ， 解得：， 答：从12秒开始，小颖到终点的距离不超过16米． （3）解：设小颖追上小华之前，经a秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 设小颖追上小华之后，经b秒小颖和小华相距5米， ， 解得：， 小颖跑完100米所用时间为：（秒）， ∵， ∴不符合题意舍去． 答：经5秒小颖和小华相距5米． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系和等量关系列出不等式或方程． 22．（23-24八年级上·山西·期末）小宇骑自行车从家出发前往地铁号线的站，与此同时，一列地铁从站开往站．分钟后，地铁到达站，此时小宇离站还有米．已知、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小宇骑车的平均速度的倍． （1）求小宇骑车的平均速度 （2）如果此时另有一列地铁需分钟到达站，且小宇骑车到达站后还需分钟才能走到地铁站台候车，那么他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？（假定这两列地铁的平均速度相同） 【答案】（1）小宇骑车的平均速度是米/分；（2）至少应提高米/分 【分析】（1）设小明骑车的平均速度是x米/分，、两站间的距离和小宇家到站的距离恰好相等，列出方程 3x+2400=3×5 x，解方程即可得解； （2）设小明的速度提高y米/分，根据题意列出一元一次不等式，即可得出答案； 【详解】解：（1）设小宇骑车的平均速度是米/分． 根据题意，得 解得 答：小宇骑车的平均速度是米/分． （2）设小宇骑车的平均速度提高米/分． 根据题意，得 解得． 答：小宇骑车的平均速度至少应提高米/分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键． 23．（23-24八年级上·全国·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 【答案】(1) (2)①（即可）；② (3) 【分析】（1）由图和k可达点的定义直接得出结论； （2）①点C表示的数为时，，根据点C为点A的k可达点，可以得出k的一个值； ②根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可； （3）分三种情况讨论点D和点C的位置，由可达点的定义得出m的取值范围． 【详解】（1）由图可以看出，是点A的2可达点， 故答案为：； （2）①若点C表示的数为，则点A与点C的距离为2， ∴k应该大于2， ∴k可以为4， 故答案为：4（即可）； ②若点C为点A的2可达点，则， 解得：． 故答案为：； （3）①当时，点D在点C左侧， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， 此时都符合题意； ③当时，点D在点C右侧， ∴， 解得：， ∴． 综上：m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地的2倍，这家厂从地购买原料，制成食品卖到地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：地→食品厂；第二次：食品厂→地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元． (1)这家食品厂到地的距离是多少公里？ (2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？ (3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1079750元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 【答案】(1)设这家食品工厂到A地距离50公里 (2)此次购进了220吨原料，制成了食品200吨 (3)该厂至少购进275吨原料 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设这家食品工厂到A地距离x公里，再根据铁路路程为100公里列方程即可； （2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．根据“共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．”，列方程组，再解方程组即可； （3）求解该厂原料产出食品的效率：原料：食品，设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．利用“获得利润不少于1079750元，”再列不等式即可． 【详解】（1）解：设这家食品工厂到A地距离x公里． 依题意得． 解得． 答；设这家食品工厂到A地距离50公里 （2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨． 依题意得 解得． 答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨． （3）该厂原料产出食品的效率：原料：食品， 设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品． 解得，则， 答，该厂至少购进275吨原料． 25．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上距离点A点1000米的B点出发，以240米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发沿北京路以60米/分的速度步行向东匀速直行．设出发t分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为、米． (1)t为何值时，； (2)当甲行驶到距离A点800米的C点，突然想到有急事要找乙，然后甲就在C点立刻调头以原来的速度去追乙（调头所花的时间忽略不计）． ①请问甲从C点调头后开始要用多少时间才能够追上乙？ ②如果甲从C点调头后须在8分钟内追上乙，当行驶到A点的时候，又因某事耽误了2分钟，那么接下来甲的速度至少要提高到每分钟多少米，才能够在8分钟内追上乙？ 【答案】(1)或 (2)①分钟；②米/分 【分析】（1）依题意得：，，分两种情况讨论：当甲还没过A点时和当甲过A点时，令，求出t即可； （2）①根据路程=速度×时间，列方程即可求解；②根据路程=速度×时间，列不等式即可求解． 【详解】（1）依题意得：， ①当甲还没过A点时， 解得 ②当甲过A点时， 解得 ∴当或时， （2）①依题意得 解得 ∴甲从C点掉头开始要用分钟才能够追上乙． ②设甲的速度至少要提高到v米/分， 依题意得： ∴甲的速度至少要提高到米/分． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式，解题的关键是根据“路程=速度×时间”列出等量关系或不等关系． 【经典例题六 和差倍分问题】 26．（23-24八年级上·山东泰安·期末）研学活动，是一次知识与实践的完美融合，更是一次成长的历练．某校学生和带队老师在5月下旬去某研学基地参加研学实践活动，已知学生的人数比带队老师人数的20倍多12人，学生和老师的总人数共600人． (1)请求出去研学的学生和老师各多少人？ (2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共16辆（其中B型大巴车最多有7辆），已知A型大巴车每车最多可以载35人，日租金为2000元，其中B型大巴车每车最多可以载45人，日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案． 【答案】(1)出去研学的学生有572人，老师有28人 (2)租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设去研学的老师有人，则学生有人，根据学生和老师的总人数共600人，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出去研学的老师人数，再将其代入中可求出去研学的学生人数； （2）设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，根据型大巴车最多租赁7辆且16辆大巴车至少可乘载600人，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各租车方案，利用总租金每辆车的租金租车数量，可分别求出各租车方案所需总租金，比较后可得出最经济的租赁车辆方案． 【详解】（1）解：设去研学的的老师有人，则学生有人， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：出去研学的学生有572人，老师有28人． （2）解：设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆， 依题意得：， 解得：． 为正整数， 可以取4，5，6，7， 该学校共有4种租车方案， 方案1：租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆； 方案2：租赁型大巴车11辆，型大巴车5辆； 方案3：租赁型大巴车10辆，型大巴车6辆． 方案4：租赁型大巴车9辆，型大巴车7辆． 租车方案1所需总租金为（元）； 租车方案2所需总租金为（元）； 租车方案3所需总租金为（元） 租车方案4所需总租金为（元）． ， 租车方案1最经济的是租赁型大巴车12辆，型大巴车4辆，租金是36000元． 27．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）新冠病毒潜伏期较长，能通过多种渠道传播，所以在生活中就要做好最基本的防护：在公共区域和陌生人保持距离，勤洗手，出门戴口罩．某校为了提高同学们的防疫意识，决定组织防疫知识竞赛活动，评出一、二、三等奖各若干名，并分别发给洗手液、温度计和口罩作为奖品． （1）如果购买洗手液1瓶和温度计5个共需27元；购买2瓶洗手液比购买6支温度计多花6元，求洗手液、温度计的单价各是多少元？ （2）已知本次竞赛活动获得三等奖的人数是获得二等奖人数的2倍，且获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一，若口罩单价为2元，在（1）条件下，如果购买这三种奖品的总费用为308元，求本次竞赛活动获得一、二、三等奖各有多少人． 【答案】（1）洗手液、温度计的单价分别是12元，3元；（2）获得一等奖的有7人，二等奖的有32人，三等奖的有64人或获得一等奖的有14人，二等奖的有20人，三等奖的有40人． 【分析】（1）设洗手液、温度计的单价分别是x元，y元，根据题意列出方程组，解之即可； （2）设获得一等奖的有m人，二等奖的有n人，则三等奖的有2n人，根据购买这三种奖品的总费用为308元，即可得出关于m，n的二元一次方程，解之可得出n=，由获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一，可得出4m≤3n，再结合m，n均为正整数即可求出结论． 【详解】解：（1）设洗手液、温度计的单价分别是x元，y元， 依题意得：， 解得：， ∴洗手液、温度计的单价分别是12元，3元； （2）设获得一等奖的有m人，二等奖的有n人，则三等奖的有2n人， 依题意得：12m+3n+2×2n=308， ∴n==， ∵获得一等奖的人数不超过获奖总人数的五分之一， ∴m≤，即4m≤3n． 又∵m，n均为正整数， ∴m为7的倍数， ∴或， 答：获得一等奖的有7人，二等奖的有32人，三等奖的有64人或获得一等奖的有14人，二等奖的有20人，三等奖的有40人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 28．（23-24八年级上·广东东莞·期末）2024年5月5日，是中国羽毛球队的荣耀时刻，中国队时隔6年重新夺得代表羽毛球男子团体世界最高水平的汤姆斯杯、羽毛球运动消耗最大是羽毛球，为节约开支，羽毛球爱好者通常会购买2种羽毛球，即训练球和比赛球．若购买3桶训练球和2桶比赛球，共花费675元：购买3桶训练球的费用与购买1桶比赛球的费用相同． (1)每桶羽毛球训练球和比赛球的价格各是多少元？ (2)若购买两种球共20桶，其中比赛球不少于6桶，所需费用总额不超过2800元，至少买训练球多少桶？请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方式 【答案】(1)每桶羽毛球训练球的价格是30元，比赛球的价格是20元； (2)至少买训练球12桶，最省钱的购买方式为买训练球14桶，买比赛球6桶 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用．理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设每桶羽毛球训练球的价格是元，比赛球的价格是元，根据购买3桶训练球和2桶比赛球，共花费675元：购买3桶训练球的费用与购买1桶比赛球的费用相同．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设买训练球x桶，则买比赛球桶，根据所需费用总额不超过2800元，购买训练球比赛球不少于6桶，列不等式求解即可解答． 【详解】（1）解：设每桶羽毛球训练球的价格是元，比赛球的价格是元， 由题意得：， 解得：， 答：每桶羽毛球训练球的价格是75元，比赛球的价格是225元． （2）解：设买训练球x桶，则买比赛球桶，根据题意，得 ， 解得：， ∵x为整数， ∴至少买训练球12桶； ∴或13或14， ∴或7或6， ∴共有三种方案：方案一：买训练球12桶，则买比赛球8桶，所需费用总额为：（元）； 方案二：买训练球13桶，则买比赛球7桶，所需费用总额为：（元）； 方案三：买训练球14桶，则买比赛球6桶，所需费用总额为：（元）； ∵， ∴最省钱的购买方式为买训练球14桶，买比赛球6桶． 29．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 【答案】(1)每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元 (2)该学校共有3种购买方案 (3)购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的实际应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元，根据“3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个，根据甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数． （3）根据（2）中方案列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元． （2）解：设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m的值为14，15，16， 答：该学校共有3种购买方案． （3）解：由（2）知： 当购买甲种型号足球14个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球15个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球16个时，，购买乙种型号足球（个），则（元）； ， 购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜． 30．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂    第二次：食品厂→B地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．    (1)这家食品厂到A地的距离是多少公里？ (2)此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品 (3)这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1122940元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 【答案】(1)设这家食品工厂到A地距离50公里 (2)此次购进了220吨原料，制成了食品200吨 (3)该厂至少购进286吨原料 【分析】（1）设这家食品工厂到A地距离x公里，再根据铁路路程为100公里列方程即可； （2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．根据“共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．”，列方程组，再解方程组即可； （3）求解该厂原料产出食品的效率：原料：食品，设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．利用“获得利润不少于1122940元，”再列不等式即可． 【详解】（1）解：设这家食品工厂到A地距离x公里． 依题意得． 解得． 答；设这家食品工厂到A地距离50公里 （2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨． 依题意得 解得． 答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨． （3）该厂原料产出食品的效率：原料：食品， 设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品． 解得，则， 答，该厂至少购进286吨原料． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 【经典例题七 新定义问题】 31．（23-24八年级上·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 【答案】(1)①17；② (2) (3) 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②依据新定义的方法判断即可； （2）设百位数字为m，则个位数字为，根据题意列出不等式求解即可； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b，根据新定义列式计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：17； ②， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴是“映文数”． 故答案为：； （2）设百位数字为m，则个位数字为， ∴数M为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b， ∵“映文数”M， ∴， ∴ ∵M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数， ∴， ∴， ∴， ∴，解得； ∴， ∵为7的整数倍， ∴当时，无满足题意的n的值； 当时，n取4，， ∴； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； ∴． 【点睛】题目主要考查新定义的数字规律问题及整式的加减运算，理解题意是解题关键． 33．（23-24八年级上·全国·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点． (1)如图，点中， 是点A的2可达点； (2)若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ； (3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ． 【答案】(1) (2)①（即可）；② (3) 【分析】（1）由图和k可达点的定义直接得出结论； （2）①点C表示的数为时，，根据点C为点A的k可达点，可以得出k的一个值； ②根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可； （3）分三种情况讨论点D和点C的位置，由可达点的定义得出m的取值范围． 【详解】（1）由图可以看出，是点A的2可达点， 故答案为：； （2）①若点C表示的数为，则点A与点C的距离为2， ∴k应该大于2， ∴k可以为4， 故答案为：4（即可）； ②若点C为点A的2可达点，则， 解得：． 故答案为：； （3）①当时，点D在点C左侧， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， 此时都符合题意； ③当时，点D在点C右侧， ∴， 解得：， ∴． 综上：m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握． 34．（23-24八年级上·福建泉州·期末）定义：对于任何有理数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)3，2； (2)x＝−5； (3)7＜x≤． 【分析】（1）根据新定义表示的意义求解； （2）整理方程得【x】＝，根据定义得出x−1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由【x】是整数，设4x＋5＝3n（n是整数）得到x＝，则−8＜≤−5，解得−9＜n≤−5，即可求得当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据新定义得出关于x的不等式组，进而可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：【π】＝3，【−2.1】＋【5.1】＝−3＋5＝2， 故答案为：3，2； （2）∵4x−3【x】＋5＝0， ∴【x】＝， ∴x−1＜≤x， 解得：−8＜x≤−5， ∵【x】是整数， 设4x＋5＝3n（n是整数）， ∴x＝， ∴−8＜≤−5， 解得：−9＜n≤−5， ∵n是整数， ∴n为−8，−7，−6，−5， ∴当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据题意得：−4≤＜−3， 解得：7＜x≤， 则满足条件的x的取值范围为：7＜x≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 35．（23-24八年级上·江西新余·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 【答案】(1)7；； (2)，4，． 【分析】（1）①利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值； ②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：7； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，为整数， 设，k为整数，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，3，4，则，4，． 【点睛】本题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解新定义的意义是解题关键． 【经典例题八 其他问题】 36．（2024八年级上·全国·专题练习）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米． (1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米； (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米 (2)该服装厂最少需要生产60套B款服装 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，根据“1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装，根据所用布料不超过168米，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米， 根据题意得：， 解得：． 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产套A款服装， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为60． 答：该服装厂最少需要生产60套B款服装． 37．（23-24八年级上·广东深圳·期中）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和4个乙部件质量相同． (1)请分别求出1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少千克？ (2)每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】(1)1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是 (2)货运电梯一次最多可装运7套设备 【分析】（1）本题考查二元一次方程解决实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组求解即可得到答案； （2）本题考查不等式的应用，根据载重总质量禁止超过列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是， 根据题意得：，解得：． 答：1个甲部件的质量是，1个甲部件的质量是； （2）解：设货运电梯一次可装运m套设备， 根据题意得：，解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为7． 答：货运电梯一次最多可装运7套设备． 38．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 (1)求a，b的值； (2)若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)a的值为12，b的值为10； (2)当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，再根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，进行列式，再解方程，即可作答． （2）先设设购买金额为y万元，A型设备数量x台，列式得，根据处理污水量进行列不等式，再结合一次函数的性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元， 由题意得：， 解得：． 故a的值为12，b的值为10； （2）解：设购买金额为y万元，A型设备数量x台， 依题意，得， 即 ∵ ∴y随x的增大而增大 ∵ ∴ ∴当时y有最小值， 即当A设备购买1台，B设备购买9台时最省钱． 39．（2024·山东济南·一模）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元． (1)求篮球，足球的单价分别是多少元； (2)该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)每个足球的价格为45元，每个篮球的价格为30元 (2)足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，此时总费用为3300元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得，即可解得答案； （2）设购买个足球，根据足球的数量不少于篮球数量的得：，求出，而，根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：， 解得， 每个篮球的价格为30元，每个足球的价格为45元； （2）解：设购买个足球，则购买个篮球，购买足球和篮球总花费为元， 根据题意得：， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当 时，取最小值； 当时，取最小值，最小值为， 足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，最少总费用为3300元． 40．（23-24八年级上·海南海口·期中）五源河学校将在五月份举办一年一度的“学养节”活动，数学组的老师们正在为参加活动的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，已知购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元． (1)求该品牌的钢笔、自动铅笔的单价分别是多少元？ (2)如果本次活动需要自动铅笔的个数比钢笔的个数的2倍还多6个，且购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过730元，那么最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 【答案】(1)该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元 (2)该班级最多可购买20支该品牌的钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的综合运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的运用是解题的关键． （1）设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元，根据数量关系列式求解即可； （2）设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔，根据数量关系列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支的定价为x元，自动铅笔每支的定价为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：该品牌的钢笔每支的定价为25元，自动铅笔每支的定价为5元． （2）解：设该班级购买支该品牌的钢笔，则购买支该品牌的自动铅笔， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为20， 答：该班级最多可购买20支该品牌的钢笔． 1．（23-24八年级上·山东德州·期末）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（   ） A．12 B．123 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用．设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个，根据题意得： ， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选C． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）喷灌是一种先进的田间浇灌技术，雾化指标P是它的技术要素之一，当喷头的直径为喷头的工作压强为时，雾化指标．对果树喷灌时要求雾化指标，若，则工作压强的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据一元一次不等式的性质化简求解． 根据，故将以及mm代入得到关于的不等式，即得到，接下来再解这个不等式组即可得到答案． 【详解】解：， ， 由于mm， 代入不等式得， ， ， ． 故的取值范围是． 故选：C． 3．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解． ①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为”，列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出b的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答． 【详解】解：①，故①正确，符合题意； ②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出， ∴，故②不正确，不符合题意； ③根据题意可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴水不会溢出，故③正确，符合题意； ④由①可得：， ∴， ∴水一定会溢出，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④， 故选：C． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了近似数、解一元一次不等式，根据新定义即可判断①；利用举反例的方法即可判断②；根据题意所述利用不等式的性质即可判断③；由题意得出，计算即可判断④；设，为整数，则，得出关于的不等式关系求出即可判断⑤，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：①，故原说法正确，符合题意； ②当时，，，故原说法错误，不符合题意； ③为非负整数，则，故当时，，故原说法正确，符合题意； ④∵， ∴， ∴，故原说法错误，不符合题意； ⑤∵，为整数， ∴设，为整数，则， ∴， ∴，， 解得：， ∴，，，， ∴，，，，共个，原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（    ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，理解题意、找准不等关系成为解题的关键． 设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．再根据不等关系“至少含有4200单位的维生素C”和“购买原料的费用不超过72元”列出不等式组即可． 【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得：． 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）对于实数x，我们把不超过x的最大整数记作，例如已知，．若实数x满足，则实数x的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，求一元一次不等式组的解集，根据所表示的不超过实数x的最大整数，列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， 且， ， 是整数， 是整数， ， 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩券数量的不等关系是解题的关键． 首先根据题意可知，美美拿到3张摸彩券的意思即是消费金额大于等于300元小于400元，小仪拿到4张摸彩券的意思即是消费金额大于等于400元小于500元，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：美美拿到3张彩券说明消费金额达到了300元，但是不足400元，小仪拿到了4张彩券说明消费金额达到了400元，但是不足500元，由此可得， 解得： 故答案为：． 8．（23-24八年级上·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）设表示不超过x的最大整数{例如：请你认真理解的意义，当，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】题目主要考查新定义的运算及不等式的性质，理解新定义的运算是解题关键， 根据题意得出，等于0或1，确定式子中有32个等于1，得出，，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴等于0或1， ∵， ∴式子中有32个等于1， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50公斤、70公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则满足题意的x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据“小丽进入电梯后乘载重量小于等于300公斤，小丽、小欧都进入电梯后乘载重量大于300公斤”列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意知， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此满足题意的x的范围是， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，每台型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨； (2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于，购买方案有几种？并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？ 【答案】(1)每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨； (2)有三种购买方案，其中买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为226万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键． （1）根据题意列方程组，解方程组即可； （2）根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值． 【详解】（1）解：设每周每台，两种污水处理设备分别可以处理污水吨和吨， 根据题意，得， 解得， 每周每台种污水设备处理污水240吨，种污水设备处理污水200吨； （2）解：设购买种污水设备台，则购买种污水设备台， 根据题意，得， 解不等式组，得， 因为a为正整数，所以有三种购买方案， 当时，买13台，买7台； 当时，买14台，买6台； 当时，买15台，买5台． 每台型污水处理设备12万元，每台型污水处理设备10万元， 买的越少，资金越少， 买13台，买7台需要的资金最少， 最小值为万元． 12．（23-24八年级上·云南德宏·期末）为了保护环境，某企业决定购买一批污水处理设备，现有A，B两种型号的设备可供选择，若购买2台A型设备，3台B型设备，共需54万元；若购买4台A型设备，2台B型设备，共需68万元．A种型号的设备月处理污水量为240吨，B种型号的设备月处理污水量为200吨． (1)请求出A，B两种型号设备的单价分别是多少？ (2)企业每月产生的污水量不少于2040吨，根据测算需购买10台污水处理设备，且购买设备的资金不高于106万元，则该企业共有几种购买方案？为了节约资金，应选择哪种购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号设备的单价分别是12万元、10万元 (2)共有三种购买方案，为了节约资金，应选择方案一：购买1台A型设备，9台B型设备． 【分析】（1）设A、B两种型号设备的单价分别是x万元、y万元，列出方程组，求解即可； （2）设购买m台A型设备，则购买台B型设备，列出不等式组，求解即可得 出答案． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：设A、B两种型号设备的单价分别是x万元、y万元，          依题意，得：                                       解得： 答：A、B两种型号设备的单价分别是12万元、10万元． （2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意，得：， 这个不等式组的解集为：  ， ∵m为正整数 ∴可取， ∴共有三种购买方案：   方案一：购买1台A型设备，9台B型设备， 花费资金为：， 方案二：购买2台A型设备，8台B型设备， 花费资金为：， 方案三：购买3台A型设备，7台B型设备， 花费资金为：， ∵， ∴为了节约资金，应选择方案一， 答：购买1台A型设备，9台B型设备时，花费的资金最少，为了节约资金，应选择方案一． 13．（23-24八年级上·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； (2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用： （1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题． （2）设A种户型有x套，则B种户型有套．列出不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元， 根据题意得：， 解得：， 答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； （2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套， 根据题意得：， 解得：， 答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 14．（23-24八年级上·全国·期中）某熟食加工厂为扩大生产经营，计划新进8台真空包装机，现有甲、乙两种机器可供选择，每种机器的价格和包装速度信息如下表，公司为本次采购准备的预算资金共万元． 甲 乙 价格 元/台 元/台 包装速度 480包/时 720包/时 (1)在不超过公司预算资金的条件下，求该公司共有几种购进方案可供选择； (2)若考虑到在春节前期，公司的订单会迅猛增加，为满足客户需求，每台机器每天可连续工作10个小时，要求每天的包装量不低于2400箱（每箱装17包），问：公司应该如何购买这两种机器，才能既满足公司要求，又最节约资金？ 【答案】(1)四种，详见解析； (2)7台甲种机器，1台乙种机器． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用．正确的列出不等式，是解题的关键． （1）设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，根据本次购买机器所用资金不能超过万元，列出不等式，求出非负整数解即可； （2）根据该公司购进的8台机器的日生产量不能低于箱（每箱17包），列出不等式，结合（1）中结果，求出的取值范围，确定方案，再求出每种方案花费的费用，进行判断即可． 【详解】（1）解：设购进甲种机器台，则购进乙种机器台，由题意，得： ， 解得：， ∴不等式的非负整数解为：5，6，7，8； ∴共有4种方案： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器； 方案四：购进8台甲种机器. （2）解：由题意，得：， 解得：， ∴有3种方案可以选择： 方案一：购进5台甲种机器，3台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案二：购进6台甲种机器，2台乙种机器，所需费用为：（元）； 方案三：购进7台甲种机器，1台乙种机器，所需费用为：（元）； ∵， ∴应购进7台甲种机器，1台乙种机器．能既满足公司要求，又最节约资金． 15．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）根据下列素材，解决实际问题： 如何购买饲料更划算？ 素材1 某小型农场养殖黄牛和奶牛共80头． 素材2 每头牛每天需要吃饲料10kg，下表是黄牛和奶牛所用饲料的信息（饲料成袋售卖）： 每袋质量 售价 黄牛饲料 60千克 40元/袋 奶牛饲料 75千克 60元/袋 农场中的牛3天共吃完37袋饲料． 素材3 该农场的饲料需求量大，饲料供应商给出优惠方案如下：每买4袋奶牛饲料赠送1袋黄牛饲料． 问题解决 任务1 分析数量 分别求出农场中黄牛和奶牛的数量． 任务2 统筹规划 现农场中奶牛饲料已用完，黄牛饲料还有50袋，农场想购买一批饲料，费用不超过10000元．若全部饲料可供所有的牛恰好a天吃完（a为整数），求a的最大值． 【答案】任务1：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只．任务2：所以a的最大值是22． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找到等量关系式是解题的关键． 任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只，根据题意列出方程组即可得出答案； 任务2：根据题意列出关于a的不等式即可得出答案． 【详解】解：任务1：设农场中奶牛的数量为x只，黄牛的数量为y只， ， 解得：， 答：场中奶牛的数量为30只，黄牛的数量为50只． 任务2：， 解得：， 因为a为整数， 所以a的最大值是22． 学科网（北京）股份有限公司 $$