精品解析：河南省漯河市郾城区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数字 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则不可能取的数为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0和1 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列语句中，错误的是（ ） A. 直径是弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 矩形的四个顶点在同一个圆上 D. 三角形的内心是其内角平分线的交点 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 8. 如图，已知为的直径，于点，弦为，半径为2，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图1，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=_____． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为______． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是______． 14. 如图，经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点，则的度数______． 15. 如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程 （1）； （2）； 17. 如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2），（﹣4，﹣1）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC绕着某点按顺时针方向旋转得到△A′B'C'，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度. （2）画出△ABC关于点A成中心对称的△AED，若△ABC内有一点P（a，b），请直接写出经过这次变换后点P的对称点坐标． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个相等的实数根时，求出的值； （2）当方程的根为两个不相等的整数时，求出整数的值． 19. 某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． （1）请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． （1）求点，的坐标； （2）填空： ①点是此抛物线上一点且到轴的距离小于，求出点的纵坐标的取值范围； ②若点，分别在对称轴两侧的抛物线上，且，则的取值范围是______． 21. 在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径长． 22. 如图所示，一小球从地面上的点处抛出，落在斜坡上的点处．此球的运动路线是抛物线的一部分，以过的水平线为轴，以过且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球到达最高点的坐标为，落点． （1）小球在斜坡上的落点的垂直高度为多少米？ （2）若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 23. 如图，为等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连，． （1）如图①，当点在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； （2）如图②，当点在内部时，（）中结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当点在线段的垂直平分线上时，且，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数字 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则不可能取的数为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0和1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．根据一元二次方程定义可得：，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的方程即是一元二次方程， 由题意得：， 解得：， 故选：． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 4. 下列抛物线中，开口最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小与a的关系是解题的关键．根据二次函数中的绝对值越大，开口越小，的绝对值越小，开口越大，即可得答案. 【详解】∵， ∴函数+1的开口最大， 故选C． 5. 在下列语句中，错误的是（ ） A. 直径是弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 矩形的四个顶点在同一个圆上 D. 三角形的内心是其内角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形，熟练掌握该知识点是本题解题的关键．根据圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，内心，圆内接四边形将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案． 【详解】解：A．直径是弦，故原说法正确，不符合题意． B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，符合题意． C．矩形的四个顶点在同一个圆上，故原说法正确，不符合题意． D．三角形的内心是其内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意． 故答案选：B． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角．根据旋转得到，进而得到，再利用三角形外角的性质，求解即可．掌握旋转的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：选项中： 抛物线开口向下， ， 对称轴直线，即，抛物线与轴交于正半轴，， 选项不正确， 故此选项不符合题意； 选项中： 抛物线与轴有两个交点， ，即， 选项不正确， 故此选项不符合题意； 选项中： 抛物线过点， ， 选项不正确， 故此选项不符合题意； 选项中： 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 根据函数图像可得：当时，， 选项正确， 故此选项符合题意， 故选：． 8. 如图，已知为的直径，于点，弦为，半径为2，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，根据垂径定理及解直角三角形可得，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵是的直径，的弦于点E，弦为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， 正方形的边长分别为3和2， 面积分别为9和4， 正方形和正方形的对称中心都是点， ． 故选：D． 10. 如图1，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 C. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 D. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 【答案】B 【解析】 【分析】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可． 【详解】由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误；由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项D的说法错误；由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项B的说法正确，选项C的说法错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x=－1是关于x的方程的一个根，则a=_____． 【答案】﹣2或1 【解析】 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程： 【详解】，解得a=﹣2或1． 12. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握左加右减，上加下减是解题关键．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是． 故答案是：． 14. 如图，经过菱形的三个顶点，，，且与相切于点，则的度数______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，先证明，可得，，从而得到点在上，再由三角形外角的性质可得，从而得到，进而得到，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，点在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 15. 如图，在长方形中，，点为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接．当点落在边上时，的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，由是等边三角形，，从而即可求解． 【详解】解：当点落在边上时，如图， 是等边三角形， ， ； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程 （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ． 17. 如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2），（﹣4，﹣1）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC绕着某点按顺时针方向旋转得到△A′B'C'，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度. （2）画出△ABC关于点A成中心对称的△AED，若△ABC内有一点P（a，b），请直接写出经过这次变换后点P的对称点坐标． 【答案】（1）旋转中心坐标为（2，﹣3），旋转角为90°； （2）如图，△ADE即为所求， （﹣a﹣2，﹣b）． 【解析】 【分析】（1）作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求．连接AK、A′K，可得∠AKA′=90°，即可得旋转角度数；（2）分别作出C，B的对应点E，D即可，利用中点坐标公式求出对称点的坐标即可． 【详解】（1）如图，作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求． ∴旋转中心坐标为K（2，﹣3）， 连接AK、A′K， 由网格的特点可知：∠AKA′=90°， ∴旋转角为90°． （2）设点P关于点A的对称点为P′（x，y）， ∵A（-1，0），P（a，b），点A为PP′的中点， ∴，， 解得：x=-2-a，y=-b， ∴点P（a，b）经过这次变换后点P的对称点坐标为（﹣a﹣2，﹣b）． 【点睛】本题考查旋转的性质及坐标变换，正确得出对应点、对应边并熟记中点坐标公式是解题关键. 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个相等的实数根时，求出的值； （2）当方程的根为两个不相等的整数时，求出整数的值． 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式： （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0得到，据此求解即可； （2）设原方程的两个根分别为s、t，由根与系数的关系得到，进而得到是整数，则或，再由方程的根为两个不相等的实数根，可由（1）得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设原方程的两个根分别为s、t ∴， ∵s、t都是整数， ∴是整数，即是整数， ∴或， 又∵方程的根为两个不相等的实数根， ∴由（1）可知， 综上所述，或． 19. 某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． （1）请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 【答案】（1） 解：如图，点即可所求作的图形， （2）水面的最大深度米． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）在弧上取异于点的点，连接，分别作、的垂直平分线、相交于点，则点为所求； （2）过点作于点，交和圆弧于点，，由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度，则，根据垂径定理得，，，进而在和中，利用勾股定理得，解得，从而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交和圆弧于点，， 由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度， ∴， ∵， ∴，，， 在和中，即，即， ∵， ∴， 解得， ∴，即此时水面的最大深度米． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． （1）求点，的坐标； （2）填空： ①点是此抛物线上一点且到轴的距离小于，求出点的纵坐标的取值范围； ②若点，分别在对称轴两侧的抛物线上，且，则的取值范围是______． 【答案】（1）点，或，； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与轴的交点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时的值即可得到答案； （2）①先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解；②由抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，由此分和两种情况即可得到答案． 【小问1详解】 解：物线中，令，则， 解得或， ∴点，或，； 【小问2详解】 解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； ②， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，分别在对称轴两侧的抛物线上，且， ∴当即时，， 解得， ∴， 当时，此时无解， 综上，． 故答案为：． 21. 在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为直径， ∴为切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由的平分线交于点，得，进而得到，即，根据的等边对等角得到证明结论； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴在中 ∴ 半径为． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 22. 如图所示，一小球从地面上的点处抛出，落在斜坡上的点处．此球的运动路线是抛物线的一部分，以过的水平线为轴，以过且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球到达最高点的坐标为，落点． （1）小球在斜坡上的落点的垂直高度为多少米？ （2）若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由． 【答案】（1）米； （2）小球不能飞过这个广告牌． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为：，代入点，即可求得函数解析式，作于点，将代入中，有：，解方程即可求解； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为：，根据点的横坐标为，可得，在抛物线上，当时，，由，即可作答． 【小问1详解】 解：∵最高点的坐标为， ∴设抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点， ∴代入点可得：， 解得：， 即抛物线的函数解析式为：； 如图，作于点， 将代入中，有：， 解得：或者， 当时，，此时为原点，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴小球在斜坡上的落点的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：小球不能飞过这个广告牌，理由与如下： ∵，原点， ∴设直线的解析式为：， 代入，可得：， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵点的横坐标为， ∴， 在抛物线上，当时，， ∵， ∴小球不能飞过这个广告牌． 23. 如图，为等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连，． （1）如图①，当点在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； （2）如图②，当点在内部时，（）中结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）当点在线段的垂直平分线上时，且，，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析； （2） 解：成立，理由如下： 如图，连接， ∵将绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）3或9． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质，证明，得； （2）由同理可证得； （3）分点在的内部和外部两种情形分别求出的长，从而得出的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，连接， ∵将绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在的内部时，如图，过点作于点，连接， 由同理可得， ∵点在线段的垂直平分线上时， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 当点在的外部时，如图，过点作于点，连接， 由同理可得， ∵点在线段的垂直平分线上时， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上∶或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质勾股定理等知识，勾股定理，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $