精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟2024-2025学年高一上学期期中学业质量测试数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级期中学业质量测试试卷 数学 注意事项 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本卷共15题，每题2分，共30分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题意. 1. 已知全集U，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出，根据韦恩图计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是“”． 故选：D 3. 已知 ，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断各选项即可. 【详解】因为， 所以，，故AB正确； 而，， 所以，，故C正确，D错误. 故选：D. 4. “小明是成都人”是“小明是四川人”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】“小明是成都人”则一定有“小明是四川人”，反之不成立， 所以“小明是成都人”是“小明是四川人”的充分不必要条件. 故选：B 5. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，，定义域为，定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确； 对于B，，定义域为，的定义域为，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，由解得，故的定义域为， 由解得或，故的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：A 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 8. 已知函数，若正数a，b满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出并利用条件将其化成关于的函数解析式，结合其特点，设，，将其简化成关于的解析式，利用对勾函数的单调性即可求得其最小值. 【详解】因，，，则， 故， 设，由，可得， 则有， 因函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号，解得， 故当时，取得最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 巴黎奥运会已经结束，但是中国运动健儿们在赛场上为国拼搏的精神在我们的心中永存.某学校组织了以“奥运赛场上最难忘的瞬间”为主题的作文大赛，甲､乙､丙､丁四人进入了决赛.四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖： 乙预测说：甲和丁中有一人获奖： 丙预测说：甲的猜测是对的： 丁预测说：获奖者在甲､乙､丙三人中. 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）， A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁 【答案】AC 【解析】 【分析】分析出甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若甲和丙的说法同时与结果相符，推出矛盾，故甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立，得到答案. 【详解】“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的” 甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符. 若甲和丙的说法同时与结果相符， 则根据四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符， 可知乙、丁的预测与结果不符， 由丁的预测与结果不符可知丁一定获奖了，于是获奖者为丙丁， 这样乙的预测“甲和丁中有一人获奖”也就与结果相符了，矛盾； 所以甲和丙的说法与结果不符， 则乙､丁的预测与结果相符， 由丁的预测与结果相符，得到丁未获奖， 结合乙的预测“甲和丁中有一人获奖”得出甲必然获奖， 所以甲获奖，丁不获奖；丙或乙获奖. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 11. 已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】根据给定条件，利用不等式的基本性质逐项分析判断得到答案. 【分析】且，则，， 对于A，，A正确； 对于B，由，，得，B正确； 对于C，，，， 当时，，则；当时，，则， 当时，，则，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，此时由，得，不符合， 因此不成立，则，所以，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知二次函数满足，则与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到函数的对称轴，从而得到方程，求出，再根据对称性和单调性比较出大小. 【详解】因为，所以为二次函数图象的对称轴， 所以，解得． 根据对称性知，，又函数在上单调递增，所以， 即． 故答案为： 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）R （3） （4） 【解析】 【分析】（1）（2）利用根号下非负得到不等式，求出定义域；（3）根据分母不为0得到定义域；（4）利用根号下非负和分母不为0得到不等式组，求出定义域. 【小问1详解】 由题意得，解得，故定义域为； 【小问2详解】 恒成立，故的定义域为R； 【小问3详解】 由题意得，解得且，故定义域为； 【小问4详解】 由题意得，解得且，故定义域为. 16. 设集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再求，； （2）根据集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 集合，. 当时，， 则，； 【小问2详解】 集合， 由，所以， 因为，所以，解得， 所以实数m的取值范围是. 17. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【小问1详解】 对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 【小问2详解】 存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 18. 国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. （1）设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； （2）当时，试求的最小值. 【答案】（1） （2）当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式求得正确答案. （2）利用基本不等式或函数的单调性，以及对进行分类讨论来求得的最小值. 【小问1详解】 花园的一边长为，面积为花园的另一边长为. . 【小问2详解】 由（1）得： ， 由得， 若，则，若，则， 当时，. 当且仅当时取等号，. 当时，函数在上单调递减， 当时，取得最小值，即. 综上得：当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 19. 中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）． （1）若图3构成正八边形，求实数m的值； （2）若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；②16 【解析】 【分析】（1）设，，且，则，根据及和的对称性，列方程求解； （2）联立方程组，由及即可求解①；由根与系数关系得出，利用基本不等式即可求得最小值． 【小问1详解】 设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． 【小问2详解】 ①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一年级期中学业质量测试试卷 数学 注意事项 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号、考生号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需政动，用擦皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本卷共15题，每题2分，共30分.在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题意. 1. 已知全集U，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则以下错误的是（ ） A. B. C. D. 4. “小明是成都人”是“小明是四川人”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若正数a，b满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 巴黎奥运会已经结束，但是中国运动健儿们在赛场上为国拼搏的精神在我们的心中永存.某学校组织了以“奥运赛场上最难忘的瞬间”为主题的作文大赛，甲､乙､丙､丁四人进入了决赛.四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖： 乙预测说：甲和丁中有一人获奖： 丙预测说：甲的猜测是对的： 丁预测说：获奖者在甲､乙､丙三人中. 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符，已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）， A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 乙和丁 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 11. 已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. __________. 13. 已知二次函数满足，则与的大小关系是______． 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 设集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 设二次函数. （1）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 18. 国家主席习近平在2024年新年贺词中指出，“2023年，我们接续奋斗､砥砺前行，经历了风雨洗礼，看到了美丽风景，取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰，绿水青山成色更足，乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召，计划修建如图所示的矩形花园，其占地面积为，花园四周修建通道，花园一边长为，且. （1）设花园及周边通道的总占地面积为，试求与的函数解析式； （2）当时，试求的最小值. 19. 中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）． （1）若图3构成正八边形，求实数m的值； （2）若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $